迁移理论在高等数学概念教学中的应用*

许 晶

(通化师范学院数学学院，吉林通化134002)

对于师范院校本科生而言，高等数学是一门重要的基础课程，其中的基本概念、解题方法和蕴含的数学思想，对其他数学知识的掌握影响深远.学生对高等数学知识的掌握程度和学习方法不仅关系到他们对众多后继课程的理解和掌握，而且在培养学生抽象思维和推理能力，培养学生创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的全面发展都具有重要的作用.在高等数学的教学中结合学生的认知特点，采用合理有效的教学手段，将抽象而严密的理论体系传授给学生，是教育界关注和讨论的热门课题.本文从现代认知心理学的迁移理论这一角度对高等数学概念教学的策略作一探讨，希望笔者的观点能化为一滴水，注入到数学教育的大海之中.

1 迁移的基本概念及其理论内涵

迁移是一种学习对另一种学习的影响，凡是一种学习对另一种学习的影响是积极的，起促进作用的，称为正迁移，否则称为负迁移.理论上对迁移进行系统的研究开始于18世纪中叶，不同的学者从不同的研究视角探讨了迁移发生的原因、过程以及影响迁移产生的因素，形成了众多的迁移理论.从时间上划分，可分为早期的迁移理论(表1)和现代的迁移理论(表2).

表1和表2中所阐述的迁移理论，从不同侧面反映了学习迁移的实质性特点，说明了迁移应用的广泛性.

表1 早期的迁移理论

表2 现代的迁移理论

2 迁移理论的应用

生活中的正迁移有很多，比如学会了骑自行车将有利于学骑摩托车.为了更好地促进正迁移的产生，需要数学教师善于将内涵相同的概念进行类比，来实现举一反三，融汇贯通.概念的形成和同化是数学概念教学的基本形式，概念的学习方式是通过对学习材料的观察、比较、分析和归纳，概括得出的.在概念的形成和解题练习中提高学生的数学概括能力，是数学教师训练学生学习概念和提高概括能力的有效方式.比如学习了数列极限的概念及其性质，再学习函数极限的相关内容时，数列极限的知识提炼出的数学语言及思想方法，会形成很好的正迁移，促进学生更好地学习函数极限的相关知识.

数列极限的定义是：如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切xn，不等式|xn-a|＜ε都成立，就称常数a是数列xn的极限，或称数列xn收敛于a，记作，或xn→a(n→∞)，即，∃N∈Z+，当n＞N时，有|xn-a|＜ε.

通过数列极限的“ε-N”语言描述，教师可以指导学生将这种数学语言描述迁移到函数极限的“ε-X”和“ε-δ”语言描述.

再比如学习了导数定义后，抓住导数概念的本质，进行深化训练，能够加深学生对导数概念的实质的理解，对后继内容的学习发生正迁移也有帮助.

所以说只有学生掌握了正确的概念，才能灵活运用，只有灵活运用，才能真正掌握这个概念.教学上要对新旧概念的由来与发展，区别与联系，进行剖析和类比，使知识产生正迁移.

高等数学教材中，很多数学概念的定义多采用“展示实例——抽取事物本质属性——推广到一切同类事物”的方式.比如，在介绍定积分的概念时，首先引入求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程问题，前者是几何问题，后者是物理问题，虽然两者意义不同，但抛开问题的具体意义，抓住它们的本质，就可抽象出定积分的定义.归纳出定积分的思想方法：“分割、近似求和、取极限”，而这种思想方法可以一致地迁移到二重、三重积分、曲线积分和曲面积分上.所以说，迁移的过程是一个创新的过程，迁移就是知识点和数学思想方法之间的灵活转换和应用.

数学概念的形成经历着不同的水平阶段，抓好概念升级时的转化可以避免旧知识对新知识的干扰，防止负迁移的产生.高等数学中概念教学的重点是要抓住概念升级的关键，讲清楚新旧知识过渡时的来龙去脉.要善于找出概念的差异，防止概念混淆产生负迁移.学生在处理相关知识时，容易形成方法上的生搬硬套和理解上的概念不清，这就需要数学教师充分认识负迁移的负面影响，在教学中根据不同的知识点和不同的学生采取灵活的教学策略.比如在讲授不定积分与定积分时，由于二者形式上的相似，为负迁移的产生创造了条件，学生自然会将定积分理解为不定积分限制了积分区间.但是不定积分表示的是函数f(x)的一族原函数，而定积分实质是一个数.所以不定积分与积分变量有关，定积分与积分变量无关，只与被积函数和积分的上下限有关.但是当我们提到“可积”这一概念时，学生总是错误地理解为是不定积分存在，而它指的却是定积分存在.由于思维定势的客观存在，负迁移的产生是不可避免的.这就要求教师在教学过程中要做到细致严谨，前后呼应，务必彻底弄清楚不同概念的区别和联系，明确各自的适用范围，降低负迁移产生的可能性.

教师要“为迁移而教”，学生也要“为迁移而学”，迁移可以引导学生借鉴过去所学的知识和方法，是学生获取新知识的重要途径.正确认识迁移对学生数学概念学习的影响，适当地诱发正迁移，克服负迁移，按照教学规律组织教学，具有重要的理论和实践意义.

［1］薛志纯，余慎之，袁洁英.高等数学［M］.北京：清华大学出版社，2008.

［2］中国人民共和国教育部.义务教育数学课程标准［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］喻平.数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2010.

［4］于书敏.浅探数学分析教学与学生心理活动相协调［J］.通化师范学院学报，1999(4)：56-58.