简议实验数据的处理

李 志

（淮北工业学校，安徽 淮北 235000）

1 什么是有效数字

误差是客观存在的。在实验过程中总是避免不掉误差，而且实验器材的分辨能力也是有一定限度的，这就使得到的结果不完全准确。同时，在计算过程中，也会遇到无理数情况，使得到的数据一般只是近似值。我们为了更准确用这个近似值去表示实验结果时，就必须规定误差不得超过最后一位单位数字的1／2。如最后一位是个数，那它包含的误差绝对值只能小于或等于0．5。要是最后一位是十位数，那它包含的误差绝对值只能小于或等于5。那么这种误差小于或等于最后一位单位数字一半的数，从它起始的首个不是0的数字起，至最终一个数字，就称为有效数字。例如486，234．19，4．20等，只要其中误差不大于末位单位数字之半，它们就都是有效数字。值得注意的是，在数字左边的零不是有效数字，而数字中间和右面的零都是有效数字。例如0．0049Ω，左面的三个零就不是有效数字，因为它们可以通过单位变换变为4．9Ω，可见只有两位有效数字。如407v这样的数字，处于中间位置的零自然是有效数字，因为它表示十位数字是零。特别值得注意的是如4．970v这样的数字，最右边的一个零也是有效数字，它对应着测量的准确程度，我们不能任意把它改写成4．97v，因为这意味着测量准确程度的变化。如前所述，有效数字中除末位上前面各位数字都应该是准确的，只有末位欠准，但包含的误差不应大于末位单位数字的一半。这里讨论的4．970v，表明误差绝对值不应超过0．0005v，而若改写成4．97v或4．970v，则表明误差绝对值不超过0．005v或0．00005v，这显然是不合适的，因为它不符合有效数字的位数与误差大小相适应的原则。此外，对于如412000Hz这样的数字，实际上在百位数上就包含了误差，即只有四位有效数字。这时百位数字上的零是有效数字不能去掉，但十位和个位数上的零虽然不再是有效数字。可是它们要用来表示数字的位数，也不能任意去掉，这时为了区别右面三个零的不同，通常采用有效数字乘上十的乘幂的形式，例如上述412000Hz若写成有效数字就应写为4．120×105，它清楚地表明有效数字只有四位，误差绝对值不大于50Hz。

2 怎样正确取舍数据

假设当人们需要N位有效数字的时候，对超过N位的数字就要去掉，但是这个过程要遵循一定的规则进行处理。例如，对某电压进行了四次测量，每次测量值均可用四位有效数字表示。如四次测量值分别为V1＝49．81v，V2＝49．68v，V3＝49．70v，V4＝49．72v，它们的平均值为

由于对每个测量值来说，小数点后面第二位都含有误差，那么它们的平均值在小数点后面第二位当然也会包含误差，则在小数点后第三、四位就没有什么意义了，那么人们就要把第三、四位两个数字去掉，或者说舍去。数学当中的“四舍五入”法则用在这里是有缺陷的，比如人们只取N位有效数字，那么就得从N＋1位起后面的数字都应该去掉。第N＋1位数字可能是0到9共十个阿拉伯数字任一个，它们都有可能出现，而且机率是相等的。根据数学当中的“四舍五入”法则，舍掉第N＋1位的零不会引起舍入误差，第N＋1位为1和9的舍入误差分别是－1和＋1，多次舍入引起的误差可以抵消。同样第n＋1位为2与8、3与7、4与6的舍入误差在舍入次数足够多时也能抵消。现在人们为避免出现上面的错误解采用以下舍入法则：需要保留N位有效数字时（1）如果后面的数字比第N位单位数字一半还小时就要舍掉；（2）如果后面的数字比第N位单位数字一半还大时，那么第N位数字就要进1；（3）如果后面的数字恰等于第N位单位数字的一半，就要看第N位的数字是偶数还是奇数了。如第N位数字为偶数或零时就去掉后面的数字；如第N位数字为奇数，则第N位数字就要加1。当然第N位数字为偶数为奇数，它们出现的几率是相等的。因此是舍去还是进1，它们的几率也是相等的。如果进行取舍的次数多到一定程度时，误差也就消失殆尽了。而且由于人们规定第N位为奇数时要加1，这样使得第N位由于加1也变成偶数了，所以通过这种方法使得有效数字的尾数基本上都成为偶数。尾数为偶数使得有效数字在计算过程中，尤其是在当作被除数时，被除尽的机会多一些，使得计算过程中产生的误差大为减少。（4）上面的舍入规则可简单地概括为：小于5舍，大于5入，等于5时取偶数。

3 正确表示测量的结果

现在人们还没有形成用统一的方法表示测量结果。但是总的说来，所表示的测量结果要正确反映被测量的真实大小和它的可信程度，同时数据的表达亦不应过于冗长和累赘。

在实验测量过程中，难免会出现这样或那样的误差，如示值误差、基值误差、零值误差、不确定度等；人们一般只需要一位到二位数字，过多的位数通常没有什么意义。

在得到测量结果之前，人们一般要修正确定性系统误差。所以测量结果包括两部分：一是被测量的量值，二是不确定度。被测量的量值最低位要与误差最低位保持一致。例如，说某电压为5．43±0．05v，某频率是5000．684±0．079KHz等。如果被测量的量值本身低位数字的位比误差低位数还低，特别是这个量值是经过某些计算包含了较多数的情况下，这时应把多余的位数按舍入规则处理掉，即从与不确定度对齐处截断。

在有些情况下希望把测量结果用一个数表达而不要带着不确定度。例如，一个测量数据作为中间结果还要参加其它运算，就不希望带着它的不确定度。这时如果只取它的有效数字，则由于舍入误差等影响常会感到把一些值得参考的信息处理掉了，而且当运算量大时误差还会迅速积累，反而影响测量结果的准确程度。因此，在用一个数值表示测量结果时，常在有效数字后面多给出1～2位数字，这样表示的测量结果的数值称为有效安全数字 。测量结果用一个数值表示一般要有以下三个步骤：（1）测量值有效数字最低位的位置要依据误差或不确定度的大小来确定；（2）在有效数字的后面再多取1到2位安全数字；（3）对于其余数字要依据取舍法则进行取舍。

当一个数据是多个数据的运算结果时，如何根据这多个数据的误差情况定出它们运算结果的误差，是一个比较复杂的问题。严格说来应按照误差合成公式进行误差的合成。但是对于比较简单的四则运算，也可以通过分析误差所在的最高位的位置，考虑运算结果的误差情况。此外，在常见的运算中，下述两种情况需要特别注意：（1）当指数的底远大于1或远小于1时，指数的误差对结果影响较大。对于这种情况，指数应尽可能多保留几位有效数字。

（2）当两数相减时，若二数相差不多，则可能对结果产生很大的影响。可见当二差数相近时，有效数字的位数对结果的影响可能十分严重，在测量的计算中应尽力避免这种情况，尽力多取几位有效数字。

［1］张大彪．电子测量与仪器［M］．北京：电子工业出版社，2010．

［2］林占江．电子测量技术［M］．北京：电子工业出版社，2012．

［3］顾小玲．量具与量仪与测量技术［M］．北京：机械工业出版社，2008．