化归法在高等数学中的应用

曲广军

（陕西理工学院 数计学院，陕西 汉中 723001）

1 引言

高等数学是高等院校理工科的一门基础课,它具有结构严谨、逻辑性强的特点.化归思想是在解决数学分析问题时一种重要的工具．在高等数学课程里,化归策略思想有着重要体现：①变量代换化归法，如等价无穷小代换、换元积分法、“常数变易法”、“拉格朗日乘数法”等；②概念归化法，如连续、导数、级数、、积分等这些概念这些概念都可归结到极限的概念中去；③定理及准则的归化，如柯西收敛定理,主要有数列、函数、数项级数、广义积分收敛,函数项级数、含参变量积分、函数列的柯西收敛或一致收敛准则, 这些准则只依据数列或函数自身的特点来判断收敛性.四是离散-连续化归的归化,如海涅定理,把函数的极限与数列的极限结合起来，达到连续与离散问题的相互转化. 五构造模式化归法，如闭区间上连续函数的零点定理“构造性证明”,微分中值定理证明中构造的辅助函数等．总之，数学分析中各部分知识都不是孤立的,它们存在着密切联系，而这些联系无处不体现着化归的数学思想.文章将从一些简单的数学问题入手，给大家介绍数学分析中化归思想的应用与选择，从而构造一个完整的知识脉络

2 化归思想在高等数学解题中的应用举例

（1）变量代换化归方法。变量代换化归法是通过变量代换,将问题等价转化去解决问题。例如等价无穷小代换，换元积分法。

证明 令xn=a+αn，yn=b+βn,则n→∞时αn，βn→0 于是

当n→∞时第二和三项趋向于零，又因为an→0（n→∞）, 故→an→有界，即EM，使得≤MAn∈N。故有0<

（2）参数变易化归法。通过引进适当的参数,使问题的表现形式或解的结构,处于某中可变的状态之中,从而使问题迎刃而解．例如“常数变易法”、“拉格朗日乘数法”等．

（3）离散-连续化归。在数学分析中离散-连续化归方法基本的体现就是海涅定理，它是离散的数列极限与连续的函数极限联系起来。

例 3 设 a >0，b >0，c >0， 求 极 限

（5）数列问题化归为级数问题。设x1=a1，xn=a1+…+an（n≥1）则数列∈xn∈等价与级数，当二者都收敛时。因此,判定数列∈xn∈的敛散性与求的问题可归结为判定的敛散性与求级数和的问题。

（6）多元函数的极限化归为一元函数的极限。多元函数的极限计算我们大多是通过变量替换将其可以化归为一元函数的极限问题来讨论,这就是所谓的“一维化”方法．

解 设x=ρcosθ,y=ρsinθ（这里x0=0,y0=0），由cosθ 和sinθ 的有界性, 有（sin3θ+cos3θ）=0

（7）不同类型积分之间的化归。二重积分化归为定积分：二重积分计算的基本方法是化二重积分为累次积分,这种几乎是计算二重积分的唯一方法，使用变量替换法和分部积分法,最终还是化归为累次积分。

曲线积分化归为定积分：无论是第一型曲线积分还是第二型曲线积分,都可以化归为定积分来解决,这是我们所熟知的。

曲线积分与二重积分之间的化归：格林公式给出了平面区域上的二重积分与沿着区域边界的闭曲线的曲线积分之间的关系。

（8）微分和积分观点的相互化归。微分和积分方法的相互转化是解决分析问题的一大利器。

例7 设f（x）[0 1]上可微,且当x∈(0,1)时0

因为F（0）=0，故只要在证明在（0 1）内有F謖（x）>0

已知f（0）=0，00

所以当x∈(0,1)时,命题得证F/（x）>0。

3 化归方法评述

从化归方法的整体结构框架可以看出:要用化归方法解决问题,关键是建立完善的的知识结构体系，从而用不同的手段解决相同的问题.

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