第一个重要极限的几种证明及其应用

路玉梅

（亳州师范高等专科学校，安徽 亳州 236800）

1 第一个重要极限重要意义

对于高等数学来说,极限是相当重要,函数连续性的验证,单侧导数的求取等多方面，都与其相关；在极限这一部分中, 第一个重要极限是要特别介绍的,第一个重要极限是可以作为结论直接使用的,下面就第一个重要极限在极限计算、导数公式推导、近似计算和数列级数极限计算中的应用简单介绍。

（2）变形：

（3）推广：

2 第一个重要极限的证明

（4）利用拉格朗日中值定理证明。令f（x）=sinx，易知f（x）在[0,x]上满足lagarange 中值定理的条件，因此在区间（0，x）至少存在一点ξ，使得f，即。

3 第一个重要极限的应用

（1）在极限计算中的应用。第一个极限在一元函数和二元函数极限的计算中应用非常广泛，下面我将举几个例子说明它的应用。

（2）在导数中的应用。求sinx 的导数，有导数的定义及三角函数和差化积公式得

例3 求sin30′和cos30′的近似值。

总之，第一个重要极限在高等数学中是一个非常重要的极限，它是一类含有三角函数的型极限，利用这个重要极限可以将很复杂的极限问题简单化，因此深入研究第一个重要极限很有必要，今后我们将进一步探索其在其他方面的应用。

[1]陈传璋，金福临，朱学炎，等.数学分析（第二版）上册[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]汤茂林.一个重要极限的证明策略[J].保山师专学报，2009，(2).

[3]王梦洁.对两个重要极限的新认识[J].科技视界，2013，(2).

[4]张先荣.浅谈两个重要极限的重要性及应用[J].濮阳职业技术学院学报，2013，(6).