一类非线性时滞双曲型偏微分方程关于平衡态的振动性分析

黄泽娟，李树勇，周小平

(1.四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066； 2.成都中医药大学外国语学院，四川成都610075)

1 预备知识

近几十年来，含时滞双曲型偏微分方程解的振动性研究备受关注［1-6］，借助泛函微分方程振动性的理论，建立起多类含时滞双曲型偏微分方程解关于零点(零平衡态)振动的判别定理.众所周知，对于偏微分方程而言，非常数平衡态是一种重要的解形态，获得其任意解关于非常数平衡态的渐近性质非常重要.文献［7-8］分别研究了反应扩散方程和含时滞非线性抛物型偏微分方程解的渐近行为，建立了关于非常数平衡态稳定的一些结果.文献［9］讨论含时滞抛物型偏微分方程解关于非常数平衡态的振动性，给出相应的判别条件.然而，据已有文献，研究含时滞双曲型偏微分方程解关于非常数平衡态的渐近行为讨论却很少见.I.Gyori等［1］综合各种振动性定义，提出K振动性，给出含时滞双曲型偏微分方程解K振动性的判定定理，包含了关于非常数平衡态振动性的分析.通常，线性偏微分方程的非常数平衡态可以化为零平衡态等价处理，但是对于非线性偏微分方程，却不能这样简单处理.本文将讨论一类非线性时滞双曲型偏微分方程解关于非常数平衡态振动性，在一定的条件下，建立这类方程在3种边界条件下任意解关于平衡态振动的充分条件.

本文考虑如下一类非线性时滞双曲型偏微分方程:

其中，(t，x)∈Q=R+×Ω，Ω⊂Rn是具有光滑边界∂Ω的有界区域，△是Rn上的n维Laplace算子，a＞0，bi＞0，c(x)∈C(，R)，qj(x)∈C(，R+)，fj∈C(R，R)和F(x)∈C(，R)是连续函数，τi和 σj是非负常数，其中，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n.

方程具有如下边界条件:

这里，ν表示 ∂Ω 的单位外法向量，β(x)∈C(∂Ω)，其中 α，β(x)分别取值如下 3 种情况:

1) α =0，β(x)=1；

2) α =1，β(x)=0；

3) α=1，β(x)＞0.

初值条件为

其中 ρ=max{τ1，τ2，…，τm，σ1，σ2，…，σn}.

本文假设如下椭圆型偏微分方程

存在解w(x)∈C2(Ω)∩C()，即问题(1)和(2)存在平衡态w(x).

定义 1称问题(1)～(3)的解u(t，x)∈C1，2(Q)∩C()在 R+× Ω 内关于其平衡态w(x)振动.若u(t，x)≢w(x)且对任意T＞0，存在点(t0，x0)∈［T，∞) × Ω，使得u(t0，x0)=w(x0).否则，称u(t，x)关于w(x)是非振动的.

本文假设方程(1)～(3)的解在［-ρ，∞)上存在［10］.本文中，记

2 主要结论

3 例子

例1考虑如下具有时滞的非线性双曲型偏微分方程的初边值问题:

［1］Gyori I，Krisztin T.Oscillation results for linear partial delay differential equations［J］.J Math Anal Appl，1993，174:204-217.

［2］李永昆.具有偏差变元的双曲型微分方程组解的振动性［J］.数学学报，1997，40:100-105.

［3］He M X，Liu A P.The oscillation of hyperbolic functional differential equations［J］.Appl Math Comput，2003，143:205-224.

［4］Li W N，Meng F W.Forced oscillation for certain systems of hyperbolic differential equations［J］.Appl Math Comput，2003，141:313-320.

［5］Wang P G，Wang M，Ge W.Further results on oscillation of hyperbolic differential equations of neutral type［J］.J Appl Anal，2004，10(1):117-129.

［6］Yoshida N.Oscillation Theory of Partial Differential Equations［M］.Singapore:World Scientific Publishing，2008.

［7］叶其孝，李正元.反应扩散方程引论［M］.北京:科学出版社，1990.

［8］Pao C V.Dynamics of nonlinear parabolic system with time delays［J］.J Math Anal Appl，1996，198:751-779.

［9］黄泽娟，李树勇.一类非线性时滞抛物型方程解的振动性［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2010，33(3):298-301.

［10］Wu J H.Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations［M］.New York:Springer-Verlag，1996.

［11］Ladde G S，Lakshmikantham V，Zhang B G.Oscillation Theory of Differential Equations with Deviating Arguments［M］.New York:Marcel Dekker，1987.

［12］Li S Y，Zhou X P.Attraction and invariant set for impulsive partial functional differential equations in unbounded domains［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2010，33(5):688-693.

［13］张秀英，李树勇，杜启凤，等.含反应扩散项和混合时滞的随机Hopfield神经网络的时滞相关全局指数稳定性分析［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2013，36(1):1-6.

［14］杜启凤，李树勇，赵亮，等.含分布时滞的随机Cohen-Grossberg神经网络的p阶指数稳定性［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2013，36(1):8-13.

［15］赵亮，李树勇，杜启凤，等.含时滞和脉冲的双向联想记忆神经网络模型的全局鲁棒一致渐近稳定性分析［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2013，36(2):177-184.

［16］胡健，李树勇，杨治国.含混合时滞的随机Hopfiled神经网络的全局指数稳定性［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2012，35(3):303-308.

［17］赵亮，李树勇，张秀英，等.一类含连续分布时滞的随机Hopfiled神经网络模型的几乎必然指数稳定性和p阶矩指数稳定性［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2012，35(3):303-308.