行程应用题课堂也灵动

骆乐

列方程解应用题是初中代数的一个重要内容，也是学生思维方式的重要转折阶段。由于算术方法在小学数学中已经成为学生的思维定势，对于刚进入初中的学生来说，感到较难理解和掌握。在利用一元一次方程解应用题时，学生利用代数方法解应用题存在以下三种困难：一是找不到等量关系；二是找到等量关系却不会列方程；三是习惯于算术解法。因此，在应用题教学中，解决这三个困难便成了当务之急。此时在课堂教学中采用多种教学手段及分析方法，如列表法、图示法等帮助学生进行分析，同时结合电脑模拟应用题所描述场景，形象直观地帮助学生理解题目中的数量关系，从而准确而迅速地找出等量关系，进而列出方程正确解答出应用题。

行程问题在应用题中是一个重点问题，由于其具有灵活、多变、复杂等特点，往往令学生感到束手无策。针对以上存在问题，我在行程类应用题的教学中，运用电脑特有的模拟现实的动画技术，尝试以此突破难点，优化组合课堂教学内容，致力于视思结合，谋求学生从形象直观的思维向抽象逻辑思维的转变。

一、有序再现储备知识，为有效铺垫课堂做好准备

在应用题教学中，要复习的知识点很多，如列方程解应用题的一般步骤、行程问题的三个基本数量关系、两个行程问题最基本的类型（相遇和追及）、两种类型的相等关系等。要在有效的时间内将这些知识点让学生回忆起来，可将相关的储备知识有机整合，展示给学生，为下一节内容做好准备，同时也做好新知例题的铺垫工作。

1.（1）甲、乙相向而行的相遇问题中，相等关系是（ ）。

（2）甲、乙同向而行的追击问题中（甲追乙），相等关系是（ ）。

（3）甲、乙绕环形跑道跑步（甲快乙慢），

若同时同地背向而行，第一次相遇时，相等关系是（ ）。

若同时同地同向而行，第一次相遇时，相等关系是（ ）。

2.甲乙两站相距1080km，一列快车从甲站开出，每小时行驶72km，一列慢车从乙站开出，每小时行驶48km，两车同时出发相向而行，问经过几小时两车相遇？

3.甲乙两列火车从相距80km的两站同时同向而行，甲车在后，速度为70千米/时，乙车在前面，速度为50千米/时，问经过几小时后，甲车追到乙车？

在出示题目后，学生经过短时回忆，迅速作出解答后，点击出示正确答案。既有利于学生复习巩固，开拓思路，又能够有效地利用复习时间，为下一步的教学奠定基础。

二、拓题演变，有利于学生求异思维及创造能力的培养

一节课的时间仅仅四十分钟，不宜出现过多的题目，可采用变式训练，进行拓题演变，即在原题的基础之上进行条件的添加与修改，既能避免学生频繁地理解题目，又能很好地诱发学生继续探索新知的兴趣。在复习题2的基础上，将问题中的“相遇”二字闪烁，引起学生的好奇心，然后将其变成“相距30千米”，变式成为以下例题：

例1：甲乙两站相距1080km，一列快车从甲站开出，每小时行驶72km，一列慢车从乙站开出，每小时行驶48km，两车同时出发相向而行，问经过几小时两车相距30千米？

这道例题蕴含分类思想，有两种情况：相遇前相距30千米和相遇后继续行驶相距30千米。而大多数同学由于思维的局限性，只能想到第一种。这时，采用电脑的动画技术，可将题目中的行进过程模拟现实演示一遍，并且在两次相距30千米的机会有意停顿片刻。我在实际操作时，课堂上鸦雀无声。在演示第二遍时，课堂气氛顿时活跃起来。在让学生讨论几分钟后，基本上两种情况学生已经认可并且分析出来，且印象深刻。再将现实用数学的方式展示出来，即出示两种情况的示意图及其分析表格。

三种分析方法互相结合，动画模拟现实有助于学生体会分类情况；图示法有助于学生找到相等关系；列表格则清晰地展示了解题过程，解答应用题的三个难点也就迎刃而解了。此时再追加演变，将复习题3的问题改成“经过几小时两车相距20千米？”学生便能依据已学知识独立地解答出来，将新课所学巩固，再次加深印象，内化成已掌握的知识。整个教学环节灵活紧凑而又符合学生的认知特点，使教授的知识灵活有机结合在一起。

三、直观演示，找到解题突破点，提高分析问题的能力

行程问题类的环形道路问题有其独有的特点。由于行进路线是一个圆形，学生始终弄不清楚到底是谁在追谁，因此会对此类问题产生畏惧心理。如果此时能够利用图示法，并借助于电脑形象直观地展示整个运动过程，抓住环形行程类问题的实质，就会发现与在直的路线上的行进问题类似，转化成已经解决的类型，从而轻松解决问题。

例2：甲、乙两人绕湖竞走，绕湖一周为400米，乙的速度为80米/分，甲的速度为乙的1.25倍。

（1）如果乙先走100米，然后甲在后面同向而行，甲经过几分钟追上乙？

（2）如果甲先走100米，然后乙与甲同向而行，乙经过几分钟被甲追上？

这道环形问题，第一小题较简单。速度慢的乙先走100米，然后甲在后面追乙，其实是一道简单的追及问题，相等关系容易找到：

甲的行程-乙的行程=100

而第二小题，由于甲的速度快而且甲又先走100米，在甲乙同时走的过程中，表面上是乙在甲的后面，而实际上是甲在追乙，这是一个最关键的地方，也是学生最容易卡壳的地方。这个时候借助于多媒体，清晰地展示了整个行进过程。在整个演示过程中，速度快的甲追到乙时，比乙多走了300米。通过直观演示让学生理解谁在追谁的难点后，该道题也就转化成了一道追及问题。

四、观察思考，有利于学生综合运用知识，提高形象思维能力

行程问题中有一种类型的题目，即两者之间的路程隐藏在条件之中，例如与火车常见的相遇时间等，这一类问题关键在于能够分析出相遇或追及的初始路程是多少，再将之归纳为两个最基本的类型：追及问题和相遇问题。

例3：有一队长为500米的队伍，正以2米/秒的速度前进着，现有一个紧急任务，需通讯员立即从排尾赶到排头，并立即返回排尾。又知道通讯员的速度为3米/秒，问通讯员往返一次需要多少时间？

这道题目实际上由追及问题和相遇问题复合而来，其难点之一在于需要分两个过程分析，即追的过程和返回的过程，其难点之二在于在两个过程中，通讯员到底在追谁及与谁相遇。在分析清楚“往返”的意思后，首先直观演示通讯员及队伍的行进过程，使学生清楚，要求往返一次所需时间，必须分两个阶段考虑。然后分别按照步骤，模拟现实分步演示两个过程：

（2）返回过程

用同样方法考虑返回过程实际上是什么过程，与哪个对象有关，要考虑什么，其行进路线怎样？并以同样的列表及图示的分析方法，学生已经能够借助于线段图及表格（2）进行独立分析，并完成解答。

行程问题是应用题中的精髓，在处理行程类应用题的教学中，应结合应用题本身的特点及学生本身的认知特点，应用电脑的动感技术及交互能力，直观地展示行进过程，学生依据观察，并转化成用数学的方式分析出解题要点。整个过程动画与现实结合，以学生观察为主、教师讲解为辅，锻炼了学生的分析能力和形象思维能力，让学生在轻松、新奇、严谨的氛围中接受知识，整个课堂充满灵动之感。endprint

列方程解应用题是初中代数的一个重要内容，也是学生思维方式的重要转折阶段。由于算术方法在小学数学中已经成为学生的思维定势，对于刚进入初中的学生来说，感到较难理解和掌握。在利用一元一次方程解应用题时，学生利用代数方法解应用题存在以下三种困难：一是找不到等量关系；二是找到等量关系却不会列方程；三是习惯于算术解法。因此，在应用题教学中，解决这三个困难便成了当务之急。此时在课堂教学中采用多种教学手段及分析方法，如列表法、图示法等帮助学生进行分析，同时结合电脑模拟应用题所描述场景，形象直观地帮助学生理解题目中的数量关系，从而准确而迅速地找出等量关系，进而列出方程正确解答出应用题。

行程问题在应用题中是一个重点问题，由于其具有灵活、多变、复杂等特点，往往令学生感到束手无策。针对以上存在问题，我在行程类应用题的教学中，运用电脑特有的模拟现实的动画技术，尝试以此突破难点，优化组合课堂教学内容，致力于视思结合，谋求学生从形象直观的思维向抽象逻辑思维的转变。

一、有序再现储备知识，为有效铺垫课堂做好准备

在应用题教学中，要复习的知识点很多，如列方程解应用题的一般步骤、行程问题的三个基本数量关系、两个行程问题最基本的类型（相遇和追及）、两种类型的相等关系等。要在有效的时间内将这些知识点让学生回忆起来，可将相关的储备知识有机整合，展示给学生，为下一节内容做好准备，同时也做好新知例题的铺垫工作。

1.（1）甲、乙相向而行的相遇问题中，相等关系是（ ）。

（2）甲、乙同向而行的追击问题中（甲追乙），相等关系是（ ）。

（3）甲、乙绕环形跑道跑步（甲快乙慢），

若同时同地背向而行，第一次相遇时，相等关系是（ ）。

若同时同地同向而行，第一次相遇时，相等关系是（ ）。

2.甲乙两站相距1080km，一列快车从甲站开出，每小时行驶72km，一列慢车从乙站开出，每小时行驶48km，两车同时出发相向而行，问经过几小时两车相遇？

3.甲乙两列火车从相距80km的两站同时同向而行，甲车在后，速度为70千米/时，乙车在前面，速度为50千米/时，问经过几小时后，甲车追到乙车？

在出示题目后，学生经过短时回忆，迅速作出解答后，点击出示正确答案。既有利于学生复习巩固，开拓思路，又能够有效地利用复习时间，为下一步的教学奠定基础。

二、拓题演变，有利于学生求异思维及创造能力的培养

一节课的时间仅仅四十分钟，不宜出现过多的题目，可采用变式训练，进行拓题演变，即在原题的基础之上进行条件的添加与修改，既能避免学生频繁地理解题目，又能很好地诱发学生继续探索新知的兴趣。在复习题2的基础上，将问题中的“相遇”二字闪烁，引起学生的好奇心，然后将其变成“相距30千米”，变式成为以下例题：

例1：甲乙两站相距1080km，一列快车从甲站开出，每小时行驶72km，一列慢车从乙站开出，每小时行驶48km，两车同时出发相向而行，问经过几小时两车相距30千米？

这道例题蕴含分类思想，有两种情况：相遇前相距30千米和相遇后继续行驶相距30千米。而大多数同学由于思维的局限性，只能想到第一种。这时，采用电脑的动画技术，可将题目中的行进过程模拟现实演示一遍，并且在两次相距30千米的机会有意停顿片刻。我在实际操作时，课堂上鸦雀无声。在演示第二遍时，课堂气氛顿时活跃起来。在让学生讨论几分钟后，基本上两种情况学生已经认可并且分析出来，且印象深刻。再将现实用数学的方式展示出来，即出示两种情况的示意图及其分析表格。

三种分析方法互相结合，动画模拟现实有助于学生体会分类情况；图示法有助于学生找到相等关系；列表格则清晰地展示了解题过程，解答应用题的三个难点也就迎刃而解了。此时再追加演变，将复习题3的问题改成“经过几小时两车相距20千米？”学生便能依据已学知识独立地解答出来，将新课所学巩固，再次加深印象，内化成已掌握的知识。整个教学环节灵活紧凑而又符合学生的认知特点，使教授的知识灵活有机结合在一起。

三、直观演示，找到解题突破点，提高分析问题的能力

行程问题类的环形道路问题有其独有的特点。由于行进路线是一个圆形，学生始终弄不清楚到底是谁在追谁，因此会对此类问题产生畏惧心理。如果此时能够利用图示法，并借助于电脑形象直观地展示整个运动过程，抓住环形行程类问题的实质，就会发现与在直的路线上的行进问题类似，转化成已经解决的类型，从而轻松解决问题。

例2：甲、乙两人绕湖竞走，绕湖一周为400米，乙的速度为80米/分，甲的速度为乙的1.25倍。

（1）如果乙先走100米，然后甲在后面同向而行，甲经过几分钟追上乙？

（2）如果甲先走100米，然后乙与甲同向而行，乙经过几分钟被甲追上？

这道环形问题，第一小题较简单。速度慢的乙先走100米，然后甲在后面追乙，其实是一道简单的追及问题，相等关系容易找到：

甲的行程-乙的行程=100

而第二小题，由于甲的速度快而且甲又先走100米，在甲乙同时走的过程中，表面上是乙在甲的后面，而实际上是甲在追乙，这是一个最关键的地方，也是学生最容易卡壳的地方。这个时候借助于多媒体，清晰地展示了整个行进过程。在整个演示过程中，速度快的甲追到乙时，比乙多走了300米。通过直观演示让学生理解谁在追谁的难点后，该道题也就转化成了一道追及问题。

四、观察思考，有利于学生综合运用知识，提高形象思维能力

行程问题中有一种类型的题目，即两者之间的路程隐藏在条件之中，例如与火车常见的相遇时间等，这一类问题关键在于能够分析出相遇或追及的初始路程是多少，再将之归纳为两个最基本的类型：追及问题和相遇问题。

例3：有一队长为500米的队伍，正以2米/秒的速度前进着，现有一个紧急任务，需通讯员立即从排尾赶到排头，并立即返回排尾。又知道通讯员的速度为3米/秒，问通讯员往返一次需要多少时间？

这道题目实际上由追及问题和相遇问题复合而来，其难点之一在于需要分两个过程分析，即追的过程和返回的过程，其难点之二在于在两个过程中，通讯员到底在追谁及与谁相遇。在分析清楚“往返”的意思后，首先直观演示通讯员及队伍的行进过程，使学生清楚，要求往返一次所需时间，必须分两个阶段考虑。然后分别按照步骤，模拟现实分步演示两个过程：

（2）返回过程

用同样方法考虑返回过程实际上是什么过程，与哪个对象有关，要考虑什么，其行进路线怎样？并以同样的列表及图示的分析方法，学生已经能够借助于线段图及表格（2）进行独立分析，并完成解答。

行程问题是应用题中的精髓，在处理行程类应用题的教学中，应结合应用题本身的特点及学生本身的认知特点，应用电脑的动感技术及交互能力，直观地展示行进过程，学生依据观察，并转化成用数学的方式分析出解题要点。整个过程动画与现实结合，以学生观察为主、教师讲解为辅，锻炼了学生的分析能力和形象思维能力，让学生在轻松、新奇、严谨的氛围中接受知识，整个课堂充满灵动之感。endprint

列方程解应用题是初中代数的一个重要内容，也是学生思维方式的重要转折阶段。由于算术方法在小学数学中已经成为学生的思维定势，对于刚进入初中的学生来说，感到较难理解和掌握。在利用一元一次方程解应用题时，学生利用代数方法解应用题存在以下三种困难：一是找不到等量关系；二是找到等量关系却不会列方程；三是习惯于算术解法。因此，在应用题教学中，解决这三个困难便成了当务之急。此时在课堂教学中采用多种教学手段及分析方法，如列表法、图示法等帮助学生进行分析，同时结合电脑模拟应用题所描述场景，形象直观地帮助学生理解题目中的数量关系，从而准确而迅速地找出等量关系，进而列出方程正确解答出应用题。

行程问题在应用题中是一个重点问题，由于其具有灵活、多变、复杂等特点，往往令学生感到束手无策。针对以上存在问题，我在行程类应用题的教学中，运用电脑特有的模拟现实的动画技术，尝试以此突破难点，优化组合课堂教学内容，致力于视思结合，谋求学生从形象直观的思维向抽象逻辑思维的转变。

一、有序再现储备知识，为有效铺垫课堂做好准备

在应用题教学中，要复习的知识点很多，如列方程解应用题的一般步骤、行程问题的三个基本数量关系、两个行程问题最基本的类型（相遇和追及）、两种类型的相等关系等。要在有效的时间内将这些知识点让学生回忆起来，可将相关的储备知识有机整合，展示给学生，为下一节内容做好准备，同时也做好新知例题的铺垫工作。

1.（1）甲、乙相向而行的相遇问题中，相等关系是（ ）。

（2）甲、乙同向而行的追击问题中（甲追乙），相等关系是（ ）。

（3）甲、乙绕环形跑道跑步（甲快乙慢），

若同时同地背向而行，第一次相遇时，相等关系是（ ）。

若同时同地同向而行，第一次相遇时，相等关系是（ ）。

2.甲乙两站相距1080km，一列快车从甲站开出，每小时行驶72km，一列慢车从乙站开出，每小时行驶48km，两车同时出发相向而行，问经过几小时两车相遇？

3.甲乙两列火车从相距80km的两站同时同向而行，甲车在后，速度为70千米/时，乙车在前面，速度为50千米/时，问经过几小时后，甲车追到乙车？

在出示题目后，学生经过短时回忆，迅速作出解答后，点击出示正确答案。既有利于学生复习巩固，开拓思路，又能够有效地利用复习时间，为下一步的教学奠定基础。

二、拓题演变，有利于学生求异思维及创造能力的培养

一节课的时间仅仅四十分钟，不宜出现过多的题目，可采用变式训练，进行拓题演变，即在原题的基础之上进行条件的添加与修改，既能避免学生频繁地理解题目，又能很好地诱发学生继续探索新知的兴趣。在复习题2的基础上，将问题中的“相遇”二字闪烁，引起学生的好奇心，然后将其变成“相距30千米”，变式成为以下例题：

例1：甲乙两站相距1080km，一列快车从甲站开出，每小时行驶72km，一列慢车从乙站开出，每小时行驶48km，两车同时出发相向而行，问经过几小时两车相距30千米？

这道例题蕴含分类思想，有两种情况：相遇前相距30千米和相遇后继续行驶相距30千米。而大多数同学由于思维的局限性，只能想到第一种。这时，采用电脑的动画技术，可将题目中的行进过程模拟现实演示一遍，并且在两次相距30千米的机会有意停顿片刻。我在实际操作时，课堂上鸦雀无声。在演示第二遍时，课堂气氛顿时活跃起来。在让学生讨论几分钟后，基本上两种情况学生已经认可并且分析出来，且印象深刻。再将现实用数学的方式展示出来，即出示两种情况的示意图及其分析表格。

三种分析方法互相结合，动画模拟现实有助于学生体会分类情况；图示法有助于学生找到相等关系；列表格则清晰地展示了解题过程，解答应用题的三个难点也就迎刃而解了。此时再追加演变，将复习题3的问题改成“经过几小时两车相距20千米？”学生便能依据已学知识独立地解答出来，将新课所学巩固，再次加深印象，内化成已掌握的知识。整个教学环节灵活紧凑而又符合学生的认知特点，使教授的知识灵活有机结合在一起。

三、直观演示，找到解题突破点，提高分析问题的能力

行程问题类的环形道路问题有其独有的特点。由于行进路线是一个圆形，学生始终弄不清楚到底是谁在追谁，因此会对此类问题产生畏惧心理。如果此时能够利用图示法，并借助于电脑形象直观地展示整个运动过程，抓住环形行程类问题的实质，就会发现与在直的路线上的行进问题类似，转化成已经解决的类型，从而轻松解决问题。

例2：甲、乙两人绕湖竞走，绕湖一周为400米，乙的速度为80米/分，甲的速度为乙的1.25倍。

（1）如果乙先走100米，然后甲在后面同向而行，甲经过几分钟追上乙？

（2）如果甲先走100米，然后乙与甲同向而行，乙经过几分钟被甲追上？

这道环形问题，第一小题较简单。速度慢的乙先走100米，然后甲在后面追乙，其实是一道简单的追及问题，相等关系容易找到：

甲的行程-乙的行程=100

而第二小题，由于甲的速度快而且甲又先走100米，在甲乙同时走的过程中，表面上是乙在甲的后面，而实际上是甲在追乙，这是一个最关键的地方，也是学生最容易卡壳的地方。这个时候借助于多媒体，清晰地展示了整个行进过程。在整个演示过程中，速度快的甲追到乙时，比乙多走了300米。通过直观演示让学生理解谁在追谁的难点后，该道题也就转化成了一道追及问题。

四、观察思考，有利于学生综合运用知识，提高形象思维能力

行程问题中有一种类型的题目，即两者之间的路程隐藏在条件之中，例如与火车常见的相遇时间等，这一类问题关键在于能够分析出相遇或追及的初始路程是多少，再将之归纳为两个最基本的类型：追及问题和相遇问题。

例3：有一队长为500米的队伍，正以2米/秒的速度前进着，现有一个紧急任务，需通讯员立即从排尾赶到排头，并立即返回排尾。又知道通讯员的速度为3米/秒，问通讯员往返一次需要多少时间？

这道题目实际上由追及问题和相遇问题复合而来，其难点之一在于需要分两个过程分析，即追的过程和返回的过程，其难点之二在于在两个过程中，通讯员到底在追谁及与谁相遇。在分析清楚“往返”的意思后，首先直观演示通讯员及队伍的行进过程，使学生清楚，要求往返一次所需时间，必须分两个阶段考虑。然后分别按照步骤，模拟现实分步演示两个过程：

（2）返回过程

用同样方法考虑返回过程实际上是什么过程，与哪个对象有关，要考虑什么，其行进路线怎样？并以同样的列表及图示的分析方法，学生已经能够借助于线段图及表格（2）进行独立分析，并完成解答。

行程问题是应用题中的精髓，在处理行程类应用题的教学中，应结合应用题本身的特点及学生本身的认知特点，应用电脑的动感技术及交互能力，直观地展示行进过程，学生依据观察，并转化成用数学的方式分析出解题要点。整个过程动画与现实结合，以学生观察为主、教师讲解为辅，锻炼了学生的分析能力和形象思维能力，让学生在轻松、新奇、严谨的氛围中接受知识，整个课堂充满灵动之感。endprint