基于动力学机理的反应性扰动下核功率动态特性自回归遍历建模

钱 虹，金蔚霄，骆建波，周金明

(1.上海电力学院 自动化工程学院，上海 200090；2.上海市电站自动化技术重点实验室，上海 200072)

研究核电站反应性扰动下核功率的动态特性以及非线性关系是核电站棒位控制优化设计的基础，将这种关系以控制所需的数学模型的形式表达则是设计数字优化控制算法(如预测控制算法)的关键。目前，对反应堆的控制研究多侧重于优化控制算法本身，而用于控制的核功率动态特性模型仅有一些初步的研究，如文献[1-2]仅限于点堆的微观表达。对于不同容量不同堆芯设计的压水堆机组，以及同一机组的不同功率水平，当系统参数发生改变时，机理模型的修改成本较高[3-4]。已知运动机理时，采用辨识进行参数估计不失为一种有效的建模方法[5]。目前，遗传算法、神经网络算法和粒子群算法的智能算法在模型参数辨识方面得到了一定的研究[6-7]，基于自回归遍历(autoregressive exogenous，ARX)模型的最小二乘法是动态系统辨识中较经典的方法[8-12]，在过程控制的动态领域得到了大量应用，如文献[13-15]中分别用该方法进行辨识建模，并得到了较精确实用的模型。

本研究旨在通过点堆机理建模，在核电高功率(大于75%FP)下不同功率水平进行小区域线性化，在区域内使用基于ARX模型的最小二乘辨识方法用于核功率动态特性模型的参数估计，建立不同功率水平下的动态特性模型组，用于核电站核功率快速准确跟踪负荷变化时的控制棒棒位和控制策略的研究[16]。

1 反应性扰动下核功率动态特性离散模型

1.1 基于动力学的机理建模

图1 具有温度反馈的核反应堆系统方框图

核反应堆在高功率运行时，需考虑核反应堆内部燃料温度与慢化剂的温度变化引起的反应性反馈。核反应堆的功率变化时，燃料温度产生变化，引起瞬发的反应性效应，同时，慢化剂的温度也随功率变化而变化，由于慢化剂热容量较大，会产生有较大时间延迟的反应性效应[4]。核反应堆温度反馈原理如图1所示。图中，KRGR(s)为基于点堆动力学的零功率核功率动态特性的传递函数；F1(s)与F2(s)分别为燃料与慢化剂温度反馈传递函数；αF和αM分别为反应性燃料温度系数和反应性慢化剂温度系数；Δρex(s)为外部引入的反应性变化；ΔρF1(s)与ΔρF2(s)分别为燃料和慢化剂温度变化引起的反应性变化；ΔρF(s)为总的温度变化引起的反应性变化；Δρ(s)为Δρex(s)和ΔρF(s)的差值；ΔP(s)为核反应堆的功率变化。

具有温度反馈的反应堆系统的传递函数为：

(1)

(2)

式中：n0为t=0时刻的中子密度；Λ为平均中子代时间，Λ=l/keff，l为中子寿命，keff为核反应堆有效增殖因子；λ为等效单组缓发中子先驱核的衰变常量，s-1；β为缓发中子份额。

F(s)为总的温度反馈传递函数，有：

αFF1(s)+

(3)

将式(2)和式(3)代入式(1)便可得到具有温度反馈核功率动态特性系统的传递函数为：

(4)

式中，A=ωF+ωM+λ；B=ωFωM+λωF+λωM；C=λωFωM；D=ωF+ωM+β/Λ；E=an0αF+ωFωM+(ωF+ωM)β/Λ；F=[ωFωMβ+an0(αFωM+bαM+λαF)]/Λ；G=an0(αFωM+bαM)/Λ为模型的结构特性参数。

1.2 核功率动态特性离散ARX模型

由n阶差分方程：

y(k)+a1y(k-1)+…+any(k-n)=

b0u(k)+…+bnu(k-n)+e(k)

(5)

可将描述的系统写为：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+e(k)

(6)

其中：A(z-1)=1+a1z-1+…+anz-n；B(z-1)=b0+b1z-1+…+bnz-n。式(6)称为ARX模型。

将具有温度反馈核功率动态特性的传递函数离散化可得到如下差分方程[17]：

(1+a1z-1+a2z-2+a3z-3+a4z-4)y(k)=

(b0+b1z-1+b2z-2+b3z-3)u(k)

(7)

令：

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+a3z-3+a4z-4，

B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+b3z-3。

则式(7)可写为：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)

(8)

考虑到系统受噪声的影响，式(8)中可加入随机干扰ε(k)，得到：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+ε(k)

(9)

式(9)即为具有温度反馈核功率动态特性对应的ARX模型。

2 小区域线性化动态ARX模型参数估计

对非线性系统来说，稳态增益是系统非线性特性的一个关键因素。当系统的稳态增益在整个工作区间变化不大时，可用一个近似线性化模型来代替非线性系统进行控制[2]。对于核反应堆，不同功率水平的n0不同，该系统的非线性问题可通过小区域划分功率段，建立各功率段模型加以解决，本文根据不同功率水平分100%FP～95%FP、95%FP～90%FP、90%FP～85%FP、85%FP～80%FP、80%FP～75%FP 5个工作区域(FP为满功率)。

式(9)中的y(k)和u(k)是由输出与输入量不同时刻的测量值组成的离散时间序列的单元，ε(k)为不可测量的随机干扰序列的单元。方程阶数已知，只需通过带有噪声的输出和输入观测数据估计模型的未知参数{a1,a2,a3,a4,b0,b1,b2,b3}。

将待估计的模型参数和k时刻之前的na次采样数据记为向量Θ与xT(k)，Θ=[a1,a2,a3,a4,b0,b1,b2,b3]T，xT(k)=[-y(k-1),…,-y(k-na),u(k),…,u(k-nb+1)]，其中，na、nb为ARX模型的结构参数，具有温度反馈核功率动态特性ARX模型中，na=4、nb=3。

则具有核反应堆核功率动态特性差分方程可写为：

y(k)=xT(k)Θ+ε(k)

(10)

其中，ε(k)为观测噪声和模型不准等形成的误差。将k=na+1,na+2,…,na+N共N步采样数据代入式(10)，组成N个方程，并用矩阵形式表示为：

YN=XNΘ+εN

(11)

(YN-XNΘ)T(YN-XNΘ)

(12)

(13)

(14)

3 基于ARX模型的核功率动态特性辨识及仿真

3.1 核电站辨识数据的仿真实验过程

本文模型辨识实验数据基于压水堆核电站仿真机，该核电站仿真机是以M310为参考堆芯的1 000 MW福清核电机组，对堆芯中子、反应堆冷却剂系统以及核电站主系统均采用物理模型模拟系统全部的功能，其运行功能与现场具有近1∶1的逼真度，在此基础模型上对稳态功率运行以不同速度升降功率和反应堆跟踪外负荷的正常工况提供逼真的仿真。通过仿真机实验分别得到初始负荷为100%FP、95%FP、90%FP、85%FP、80%FP时的5组单位阶跃响应数据用于模型未知参数辨识，另外，通过实验取得97%FP、93%FP、87%FP、83%FP、77%FP时的5组单位阶跃响应数据用于模型验证。实验时，在10 s时加入单位阶跃输入(1 pcm)，采样时间为1 s，时长为300 s，将各功率下输出的各自的10组数据进行对应点求平均，如100%负荷时得到的10组数据分别为y1、y2、…、y10，其中，yi为300×1的列向量。则用于Matlab辨识仿真的数据为：

(15)

3.2 模型参数辨识结果

得到系统输入输出数据后，用Matlab系统辨识工具箱对系统进行辨识，其中，th=arx(z,n)命令可一次完成最小二乘法的模型辨识。再根据非线性模型局部线性化原理可得到辨识的模型组为：

对应传递函数的参数列于表1。

表1 传递函数模型结构特性参数

对应传递函数模型如下：

3.3 核功率动态特性模型仿真及分析

用最小二乘法结合ARX模型对反应性单位阶跃输入与核功率变化量单位阶跃响应输出数据进行曲线拟合，得到了图2所示的拟合曲线，图2还给出了曲线拟合的最终预测误差与模型的适应度，用于初步判断模型的准确性。用最终预测误差与模型适应度对所建模型进行评价说明，通过图2可看到，模型拟合最终预测误差(FPE)为1.301 6×10-6～2.062×10-5，模型适应度(fit)为92.76%～96.42%，结合曲线直观拟合效果，初步说明了模型较准确。

图2 小区域模型辨识拟合曲线

在Matlab/Simulink中搭建仿真系统，对各功率段模型进行验证。通过向带温度反馈的核反应堆系统加入外加反应性的阶跃信号，得到输出功率变化量数据ym。记核电仿真机仿真输出数据为y，则可设定模型验证评价指标e：

(16)

其中，n为所取数据点的个数。e越小，所建模型越精确。

分别取97%FP、93%FP、87%FP、83%FP、77%FP的外加反应性单位阶跃响应输入与核功率变化量单位阶跃响应输出作为模型验证数据，通过Matlab仿真可得到图3所示的曲线。

通过以上模型验证输出的对比可看出，模型输出曲线与仿真机实验得出的数据曲线几乎重合，以式(16)所述评价指标进行计算，得出的误差均较小，小于0.01，满足建模要求。多组不同功率水平的仿真结果的辨识模型与实验曲线拟合的结果表明，机理和辨识结合建模的方法构建的反应性扰动下核功率动态特性数学模型是可用的。

图3 模型验证输出曲线

4 结语

本研究结合核功率动态特性机理建模与基于最小二乘法的ARX模型参数辨识，通过核电仿真机与Matlab辨识仿真实验，得到了一组不同高功率段运行时具有温度反馈核功率动态特性传递函数模型，并通过Matlab/Simulink进行了所得模型在不同功率段内的验证，验证了该模型的精确性以及该辨识方法的可用性。所建立的模型能根据控制的需求更细致地划分线性化区域，为核电站实现快速负荷跟踪的先进核功率优化控制策略提供研究的工程模型基础。

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