在数学教学中如何培养学生的发散思维

张秀梅

发散思维，即求异思维，它具有多向性、变异性、独特性的特点，包括横向思维、逆向思维及多向思维.在中学数学教学中，培养学生的发散思维可提高学生的综合素质，这是中学数学教学改革的重要课题.我们要有目的地从以下三个方面培养学生的思维品质，开阔学生的视野，拓宽学生的思路，启迪学生的思维意识，培养学生的发散性思维能力，提高学生的创造力.

一、加强知识间的纵横联系，培养横向思维

知识间总有纵向、横向、多向或多层次等多种联系，教师要善于发现、引导学生建立思维线索.要尽可能运用思维技巧，利用联想把若干数学概念或定理、法则等赋予巧妙的联系，从而获得新的理解等.横向思维关键在于培养学生的纵横发散，而纵横发散是通过两个或多个发散点间的联系，以及发散点与其他知识的关系，借助例题形成发散思维.

像这样通过建立联系、学会纵横思维，就可以很快解决问题.在课堂上还可采用小组讨论、竞赛、自学等，反复训练，逐步发展学生的数学思维能力.

二、打破正向思维，培养逆向思维

心理学研究表明：每一个思维过程都有一个与之相反的思维过程，在这个互逆过程中，存在正、逆思维的联结.正向思维是从题目给的已知条件出发，按题目给的已知条件顺利去研究、推导未知结论的思维方式.所谓逆向思维，是指和正向思维方向相反而又相互联系的思维过程，即我们通常所说的“倒着想”或“反过来想一想”.逆向思维可以化异为同，化生为熟，化多为少，化难为易，变繁为简，逆向思维也是人们提出问题、解决问题的一种重要方法.

从以上例题可知，学生在思考问题时，若能积极、大胆地把思维方向引向倒转，从别人思维的相反方向或相反顺序上考虑问题，往往能得到突破，取得意想不到的效果，从而解决问题.同时教师在教学中有意识地进行转化思维方法的渗透，就会强化学生转化的意识，培养学生的逆向思维.

如果一个学生的双基越扎实，前面知识对后面知识的负迁移作用就越小，逆向思维也就越容易建立.因此，培养学生的逆向思维能力，必须以扎实双基为前提，否则会弄巧成拙、事倍功半.我们只有在夯实学生双基的前提下，顾及学生年龄、心理发展特点和接受能力，精心设计培养学生逆向思维能力的方法，才能使学生的创造性思维得到发展.

三、利用一题多解、一题多变，培养多向思维

反复进行“一题多解”、“一题多变”的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效途径.可通过讨论，启迪学生思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力.在数学教学中，抓住一道典型题目，寻求多种途径的解法，促使学生全方位、多层次地思考分析.

1.利用一题多解，培养学生的多向思维.

一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程分析、解答同一道数学题的练习活动.一题多解是培养学生发散思维能力、探索精神和创新能力的有效途径.

分析一：因AD∥BC，延长FE交CB延长线，由△FAE≌△HBE及△FAG∽△HCG，即可证明本题.如图（1），证明略.

分析二：因AB∥DC，过F作DC的平行线，由△AMF∽△ACD及△FMG∽△EAG，即可证明本题.如图（2），证明略.

分析四：过点D作DH∥FE交AB的延长线于点H，由△AEF∽△AHD及△DQC∽△HQA，本题可证.如图（4），证明略.

通过一题多解训练，达到锻炼学生的思维，拓宽学生的思路，增长学生的知识，培养和提高学生的创造性学习能力的根本目的.发散性思维是变通的，因此在教学过程中，对一些问题的解决，教师充分利用学生学过的基础知识和技能，调动一切做题手段，从各个侧面论证同一命题正确性.

2.利用一题多变，培养学生的多向思维.

著名数学家波利亚说：“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有变化但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”

一题多变即从一道例题或习题出发通过改变条件、改变结论、变化情景、变化题型、变化难度等手段使原来的一道题变成一类题、由一类题变成多类题，并通过对变式题的研究、解决，促使学生积极思维，有利于防止就题论题、呆板僵化的思维方式.从而培养学生思维的灵活性，达到举一反三、触类旁通，熟一片、通一类的效果.

例：甲列车从A地开往B地，速度是80千米/小时，乙列车同时从B地开往A地，速度是100千米/小时.已知A，B两地相距300千米，两车相遇的地方离A地多远？

变式1：两车几小时后相遇？

变式2：如果甲车先开20分钟，甲车行了多少小时两车相遇？

变式3：两车同时开出，同向而行，多少小时乙车可以追赶上甲车？

这种训练不仅使学生更深入地掌握这种问题的结构和解法，还可预防思维定势，同时也培养发散思维能力.

总之，教师在教学实践中，要多方面培养学生的发散性思维能力，坚持发展学生的创造力.教师通过发散→集中→再发散→再集中的循环思维方式，将发散与集中有机结合，使学生的思维品质得到优化，使学生的创造性思维和创新能力得到进一步提高.endprint

发散思维，即求异思维，它具有多向性、变异性、独特性的特点，包括横向思维、逆向思维及多向思维.在中学数学教学中，培养学生的发散思维可提高学生的综合素质，这是中学数学教学改革的重要课题.我们要有目的地从以下三个方面培养学生的思维品质，开阔学生的视野，拓宽学生的思路，启迪学生的思维意识，培养学生的发散性思维能力，提高学生的创造力.

一、加强知识间的纵横联系，培养横向思维

知识间总有纵向、横向、多向或多层次等多种联系，教师要善于发现、引导学生建立思维线索.要尽可能运用思维技巧，利用联想把若干数学概念或定理、法则等赋予巧妙的联系，从而获得新的理解等.横向思维关键在于培养学生的纵横发散，而纵横发散是通过两个或多个发散点间的联系，以及发散点与其他知识的关系，借助例题形成发散思维.

像这样通过建立联系、学会纵横思维，就可以很快解决问题.在课堂上还可采用小组讨论、竞赛、自学等，反复训练，逐步发展学生的数学思维能力.

二、打破正向思维，培养逆向思维

心理学研究表明：每一个思维过程都有一个与之相反的思维过程，在这个互逆过程中，存在正、逆思维的联结.正向思维是从题目给的已知条件出发，按题目给的已知条件顺利去研究、推导未知结论的思维方式.所谓逆向思维，是指和正向思维方向相反而又相互联系的思维过程，即我们通常所说的“倒着想”或“反过来想一想”.逆向思维可以化异为同，化生为熟，化多为少，化难为易，变繁为简，逆向思维也是人们提出问题、解决问题的一种重要方法.

从以上例题可知，学生在思考问题时，若能积极、大胆地把思维方向引向倒转，从别人思维的相反方向或相反顺序上考虑问题，往往能得到突破，取得意想不到的效果，从而解决问题.同时教师在教学中有意识地进行转化思维方法的渗透，就会强化学生转化的意识，培养学生的逆向思维.

如果一个学生的双基越扎实，前面知识对后面知识的负迁移作用就越小，逆向思维也就越容易建立.因此，培养学生的逆向思维能力，必须以扎实双基为前提，否则会弄巧成拙、事倍功半.我们只有在夯实学生双基的前提下，顾及学生年龄、心理发展特点和接受能力，精心设计培养学生逆向思维能力的方法，才能使学生的创造性思维得到发展.

三、利用一题多解、一题多变，培养多向思维

反复进行“一题多解”、“一题多变”的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效途径.可通过讨论，启迪学生思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力.在数学教学中，抓住一道典型题目，寻求多种途径的解法，促使学生全方位、多层次地思考分析.

1.利用一题多解，培养学生的多向思维.

一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程分析、解答同一道数学题的练习活动.一题多解是培养学生发散思维能力、探索精神和创新能力的有效途径.

分析一：因AD∥BC，延长FE交CB延长线，由△FAE≌△HBE及△FAG∽△HCG，即可证明本题.如图（1），证明略.

分析二：因AB∥DC，过F作DC的平行线，由△AMF∽△ACD及△FMG∽△EAG，即可证明本题.如图（2），证明略.

分析四：过点D作DH∥FE交AB的延长线于点H，由△AEF∽△AHD及△DQC∽△HQA，本题可证.如图（4），证明略.

通过一题多解训练，达到锻炼学生的思维，拓宽学生的思路，增长学生的知识，培养和提高学生的创造性学习能力的根本目的.发散性思维是变通的，因此在教学过程中，对一些问题的解决，教师充分利用学生学过的基础知识和技能，调动一切做题手段，从各个侧面论证同一命题正确性.

2.利用一题多变，培养学生的多向思维.

著名数学家波利亚说：“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有变化但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”

一题多变即从一道例题或习题出发通过改变条件、改变结论、变化情景、变化题型、变化难度等手段使原来的一道题变成一类题、由一类题变成多类题，并通过对变式题的研究、解决，促使学生积极思维，有利于防止就题论题、呆板僵化的思维方式.从而培养学生思维的灵活性，达到举一反三、触类旁通，熟一片、通一类的效果.

例：甲列车从A地开往B地，速度是80千米/小时，乙列车同时从B地开往A地，速度是100千米/小时.已知A，B两地相距300千米，两车相遇的地方离A地多远？

变式1：两车几小时后相遇？

变式2：如果甲车先开20分钟，甲车行了多少小时两车相遇？

变式3：两车同时开出，同向而行，多少小时乙车可以追赶上甲车？

这种训练不仅使学生更深入地掌握这种问题的结构和解法，还可预防思维定势，同时也培养发散思维能力.

总之，教师在教学实践中，要多方面培养学生的发散性思维能力，坚持发展学生的创造力.教师通过发散→集中→再发散→再集中的循环思维方式，将发散与集中有机结合，使学生的思维品质得到优化，使学生的创造性思维和创新能力得到进一步提高.endprint

发散思维，即求异思维，它具有多向性、变异性、独特性的特点，包括横向思维、逆向思维及多向思维.在中学数学教学中，培养学生的发散思维可提高学生的综合素质，这是中学数学教学改革的重要课题.我们要有目的地从以下三个方面培养学生的思维品质，开阔学生的视野，拓宽学生的思路，启迪学生的思维意识，培养学生的发散性思维能力，提高学生的创造力.

一、加强知识间的纵横联系，培养横向思维

知识间总有纵向、横向、多向或多层次等多种联系，教师要善于发现、引导学生建立思维线索.要尽可能运用思维技巧，利用联想把若干数学概念或定理、法则等赋予巧妙的联系，从而获得新的理解等.横向思维关键在于培养学生的纵横发散，而纵横发散是通过两个或多个发散点间的联系，以及发散点与其他知识的关系，借助例题形成发散思维.

像这样通过建立联系、学会纵横思维，就可以很快解决问题.在课堂上还可采用小组讨论、竞赛、自学等，反复训练，逐步发展学生的数学思维能力.

二、打破正向思维，培养逆向思维

心理学研究表明：每一个思维过程都有一个与之相反的思维过程，在这个互逆过程中，存在正、逆思维的联结.正向思维是从题目给的已知条件出发，按题目给的已知条件顺利去研究、推导未知结论的思维方式.所谓逆向思维，是指和正向思维方向相反而又相互联系的思维过程，即我们通常所说的“倒着想”或“反过来想一想”.逆向思维可以化异为同，化生为熟，化多为少，化难为易，变繁为简，逆向思维也是人们提出问题、解决问题的一种重要方法.

从以上例题可知，学生在思考问题时，若能积极、大胆地把思维方向引向倒转，从别人思维的相反方向或相反顺序上考虑问题，往往能得到突破，取得意想不到的效果，从而解决问题.同时教师在教学中有意识地进行转化思维方法的渗透，就会强化学生转化的意识，培养学生的逆向思维.

如果一个学生的双基越扎实，前面知识对后面知识的负迁移作用就越小，逆向思维也就越容易建立.因此，培养学生的逆向思维能力，必须以扎实双基为前提，否则会弄巧成拙、事倍功半.我们只有在夯实学生双基的前提下，顾及学生年龄、心理发展特点和接受能力，精心设计培养学生逆向思维能力的方法，才能使学生的创造性思维得到发展.

三、利用一题多解、一题多变，培养多向思维

反复进行“一题多解”、“一题多变”的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效途径.可通过讨论，启迪学生思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力.在数学教学中，抓住一道典型题目，寻求多种途径的解法，促使学生全方位、多层次地思考分析.

1.利用一题多解，培养学生的多向思维.

一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程分析、解答同一道数学题的练习活动.一题多解是培养学生发散思维能力、探索精神和创新能力的有效途径.

分析一：因AD∥BC，延长FE交CB延长线，由△FAE≌△HBE及△FAG∽△HCG，即可证明本题.如图（1），证明略.

分析二：因AB∥DC，过F作DC的平行线，由△AMF∽△ACD及△FMG∽△EAG，即可证明本题.如图（2），证明略.

分析四：过点D作DH∥FE交AB的延长线于点H，由△AEF∽△AHD及△DQC∽△HQA，本题可证.如图（4），证明略.

通过一题多解训练，达到锻炼学生的思维，拓宽学生的思路，增长学生的知识，培养和提高学生的创造性学习能力的根本目的.发散性思维是变通的，因此在教学过程中，对一些问题的解决，教师充分利用学生学过的基础知识和技能，调动一切做题手段，从各个侧面论证同一命题正确性.

2.利用一题多变，培养学生的多向思维.

著名数学家波利亚说：“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有变化但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”

一题多变即从一道例题或习题出发通过改变条件、改变结论、变化情景、变化题型、变化难度等手段使原来的一道题变成一类题、由一类题变成多类题，并通过对变式题的研究、解决，促使学生积极思维，有利于防止就题论题、呆板僵化的思维方式.从而培养学生思维的灵活性，达到举一反三、触类旁通，熟一片、通一类的效果.

例：甲列车从A地开往B地，速度是80千米/小时，乙列车同时从B地开往A地，速度是100千米/小时.已知A，B两地相距300千米，两车相遇的地方离A地多远？

变式1：两车几小时后相遇？

变式2：如果甲车先开20分钟，甲车行了多少小时两车相遇？

变式3：两车同时开出，同向而行，多少小时乙车可以追赶上甲车？

这种训练不仅使学生更深入地掌握这种问题的结构和解法，还可预防思维定势，同时也培养发散思维能力.

总之，教师在教学实践中，要多方面培养学生的发散性思维能力，坚持发展学生的创造力.教师通过发散→集中→再发散→再集中的循环思维方式，将发散与集中有机结合，使学生的思维品质得到优化，使学生的创造性思维和创新能力得到进一步提高.endprint