双连续正则预解算子族的生成及逼近定理

陈 藏，葛世刚，刘海生，仓定帮

(1.华北科技学院教务处，北京101601； 2.华北科技学院基础部，北京101601)

算子半群理论是泛函分析的一个重要分支，在控制理论中有着广泛的应用.20世纪四五十年代，为了解决偏微分方程的初值问题，以E.Hille与K.Yosida为代表的数学家提出了Banach空间上强连续C0半群理论，解决了许多的数学与工程技术问题.此后C半群、积分半群及余弦算子函数等算子理论相继被提出，在偏微分方程的领域有着很好的应用价值.然而在实际问题中发现，许多情况对应的半群不是强连续的 F.Kuhnemund［1］指出，存在Banach空间上一些特殊的非强连续半群，并通过对这些半群的具体研究在Banach空间上附加一个比范数拓扑粗的局部凸拓扑，使得半群在局部凸拓扑下强连续，从而提出了双连续半群的概念.文献［1］还指出序列完备的局部凸空间上的等度连续半群满足的条件比双连续半群强，且等度连续对实际问题的应用不是很广，许多情况所对应的空间是Banach空间，可以赋予一个比范数拓扑粗的局部凸拓扑，从而说明双连续半群理论有非常好的应用价值.文献［2］给出了双连续半群的Trotter-Kato定理，文献［3］分析了局部凸拓扑下的 Riemann-Stieltjes积分，给出了双连续半群的逼近定理及其应用.自G.Da Prato等［4］引入预解算子族概念以来，其基本理论的研究已经受到广泛的关注［5-15］，主要原因是预解算子族统一和推广了C0半群与强连续余弦算子函数.本文结合双连续C0半群和正则预解算子族的概念对双连续正则预解算子族进行研究，给出了双连续正则预解算子族的生成与逼近定理.

1 定义与引理

假设X是 Banach空间，X'是它的共轭空间，B(X)表示X到自身的有界线性算子全体.τ是X上的一个局部凸拓扑，并具有以下性质:

1)空间(X，τ)是在‖·‖-有界集上序列完备，即每个‖·‖-有界的τ柯西列在(X，τ)中收敛；

2)τ拓扑比‖·‖粗且是Hausdorff拓扑；

3)(X，‖·‖)中范数可由空间(X，τ)'定义，即对每个x∈X有

Pτ表示X上的局部凸拓扑对应的半范数族.一般认为，对所有的x∈X，p∈Pτ，

τ 柯西列理解为:对序列(xk)k∈N⊂X，∀ε ＞0，存在n1＞0，当n，m＞n1时，p(xn-xm) ＜ε 成立.

定义1.1［3］设X是局部凸拓扑的Banach空间，α∈NBV［0，r］，NBV［0，r］表示定义在［0，r］上的普通囿变函数.函数f:［0，r］→X是 Riemann-Stieltjes可积的，如果

2 生成定理

从而(e)成立.

3 逼近定理

注3.1在以上的研究结果中，如果取a(t)=1或a(t)=t，则分别得到双连续半群和双连续余弦函数的相应结果.

致谢华北科技学院重点学科建设基金(HKXJZD201402)对本文给予了资助，谨致谢意.

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