卷积法和角谱法再现显微全息图时补零数的研究

李建素,王昭,高建民,刘芸

(1.西安交通大学机械工程学院, 710049, 西安;2.西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室, 710049, 西安)

卷积法和角谱法再现显微全息图时补零数的研究

李建素1,王昭1,高建民2,刘芸1

(1.西安交通大学机械工程学院, 710049, 西安;2.西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室, 710049, 西安)

针对全息图补零法的补零数对再现像和系统效率的影响,结合数字全息显微术中卷积法和角谱法数字再现的原理和再现面与物体放大像尺寸的关系,研究补零数对再现像和系统效率的影响,并采用梯度法来评价再现像的质量。对全息图采用频率滤波提取实像或共轭像的频谱,再采用卷积法或角谱法数字再现,获得物体的放大像。结合再现像的质量和效率两方面因素,提出了补零数的选取依据，即以再现面的物理尺寸不小于物体的放大像时的最小补零数作为最佳补零数,此时能以最小的计算量获得最高质量的再现像。通过实验验证,结果与理论分析一致,证明了选取补零数的依据。

显微全息图;补零数;卷积法;角谱法

数字全息显微术因能够同时记录和再现物体的三维信息,并以无入侵性和非接触的方式对样本进行测量,在微观粒子成像和跟踪[1-2]、聚合物生长检测[3-4]、生物细胞观察[5-8]等领域得到了广泛的应用。在数字全息中,最常用的数字再现方法有菲涅耳衍射法,卷积法和角谱法。其中菲涅耳衍射法是对基尔霍夫衍射理论的一种近似算法,此算法要求再现距离满足菲涅耳近似条件;卷积法和角谱法分别以卷积和角谱的形式无近似地表示瑞利-索末菲衍射理论,实现数字再现。菲涅耳法适用于再现距离大于额定距离的数字再现,卷积法和角谱法适用于再现距离小于额定距离的数字再现[9],且能够无近似地再现物光波。因此,卷积法、角谱法比菲涅耳法能够更准确地再现全息图。但是卷积法再现显微全息图时获得的再现像常常折叠,如北京工业大学的赵洁等人采用卷积法再现时,当再现距离大于最佳再现距离时,再现像被放大、发生折叠、视场不完整[10]。日本群马大学的Zhang等人采用卷积法再现时,再现像出现折叠,未能获得正确的再现像[11]。法国勒芒大学的Picart等人采用卷积法再现时,再现像出现折叠,零级像干扰再现实像[12]。上述折叠现象发生是由于卷积法再现时再现面的物理尺寸小于再现像的物理尺寸,从而导致了再现像面的折叠。角谱法和卷积法唯一区别是它们的传递函数在不同的域表示——卷积法的传递函数在空域表示,角谱法的传递函数在频域表示。角谱法与卷积法的计算理论是一样的,因此在角谱法再现显微全息图时也常常会出现再现像的折叠。

为了避免卷积法和角谱法再现显微全息图时导致再现像的折叠,赵洁,Zhang和Picart等人提出了在全息图周围填充灰度值为零的像素,进而增大再现面的物理尺寸的方法,即全息图补零法,以获得无折叠的再现像[10-12]。但是，他们并未就补零数对再现像和系统效率的影响进行系统的分析,也未给出补零数的选取依据。本文在卷积法和角谱法基本原理的基础上,结合放大像尺寸与再现面尺寸的关系,分析了补零数对再现像和系统效率的影响,给出了最佳补零数选取的理论和实验依据。

1 数字再现原理

数字全息显微术中的坐标关系如图1所示。

图1 数字全息显微术坐标示意图

根据瑞利-索末菲衍射理论和线性系统理论,数字再现的物光波为

O(xi,yi)=∬C(x,y)I(x,y)h(xi-x,yi-y)dxdy

(1)

式中:I(x,y)和C(x,y)分别为全息图和再现光的表达式;h(x,y)为光波衍射的脉冲响应,可表示为

(2)

其中d为记录距离,λ为激光波长。

对式(2)做傅里叶变换,可得

(3)

式中:H(fx,fy)是光波衍射的传递函数;FFT{A}为A的傅里叶变换。根据卷积定理,式(1)可以改写为

FFT{O(xi,yi)}=

FFT{C(x,y)I(x,y)}H(fx,fy)

(4)

对式(4)两边同时做逆傅里叶变换,并结合式(1)可得再现物光波为

O(xi,yi)=IFFT{FFT{C(x,y)I(x,y)}·

FFT(h(x,y))}

(5)

或

O(xi,yi)=IFFT{FFT{C(x,y)I(x,y)}·

H(fx,fy)}

(6)

式中:IFFT{A}为A的逆傅里叶变换。式(5)为卷积法数字再现的表达式,式(6)为角谱法数字再现的表达式。式(5)和式(6)仅传递函数的表示形式不同,但都是首先对全息图进行一次傅里叶变换后与传递函数相乘,再做逆傅里叶变换获得再现物光波。全息图经历了2次傅里叶变换之后得到再现物光波,故再现面与全息图同属于空域,表明卷积法和角谱法再现的再现面的像素大小与全息图的像素大小相等,因而它们的再现面尺寸为

Si=MΔxi×NΔyi

(7)

式中:M、N为全息图的像素数;Δxi、Δyi为再现面的像素大小。

本文首先对全息图采用频率滤波提取实像或共轭像的频谱,再采用卷积法或角谱法数字再现,获得物体的放大像,流程如图2所示。

图2 数字全息再现流程图

数字再现获得的物体放大像的尺寸为

Sβo=βX×βY

(8)

式中:β为系统的放大倍数;X、Y分别为物体的长和宽。数字全息显微术再现获得物体放大的像,再现面的尺寸可能小于放大像,即Sβo>Si。此时为避免采用快速傅里叶变换实现卷积法或角谱法而导致的再现像折叠,有学者提出对全息图补零以增大再现面的尺寸,从而获得无折叠的再现像。当再现面的物理尺寸小于物体的放大像,即M<βX/Δxi,N<βY/Δyi时,需对全息图补零至M′≥βX/Δxi,N′≥βY/Δyi,以获得不折叠的再现像。本文的补零方式是在全息图的x、y方向分别对称地补相同数量的零,后续提到的补零数都是指在某一方向上某一边的补零数。因此,对全息图补零的最小补零数为

(9)

因卷积法和角谱法再现时,再现面的像素大小与CCD(Charged-Coupled Device)面的像素大小相等,即Δxi=Δx,Δyi=Δy,则式(9)可改写为

(10)

式(10)决定的补零数即为最佳补零数,此时能够以最高的效率获得高质量的再现像。当补零数大于式(10)的补零数时,再现像质量保持恒定,但计算量随着补零数的增加而增大,导致效率降低。

2 实验结果和分析

为了验证理论分析,进行了相应的实验。实验光路如图3所示,图中He-Ne激光器发出的光经过W1(1/2波片)和偏振分光棱镜(PBS)分为两束,一束经空间滤波器(BE1)扩束和透镜L1准直后作为参考光(R);另一束经W2(1/2波片)后直接照射物体并被显微物镜(MO)放大后作为物光(O),物光与参考光波经分光棱镜合束后干涉形成全息图。图中M1、M2均为反射镜。显微物镜的放大倍数为10,数值孔径为0.25。物体为USAF1951分辨率板的6组和7组黑白条纹,其尺寸X×Y为0.2 mm×0.2 mm。分辨率板的最小线宽为2.19 μm。

实验获得了多组数据,且数据具有较好的一致性。本文列举了一组实验数据,采集的全息图如图4a所示,其像素数为842×842,像素大小为9 μm×9 μm,记录距离d为214.02 mm。系统放大倍数β经分辨率板标定为51.4。因为卷积法和角谱法对全息图的处理相同,仅是计算时的传递函数表达形式不同,故这两种方法的数字再现结果近似，所以本文仅讨论卷积法数字再现的情况。按照图2所示的流程对全息图进行处理,采用卷积法数字再现全息图得到再现像,如图4b所示。

W1:1/2波片;W2:1/2波片;MO:显微物镜;BE1:空间滤波器;L1:透镜;M1,M2:反射镜;PBS:偏振分光棱镜;BS:分光棱镜

(a)全息图

(b)卷积法再现的再现像

因βX=51.4×0.2 mm=10.28 mm,MΔx=7.578 mm,10.28>7.578,导致了再现像折叠,因此需对全息图补零后再进行数字再现。由于待测物体的长宽相等,为简化计算,仅分析x方向再现像。据式(9),全息图补零后最小像素数M′=βX/Δx=1 142。全息图最小补零数为

Mpaddingmin=(βX/Δx-M)/2=150

(11)

(a)Mpadding=100,Npadding=100

(b)Mpadding=150,Npadding=150

(c)Mpadding=450,Npadding=450

设全息图的纵向补零数Mpadding的范围为50～450,横向补零数Npadding的范围为50～450,补零数每增加50像素数,再现一次再现像。为了简洁,本文不列出每个补零数对应获取的再现像,仅列出具有代表性的3幅再现像(见图5)。由图5可知:当补零数小于150时,再现像折叠,且再现像的对比度很低;当补零数等于150时,再现像清晰,再现像对比度很高,且能分辨分辨率板的7.6组条纹,分辨率大于2.19 μm;当补零数大于150时,再现像仍能分辨分辨率板的最高级条纹,分辨率大于2.19 μm。从理论上分析,随着补零数的增加,仅是增加了再现面的尺寸,当保证再现面能够容纳放大像之后,再现像都能够清晰再现。实验结果与理论分析一致,当补零数等于150时,再现像不折叠,与第2节给出的最小补零数吻合。将再现像折叠时的再现像质统一视为0,采用图像的梯度法评价不重叠的再现像。设再现像的灰度为f(x,y),则再现像的梯度表示为

(12)

式中:Gx、Gy分别为再现像的横向梯度和纵向梯度。本文采用Sobel梯度算子理论。由式(12)获得的图像梯度值越大，说明图像的边缘越陡峭,图像的对比度越大,图像的质量越好。评价结果如图6所示。

图6 再现像质量图

由图6得,当补零数为150时,再现像的质量最好。补零数为150正是计算得到的最小补零数,表明当补零数为最小补零数时,再现像质量最好。当补零数大于150时,随着补零数的增加,再现像的质量略有降低,并最后保持恒定。这是因为补零数大于最小补零数后,继续增加补零数时,再现实像周围的噪声进入再现面,导致再现像的质量稍有降低,但频率滤波获取的频谱里含有的噪声是固定的,噪声不会随着补零数的增加继续增大。

图7 补零数与计算耗时的关系

为了评估不同补零数的计算耗时,给出了补零数与耗时的关系,如图7所示。由图7可得,随着补零数的增大,计算时间增加,整个系统的效率越来越低。考虑再现像的质量和效率两方面,应选择补零数为150,此时既能获得高质量的再现像,又能以最短的时间完成计算。

实验表明,应选择恰好能使再现面尺寸等于放大像尺寸时的补零数作为最佳补零数,此时能以最高的效率获得最高质量的再现像。实验结果与理论分析一致。

3 结 论

本文结合数字全息显微术中卷积法和角谱法数字再现的原理和再现面与物体放大像尺寸的关系,系统地就补零数对再现像和系统效率的影响进行了分析研究,并提出了补零数的选取依据。通过理论分析和实验,论证了选择使再现面尺寸等于物体放大像尺寸时的最小补零数作为最佳的全息图补零数,能以最高效率获得最高质量的再现像。

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(编辑 赵炜)

Zero-PaddingNumberofConvolutionApproachandAngularSpectrumforReconstructingMicroscopicHologram

LI Jiansu1,WANG Zhao1,GAO Jianmin2,LIU Yun1

(1. School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;2. State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

The influence of zero-padding number in zero-padding hologram on reconstructed image and system efficiency is analyzed by combining angular spectrum in digital holographic microscopy with the size relation between magnified image and reconstructed plane. The gradient method is used to evaluate the quality of reconstructed image. The frequency of real image or virtual image is obtained by frequency filter. The object magnified image is obtained by convolution approach or angular spectrum. The evidence of choosing zero padding number is proposed according to the quality of reconstructed image and system efficiency. The experimental results are consistent with theoretical analysis. It demonstrates that the smallest zero-padding number ensuring the size of reconstructed image larger than the magnified image is the best one, at that time the highest quality of reconstructed image is achieved with smallest calculating task.

microscopic hologram; zero-padding number; convolution approach; angular spectrum

10.7652/xjtuxb201405020

2013-09-20。 作者简介: 李建素(1986—),女,博士生;高建民(通信作者),男,教授,博士生导师。

O438.1

:A

:0253-987X(2014)05-0113-05