基于效用函数的木材物流网络中的运输木材量控制研究

李 萌，陈来荣，唐 亮

(北京林业大学 工学院，北京 100083)

木材运输是指从物流中心运送采伐后的木材到需材点的过程[1]，它包含了从林区运到物流中心的运输，物流中心到需材点的运输，以及运输过程中的运输木材量管理。木材运输是木材物流网络的核心组成部分，木材物流网络的优化设计是木材物流系统中的重要问题之一。在木材物流网络中，如何降低木材物流成本，提高木材物流效率成为亟待解决的突出问题。因此在木材物流网络中研究运输木材量控制有重要的意义，已吸引了国内外学者广泛的研究兴趣。木材量的控制对于木材物流网络的交通成本控制，是一个极具挑战性的问题，因为木材量的运输成本在整个木材物流系统中占据了很大的一部分[2-3]。有大量的研究工作通过研究运输路径的优化来实现运输成本的控制[4-11]。Lin等学者[4-5]通过研究物流中心的选址问题来降低木材物流过程中的成本，而 Troncoso等学者[6-10]通过路径优化来降低木材物流过程中的成本。但是在运输路径优化中，运输木材量的控制是一个关键性问题。

本文研究探讨了木材物流网络中的运输木材量控制问题，设计了基于效用函数的木材量控制模型，其中所采用的效用函数理论，已经被广泛的应用在木材物流网络中的控制和优化问题中。

1 系统模型

木材物流网络模型如图1所示。假设木材物流中心建立在木材的采伐点，存在M={1，2，3，…，m}个物流中心，以及N={1，2，3，…，n}个需材点。物流中心i与需材点j之间的运输成本为Cij，且Cij可以通过公式(1)得到。

Cij=rijdijWij。

(1)

式中：rij为物流中心i与需材点j之间的单位运输成本；dij为物流中心i与需材点j之间的运输距离；Wij为物流中心i与需材点j之间的运输的木材量。

图1 木材物流网络模型

一般的，针对木材物流中心，其中转木材量的能力有一个上限，如公式(2)所示。

(2)

其中通过Wi来表示物流中心i的中转(存储)上限。

针对每一个物流中心，为了将所需木材实时、及时的运输到需材点，它需要对木材进行存储，因此将会花费一定的存储成本。用Sij来表示木材物流中心i为需材点j存储木材时的存储成本，且Sij可以表示为，

(3)

其中μij是木材量的单位存储成本。因此木材物流中心i与需材点j之间的运输效用函数(成本函数)可以用公式(4)表示。

(4)

当应用效用函数来解决运输木材量控制的问题的时候，首先要理解一个重要的概念，即效用在这里反映的是运输成本。基于上述模型，研究一个效用函数，来解决木材物流网络中的运输木材量控制问题。所有的运输路径所构成的效用函数可以用公式(5)表示。

(5)

在木材物流网络中，优化目标是最小化网络中木材运输的运输成本，目标是在物流中心的中转能力限制条件下，最小化公式(5)所给出的效用，如下面的公式(6)所示。

(6)

约束条件为：

对于所有的i∈M,M={1,2,3,…,m}。

(7)

基于上述的目标函数，可以通过计算最优的木材量来得到最小化的成本。公式(6)是整个木材运输网络的运输成本(效用)，公式(7)是每一个木材物流中心的中转能力限制条件。通过解决公式(6)和公式(7)的最优化问题，可以得到每一条运输路径的最优运输木材量，从而最小化网络的整体运输成本。

2 解决方案

讨论并给出最优控制问题，即公式(6)和公式(7)的解决方案。

证明：最优控制问题(6)和(7)可以通过拉格朗日算子方法来解决。针对公式(6)，其拉格朗日方程可由下面的公式得到：

(8)

对公式(8)求导数，可以得到：

(9)

令偏导数等于零，可以得到：

rijdij+2μijWij-λi=0。

(10)

解上面的方程，并得到其解表达式如下：

(11)

将公式(11)带入公式(7)中，可以得到每一个节点的拉格朗日算子λi的表达式如下：

(12)

因此，拉格朗日算子λi可以表达为：

(13)

将公式(13)带入公式(11)中，可以得到最优的运输木材量如下：

(14)

3 仿真验证

对木材物流网络中的木材运输进行数字化仿真。假设网络中存在5个木材物流中心，以及3个需材点。假设所有的木材物流中心与需材点都是两两互联的。给出了仿真所需要的参数设置(见表1)。给出了最终的仿真结果如图2和图3所示。从仿真结果，可以得到木材物流网络中的最优木材量配置，来最小化整个网络的运输成本。

图2 每一条路径的最优运输木材量

图3 每一条路径的最优运输成本

表1 仿真参数

4 结束语

本文讨论了木材物流网络中的运输成本最小化问题，提出了一种新的基于效用函数的优化模型。在模型中，通过考虑木材运输中的运输成本和存储成本两个因素，构建了木材物流过程中的成本控制效用函数，从而得到了网络成本最低时的运输木材量。实例表明，所构建的模型可以获得木材物流网络所需的最优木材量，从而实现运输成本的最小化。所得模型与求解结果为木材物流网络的构建及

优化提供了有益的决策参考。

在后续的研究中，可能需要考虑更多的影响整个木材物流成本的因素，进一步研究在木材物流网络中的各参数的动态变化对成本的影响。

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