追求诗意的数学课堂

尤善培，江苏省扬州市邗江区教育局副局长，江苏省高中数学特级教师。扬州科技学院数学教育专业“课程设计与教学”专家委员会主任委员，扬州大学数学科学院硕士研究生导师；曾发表《数学文化与数学教学》等100多篇论文，出版《反思与监控》《数学思想方法与数学教学》等专著；获全国“苏步青数学教育奖”、“全国优秀教师”、江苏省“红杉树园丁奖”等荣誉，并被江苏省授予“有突出贡献的中青年专家”。

著名数学家谷超豪院士曾经说过：“在我的生活里，数学是和诗一样让我喜欢的东西，诗可以用简单的语言表达复杂的内容，用具体的语言表现深刻的感情和志向。数学也是这样，l除以3，可以一直除下去，永远除不完，结果用一个无限循环小数表示出来，给人以无穷的想象空间。”他认为：“数学和诗词有许多相通之处，比如数学重视‘对称，中国古典文学中也讲究‘对仗，很有味道。”数学之美，是对称、和谐之美，诗词之美，是对仗、意境之美。数学和诗歌这两个看似完全“不搭界”的领域的确可能共同繁衍出绚丽的花朵。历史上，诗歌使通常的交际语言变得完美，而数学则在创造描述精确思想的语言中起了主要作用。

一、诗化数学

数学与诗歌互有灵犀，互为灵感源泉，是逻辑思维与形象思维的两个极致。数学是逻辑思维的精品，而诗歌是形象思维的精品。若数学和诗歌形影相随，诗歌带来的美感就会激励人们理解数学，欣赏数学。二者的联袂由来已久，数学研究需要诗歌中所表现的丰富想象力，而诗歌的创作也需要数学逻辑的帮助和制约。

1.理性的数学

数学是充满理性而冷静的科学，是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，是通过归纳、概括和抽象，采用的合理推理和逻辑推理的思维方式。从计数、计算、量度出发到对事物形状及运动的观察、刻画和研究中产生高度的抽象、结论的确定和应用的广泛是数学的鲜明特点。数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理和完善境界的追求。

2.感性的诗歌

诗歌是充满感性色彩的人文艺术，它以抒情的方式高度凝练、集中反映社会和生活，用丰富的想象、富有节奏感和韵律美的语言，以分行排列的形式来抒发自己的情感。可以说，诗歌的形成过程是隋感自由自在地流淌放飞心灵的过程。我们要通过诗歌，学会优雅、尽情地表达隋感。正如雨果所说：“数学到了最后阶段就遇到想象，在圆锥曲线、对数、概率、微积分中，想象成了计算的系数，于是数学也成了诗。”

3.诗化的数学

我们喜欢诗歌的美和浪漫，其实数学也具有诗情和画意。我们知道，简单美、和谐美、奇异美是数学的基本特征。但是，数学美往往蕴藏于它所特有的抽象符号、严格语言和演绎体系中。从表面上看，数学没有音乐中抒情的旋律，没有美术中鲜艳的画面，没有文学中动人的诗歌。因而，缺乏数学素养的人往往感到它枯燥单调、神秘莫测，难以唤起追求美的情趣，激荡起审美的波澜。但是，有很多数学家和诗人都能巧妙地在诗歌中隐含数学问题，或用诗歌的形式解答一些数学名题，或用诗歌揭示深刻的数学思想，让人们在感受诗歌的同时，感受数学的美好意境。下面的例子堪称是诗歌与数学结合得天衣无缝相得益彰的典范。

北宋理学家邵雍有一首《蒙学诗》：“一去二三里，烟村四五家。楼台六七座，八九十枝花。”这首诗歌用十个数字描绘出乡村景色，是儿童学习“一到十计数”的启蒙诗。这里，我们已经看到了诗歌在与数学的相互交融与穿插中碰撞出来的美丽火花。

二、诗意课堂

数学与诗歌都充满了美感、激情和人类的精神力量。高度的抽象性是数学的显著特点，也是学生进行逻辑思维的最大障碍。克服这种障碍的一个有效方法就是利用“形象化”的语言或实例来化“抽象”为“形象”。

事实上，诗歌的语言非常形象、凝练和优美，其根深深地扎在自然世界的土壤中，又高于自然世界，枝叶茂盛。我们创设诗意课堂，利用真实、朴实、亲切的语言，风趣、幽默、精彩的讲解，吸引学生的注意力，激起学生的兴趣，引发学生的思维。

诗意课堂的结构：营造意境—发掘激情一内化美感—诗意迁移。

1.“诗画”数学

在教学过程中，我们可以借用诗词描绘丰富的数学形象。有时，短短几行诗句，就能勾勒出数学抽象概念鲜明生动的形象。“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐代诗人王国维在《使至塞上》中的绝唱。诗句清晰地描绘了一幅宁静、清冷、寂寞和旷野的图景，给人一种神秘、孤独的意境，在视觉上呈现出一种自然的美，让人生出无限的遐想。但我们也可以将那荒无人烟的戈壁视为一个平面，将那从地面升起的直上云霄的如烟气柱看成是一条垂直于地面的直线；那远处横卧的长河被视为一条直线，而临近河面逐渐下沉的一轮落日视为一个圆。这样，就描绘出了几个简单纯粹的几何图形，活脱脱地向我们展现了“直线与平面垂直”和“直线与圆相切”两幅鲜明的画面。

“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”用来说明函数y=X³的值域是（-∞，+∞）真是再恰切不过了，可谓是深不可测，高耸入云。同时，该诗句还形象地描述了函数的变化趋势。而“一行白鹭上青天”则写的是白鹭在春天的映衬下，自行成行，无比优美的飞翔姿势，从而呈现的是一幅清新、恬适的江岸美景。但是细细品味，会发现“一行白鹭上青天”又正是y=a^x（a>1，x∈Z）的图像的美妙写照。

2，“诗意”数学

在数学教学中，教师可巧用“诗意”灵活刻画解题方法。有这样一首诗：“策杖无言独倚关，如痴如醉又如闲。孤吟尽日何人会，依约前山似故山（韦庄：《倚柴关》）。”凡到过名山大川的人，都会与诗人有相同的感受，即“前山”与“故山”，这山与那山，大都大同小异，无非是那些奇峰陉石、涧水飞瀑，登极顶而观日出，临幽深而访古寺，难免有一些“依约前山似故山”的感觉。而苏轼则另有一番感受，他写过一首咏庐山的诗《题西林壁》：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”对同一座山，横看成岭，侧看成峰，发现了不同的特点。

这两首诗，对我们数学解题有很好的指导作用。我们在审题时就如同看山一样，一方面要善于异中求同，象韦庄看山一样，迅速把一个新问题转化为一个与之相似的已经解决了的老问题，从而得到新问题的解法。另一方面，又要善于同中求异，象苏轼看山一样，从不同的角度去审视、思考。正如杜甫说的那样“会当凌绝顶，一览众山小”，从而从“山重水复疑无路”的困境中，找到“柳暗花明义一村”的新境界。

3.“诗情”数学

在数学教学中，教师可妙用“诗情”揭示深刻的数学思想。老子在《道德经》里说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”学过数学归纳法的人都知道，此句精辟地揭示了数学归纳法的基本思想。宋叶绍翁也有《游园不值》一诗云：“应怜屐齿印苍苔，小扣柴扉久不开。春色满园关不住，一枝红杏出墙来。”此诗描绘了诗人去友人家花园赏春，未能遂愿，于不经意处，却见墙外红杏一枝，不由猜想——大概已是满园春色了吧。这是可贵的猜想，是否真的是满园春色呢？诗人不得而知，因为柴扉未开，诗人看到的只是个别对象（一枝红杏）。但所得结果却超越了看到的景象，已是满园春色。诗人在这里所采用的方法就是后来数学上常用的方法——不完全归纳法。

如果用此诗描述无界变量，也有极其美妙的感觉。实际上，无界变量是说，无论你设置怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即有—个变量的绝对值会超过M。于是，M可以比喻成无论怎样的园子，变量相当于红杏，结果是总有一枝红杏越出园子的范围。诗的比喻如此贴切，其意境把枯燥的数学语言形象化了。

李白有诗《黄鹤楼送孟浩然之广陵》，广陵即今日的扬州。诗曰：“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。”如果我们脑海中能出现一幅“一叶孤舟随着江流远去，帆影在逐渐缩小，最终消失在水天一色之中”这样的美丽图景，数学中的极限概念也就融合在这优美的诗意中了。因此，用数学的眼光看这首诗可以这样理解：随着时间的推移（→+∞），空间中的船和主客间的距离愈大（→+∞），视野中的孤帆便会在水天一色中消逝（→O），随之心情会愈加凝重，感伤的心理油然而生（→+∞）。

不难想象，若把数学中的极限思想渗入这幅送客图中，就会使场面更加富有动态意境，煞是传神，更使人感到伤感和震撼。与此同时，我们也在古诗文中找到了数学的源泉，抽象的极限概念经过具有时间、地点、人物和情节的唐诗诠释后，也变得情真意切，血肉丰满。

4.“诗歌”数学

活用“诗歌”描述精彩的数学问题。唐代著名诗人王之涣有一首脍炙人口的五言绝句《登鹳雀楼》：“白日依山尽，黄河人海流。欲穷千里目，更上一层楼。”一千多年来，这首诗几乎家喻户晓，许多人都能背诵。然而，就在这首诗中却提出了一个值得思考的数学问题。

问题：欲想看到千里之外的景物，就要更上一层楼，这层楼应有多高？还真有人解答了这个问题，结果发现这层楼应有19.6千米。如果按照现在的理解，每层楼高4米，该楼应有4900层。

白居易的著名诗句：“离离原上草，一岁一枯荣。野火烧不尽，春风吹又生。”诗中“离离原上草，一岁一枯荣”描绘出了自然界一个物候学的重要规律，即野草荣枯相继，一年一循环，这种循环是以气候为转移的。而“野火烧不尽，春风吹又生”以通俗的语言，概括出深刻的哲理，成为千古传诵的佳句，尤其为人赞赏。

细细品味诗句，我们发现它竟然是数列“1，0，1，0，……”真实的生动描写。我们把1看做是野草的“荣”，把0看做是野草的“枯”，那不正是“离离原上草，一岁一枯荣”的最好表述吗？这个数列是无穷无尽的，任何一个O之后又都会出现l，任何一个1的后面又都会出现0，这不正是“野火烧不尽，春风吹又生”吗？

又如初唐诗人陈子昂的名句：“前不见古人，后不见来者。念天地之悠悠，独怆然而涕下（《登幽州台歌》）。”一般的解释说：上两句俯仰古今，写了时间的绵长；第三句登楼眺望，写了空间的辽阔；在广阔无垠的背景中，第四句描绘了诗人孤单寂寞、悲哀苦闷的情结，两相映照，分外动人。但从数学的角度看，这却是一首描述时间和空间的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线（一维空间），陈子昂以自己为原点，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大，后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大；后两句则是描述三维的现实空间，即天是一个平面，地也是一个平面，无形地融合成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考，感到自然之伟大，使人产生敬畏之心，以至怆然涕下。这样的意境正好表明数学家与文学家的心有灵犀。进一步说，爱因斯坦的四维时空学说，也在此诗描述的意境之中。

其实，我们在数学课堂教学中如果能够用诗歌的形象性去解释数学的抽象性，将知识性与趣味性及艺术性相结合，从而建立和谐的教学情境，让学生在潜移默化中体味数学，就能激发学生的思维活力，从而增强其学习兴趣。

可见，当诗歌的文化魅力真正渗入教材，进入课堂，融入教学时，数学就会更加平易近人，诗意课堂就会通过文化层面让学生进一步理解数学、爱好数学、创造数学。当然，诗歌是我们永远挖掘不尽的宝藏，只要我们在平时的数学教学之中，能够有意识地用诗歌的音符去谱数学的曲调，就能创造出诗意的课堂。

三、诗润心灵

数学与诗歌看似风马牛不相及，但实质上它们有着奇妙的统一性。这来源于两种基本的思维方式，即科学思维与艺术思维。数学与诗歌都是想象的产物，都是一种智慧的结晶，更是一种超常的境界。

1.用数学的眼光去追寻诗人的思想轨迹

数学本身就是一首诗，不仅需要严谨的推理，规范的表达，同样需要激情和想象、直觉和浪漫。“哥德巴赫猜想”、“费尔马猜想”都是以“猜想”命名，都是直觉思维的产物，几乎无逻辑可言。几个世纪以来，它把数学家折腾得死去活来又乐此不疲，没有诗一般的想象，没有超凡脱俗的意念，怎么能提出如此优雅的命题。诗词中有数学，数学中有诗词，早已不是新鲜的话题。有了数学眼光，诗可以大气凛然、气势磅礴；有了数学元素，诗可以婀娜曼妙、柔情似水；有了数学精神，诗可以纵横捭阖、任意驰骋。

2.用诗人的情怀去领悟数学的精神实质

数学和诗歌的“柔情”结合，使我们看到枯燥无味的数学居然有这样的诗情画意、妙趣横生和惟妙惟肖；而诗歌在数学的滋润下，也变得更加多情、更加善感、更加美丽、更加色彩缤纷。

教师用诗一样唯美的语言演绎着数学课堂，用诗一样精巧地锻造着课堂，用诗一样的意蕴营造着课堂，用诗一样的激情澎湃着课堂。这样，课堂就充满了浓浓的诗意，涌动着诗的灵性，洋溢着诗的浪漫，弥漫着诗的芳香，勃发着诗的激情，流淌着诗的旋律，演绎着诗的精彩。这样，课堂就具有诗的一切特质。但诗意的课堂并不等于诗的课堂，它的着眼点在于诗意，在于学生在课堂上诗意地栖居，在于学生以诗人的情怀去领悟数学的精神和本质。

3.用精美的数学和诗歌温润学生的内心世界

在诗意的课堂中，既有学生自主思考的空间，又有师生相互交流探索的过程。这使学生对数学有了进一步的了解，有效地掌握了一些数学思想和方法，走进了富有诗意的数学世界。

在诗意的课堂中，呈现在我们眼前的数学源头、历史、精神乃至力量不再是一两页薄薄的教材，而是一幅源远流长的画卷。数学从表面上看虽然枯燥无味，但其“内心深处”却有一种隐蔽的深邃之美，一种感情与理性的交融之美。数学美是数学科学本质力量的感性和理性的体现，是人的本质力量通过人的数学思维结构的展现，是一种彰显人文精神的科学美。

在诗意的数学课堂中，数学揭示的是隐秘物质世界运动规律的符号体系，而诗歌则是揭示隐秘精神世界的符号体系。这样的课堂是进发智慧、传递真理、彰显人性的；是关注生命、生活、生态，关注体验、感情和升华，关注培养学生的情感、思维和灵性，更关注学生在课堂里“诗意”地安居和心灵的滋润。

总之，诗意的数学课堂是学生生命成长和发展的课堂。

（责任编辑 罗登廉）