圆锥曲线的定义

掌握圆锥曲线的定义和几何图形.

圆、双曲线、抛物线都可以看成是平面截圆锥面所得的截线，其本质是统一的，都可以看做是“一个动点到定点和定直线的距离之比是一个常数的轨迹”. 定义是分析、解决问题的重要依据，用定义法求椭圆、双曲线的方程，首先要弄清楚他们的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧地抓住由定义产生的椭圆的基本量a，b，c.

已知A，B，C是直线l上的三点，且AB=BC=6，圆O′切直线l于点A，又过B，C作圆O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

破解思路 由圆外一点向圆引的两条切线长相等，可以得出点P到B，C两定点的距离和等于定值，故考虑用椭圆的定义来解决. 利用定义求解问题也是椭圆中必须掌握的重要技巧之一. 本题首先要清楚点P的轨迹是椭圆，再由定义得到方程中的基本量a，b，c，从而求得轨迹方程. 但是还要特别注意是否椭圆上的所有点都能满足条件. 定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件.

完美解答 设过B，C异于l的两切线分别切圆O′于D，E两点，两切线交于点P. 由切线的性质可知：BA=BD=6，CA=CE=12，PD=PE，故PE=CE-PC=12-PC，PD=PB-BD=PB-6.

因为PD=PE，所以12-PC=PB-6，PB+PC=18>6=BC. 故由椭圆的定义知，点P的轨迹是以B，C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为endprint