基于四元数矩阵奇异值分解的木材缺陷检测分析

戴天虹，李 琳，解 朦

(东北林业大学 机电工程学院，哈尔滨 150040)

目前，我国木材产业的基础薄弱，且对原材料的使用率很低，这成为了我国木材产业发展的障碍[1]。充分利用科学知识和技术，深入研究对木材缺陷的检测和识别，合理有效地提高木材原材料的利用率，是我们所要思考的话题。木材表面的缺陷在大小、形状和颜色上都有很大的差异。彩色图像与灰度图像相比，其优势不仅在于包含的信息量丰富，且更符合人们日常的视觉效果。目前彩色图像处理在木材缺陷识别中已经得到了广泛应用，但通常都是对彩色图像空间分离三个图像分量，然后对各个分量单独进行灰度图像的处理，再进行合成，这样可能会对图像本身的信息结构造成影响。而本文是建立彩色图像的四元数模型[2]，将木材缺陷图像的RGB三分量作为一个有机的整体，进行缺陷检测，主要针对三种常见的木材缺陷：虫眼、活结和死结进行分析和处理。

矩阵奇异值的分解(SVD)可以解决复杂信号处理、计算机图学、特征值、最优化的问题、控制论和统计学的各种问题[3]。灰度二值图像中实数矩阵的奇异值分解已经有很大的成就，但是对于彩色图像的处理，只是针对各个分量进行分解再合成。所以四元数矩阵奇异值分解(QSVD)的提出与发展，很好地解决了彩色图像处理的问题，而且还有很大的发展潜能。

1 四元数

1.1 四元数的发展现状

1843年，英国数学家哈尔尔顿发现了四元数，它是继复数之后的又一个新的数系。他倾心投入到四元数的推广和应用上，并使得四元数在物理学和几何学中有了广泛的应用。于是，伴随着四元数的诞生和发展，代数学出现了新的变革。四元数具有不可交换的性质，这意味着数学中并不只有一种代数，而是由多种代数。数学家们通过削弱、替换普通代数中的不同定律和定理来构建新的数系，并致力于四元数矩阵的研究，使之在刚体动力学和航天方面都有了新的突破和发展[4]。

1.2 四元数的基本描述及其基本性质

一个实四元数，也可以简称为四元数，表现形式为：

p=p0+p1i+p2j+p3k。

(1)

其中：p0,p1,p2,p3∈R，实四元数的全体称为实四元体，即为H[5]。且i,j,k都满足i2=k2=j2=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j。

对于两个四元数p=p0+p1i+p2j+p3k和q=q0+q1i+q2j+q3k，规定其基本代数法则如下：

p=q⟺p0=q0,p1=q1,p2=q2,p3=q3。

(2)

p+q⟺(p0+q0)+(p1+q1)i+(p2+q2)j+(p3+q3)k。

(3)

pq=(p0q0-p1q1-p2q2-p3q3)+(p0q1+q0p1+p2q3-q2p3)i+(p0q2+q0p2+p3q1-q3p1)j+(p0q3+q0p3+p1q2-q1p2)k。

(4)

1.3 四元数矩阵的性质和推理

(1)p=p0+p1i+p2j+p3k=(p0+p1i)+(p2+p3i)j,则四元数的复表示为p=c1+c2j，其中c1=p0+p1i；c2=p2+p3i，则称

(5)

为四元数矩阵A的复表示矩阵，σ称为四元数矩阵的复表示运算[6]。

(2)友向量。

推论：若Aσ为四元数矩阵A的复表示矩阵，α∈C2n×1，则(Aσα)v=Aσαv。

设A∈Hm×n，若存在A*A=AA*=In，则称A为四元数酉矩阵。.

2 用四元数矩阵奇异值的分解(QSVD)实现木材缺陷检测

2.1 木材彩色图像的四元数模型

1996年，Pei第一次提出了彩色图像的四元数模型。利用计算机进行处理的时候需要将衣服图像转化为数字形式。在RGB彩色模型空间，每个像素的颜色都是由三种基本颜(色红、绿和蓝)组成，即彩色图像的每个像素用红(R)、绿(G)和蓝(B)三个分量表示。令彩色图像的四元数实部为0，则彩色图像的任意点(x,y)处的像素q(x,y)都可以作为一个纯四元数：q(x,y)=r(x,y)i+g(x,y)j+b(x,y)k，其中i,j,k是虚数单位，r(x,y),g(x,y),b(x,y)表示在(x,y)处R，G，B三基色的灰度值。一幅m×n的彩色图像即可视为一个m×n的四元数矩阵[7]。

2.2 四元数矩阵的奇异值分解与彩色图像的特征

由于四元数不满足乘法交换律，所以四元数的特征向量存在左右之分。通过分析得到四元数的复表示矩阵进行奇异值分解，通过对分解式量表示矩阵的分析得到四元数矩阵奇异值分解的奇异值和左右奇异值向量，并将四元数矩阵奇异值分解应用到信号处理和图像的特征提取上[7]。用四元数矩阵奇异值分解的方法对彩色图像进行去噪，缺陷识别。

(6)

其中，ui∈Hm,vi∈Hn分别是U和V的列向量。当A为彩色图像的四元数矩阵时，Ii被称为A的第i级特征图像。其中，图像大部分能量集中在前面较大特征值所对的特征图像中[8]。

2.3 基于双对角化的四元数矩阵奇异值分解

通过Householder变换将四元复矩阵转化为双对角矩阵，再对Householder变换转化出的双对角矩阵进行奇异值分解，计算出四元数矩阵的奇异值分解的特征值和左右特征向量[9]。

具体的实验流程如图1所示。

图1 实验流程图

2.4 奇异值分析

四元数奇异值的分解与灰度图像相类似，彩色图像X(q)∈Qm×n的特征值分解可以表示为一系列乘积的和。

(7)

ui(q)和vi(q)分别是U(q)和V(q)的第i列的列向量，λi是Λ的对角线上的元素。r是X(q)的秩。

通过主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)可以用于木材缺陷的边缘检测[10]。木材彩色图像的边缘部分像素值变化较大，因此边缘部分对应着高频成分，可以通过加强表征图像边缘部分的高频成分，得到木材缺陷的边缘检测。

根据SVD的图像加强法[11]，也可以对QSVD进行非线性加权的分析。

(3)

若a>1，加强低频，抑制高频，则属于低通滤波器；

若a<1，加强高频，抑制低频，则属于高通滤波器。

修改a的值，可以去除图像概貌的低频成分，保留图像边缘的高频成分，从而可得到图像的边缘检测图像。

3 实验结果分析

实验中采用的木材缺陷图像是的虫眼，活结和死结，如图2所示。

图2 原始木材彩色图像

对QSVD的特征图像进行主成分分析，通过对QSVD的特征图像进行线性加权和非线性加权，可以增强图像的缺陷检测。以下是其不同权值的不同加权的检测结果。

以下的图分别为三种木材缺陷检测在权值相同时缺前几幅特征图像的非线性缺陷检测图像。

(1)木材的虫眼图像在进行非线性加权后的缺陷检测，其权值为a=0.8时，缺前2幅、缺前16幅缺、前128幅的缺陷检测结果，如图3所示：

(2)木材的活结图像在进行非线性加权后的缺陷检测，其权值为a=0.8时，缺前2幅、缺前16幅、缺前128幅的缺陷检测结果如图4所示：

(3)木材的死结图像在进行非线性加权后的缺陷检测，其权值为a=0.8时，缺前2幅、缺前16幅缺、前128幅的缺陷检测图。

图3 权值a=0.8时，缺前几幅的非线性加权的虫眼缺陷检测

图4 权值a=0.8时，缺前几幅的非线性加权的活结缺陷检测

图5 权值a=0.8时，缺前几幅的非线性加权的死结缺陷检测

当四元数的特征值是依次从大到小排列的时候，特征值越大，特征值图像的幅值越大，所占整个图像的能量值越高，所以，特征值图像的能量随着特征值的减小也逐渐减小，从而得知，前面特征图像缺的越多，其缺陷图像能量值越来越小。

图3、图4、图5为木材缺陷的非线性加权检测图像。由图可知，运用此方法检测时，可适当地选取不同特征值图像让木材彩色图像的边缘更加清晰地展现出来。此方法完整地保留了边缘的高频成分，且没有噪声加入。检测效果明显更清晰更完整的呈现出了木材的缺陷图像。

4 结 论

本文用四元数矩阵的奇异值分解来进行木材图像的缺陷检测。它主要是从木材缺陷图像的RGB

空间用四元数表示，四元数的实部视为0，三个虚部分别为红绿蓝的三个通道，用四元数的矩阵表示出来。彩色特征图像的奇异值由大到小排列，所以特征图像的能量值依次减小。利用四元数奇异值分解的方法使得RGB图像作为一个有机的整体进行处理，有效地避免了彩色图像分别在三个通道分别进行编码的缺点，从而能更完整地显示图像的结构。文中用非线性加权的方法对四元数矩阵奇异值进行分析，把木材的缺陷图像更清晰、更快捷的方法完整的表现出来，相信通过不断的研究，能更好的的把此木材图像的缺陷检测法应用于生产实践。

【参 考 文 献】

[1]方 超.木材缺陷的图像检测技术[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学，2010.

[2]苏本跃，盛 敏.彩色图像缩放的四元数插值算法[J].中国图像图形学报.2009，14(12)：2608-2610

[3]廖文彬.基于奇异值分解的图像压缩方法研究[D].成都：成都理工大学.2007.

[4]邢 燕.四元数及其在图形图像处理中的应用研究[D].合肥：合肥工业大学.2009.

[5]班 涛.四元数矩阵特征值计算[D].长沙：长沙理工大学.2007.

[6]李文亮.四元数矩阵[M].国防科技大学出版社，2002.6

[7]陈明刚，燕列雅.四元数矩阵奇异值分解的算法[J].中国科教创新导刊.2009(23)：25

[8]张财务，张财政.四元数分形奇异值分解方法与彩色图像重建[J].软件导刊.2010，9(1)：162-163

[9]陈明刚.四元矩阵的奇异值分解以及应用[M].西安建筑科技大学，2009(4)：10-13

[10]邢 燕，檀结庆.基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像分解[M].计算机辅助图形学报.2011(2)：15-16.

[11]Andrews H C，Patterson C L.Singular value decomposition and digital image processing [J].IEEE Trans.Acoustics，Speech and Signal Processing，1976，24(1)：26-53.