线性代数向量组正交化的教学改革

石新华

(中国民航学院理学院 天津300300)

线性代数向量组正交化的教学改革

石新华

(中国民航学院理学院 天津300300)

线性代数课程中的向量组正交化的传统方法，即施密特正交化过程。多年来，很多教材都是沿用施密特正交化过程方法，但其计算量比较大。论述了使用齐次线性方程组求非零解的方法，将向量组正交化，产生一种新的构思。

向量组正交化 施密特正交化过程 齐次线性方程组 非零解

0 引 言

近年来，大学一年级第二学期的线性代数课程使用的教材是同济大学数学系第五版。其中第五章相似矩阵与二次型内，一个重要的内容是向量组的正交化。多年来很多教材都是沿用施密特正交化过程方法。5-1向量的内积、长度及正交性中，使用向量的内积概念定义了两个向量正交的概念，即当[x，y]＝0时，称向量 x与 y正交。[1]所谓正交向量组是指一组两两正交的非零向量。

在线性代数应用问题中，向量组的正交性具有重要意义。

设给定一个线性无关的向量组 A：α1，α2，…，αm，则一定存在另一个向量组 B：β1，β2，…，βm。满足：①向量组B是正交向量组；②向量组A和向量组B等价。

设 a1，a2，…，ar是向量空间 V的一个基，要求 V的一个规范正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量 e1，e2，…，er，使之与上一组等价。这样一个问题，称为把这个基规范正交化。

这个问题是线性代数课程知识结构和教学中的重要内容。一般教材的核心思想就是施密特(Schimidt)正交化过程。

施密特(Schimidt)正交化过程，即取：

可以验证向量组 b1，b2，…，br两两正交，且向量组 b1，b2，…，br与向量组 a1，a2，…，ar等价。

再将 b1，b2，…，br单位化，即取：

就是V的一个规范正交基。

经过多年教学认为使用施密特正交化过程求出与给定向量组正交的向量组，计算量比较大。

1993—2013年[2-6]关于正交化的改进和创新，使用的是矩阵并行QR分解算法。

本文利用求解齐次线性方程组求非零解的方法非常便捷。

1 解题方法和过程

以下通过两道习题解答，叙述具体的解题思路和方法。

解答完毕。

下面继续求解上述题，本文不使用施密特正交化过程，利用求齐次线性方程组非零解的方法解答此题。

为了求出与 a1，a2同时正交的向量，再求下面线性方程组的非零解：

本文使用的方法与施密特正交化过程的解题结果相同。

教材 5-5二次型及其标准型解，在题过程中，如果实对称矩阵的特征根出现重根，一般题目都要求求正交变换，所以仍然需要向量的正交化。一道典型例题如下。

例题2：设给定一个二次型f(x)＝2,x1,x2＋2,x1,x3–2,x1,x4–2,x2,x3＋2,x2,x4＋2,x3,x4试求一个正交变换x＝Py，把二次型化为标准形。

本文解法从一个线性方程组开始，求非零解，每次仅仅求出一个非零解。由线性方程：

2 结 语

利用线性方程组求非零解的方法求已知向量的正交向量，将已知的向量作为齐次线性方程组的系数矩阵的行，每次只求一个非零解，继续使用刚刚求得的向量将系数矩阵再添加一行，再继续求下一个非零解。直至自由变量仅有一个的时候，就是最后一个正交向量。如果需要，下一步再将正交向量组单位化。

［1］同济大学数学系. 工程数学线性代数[M]. 北京：高等教育出版社，2007：111-116.

［2］冯秀红. 关于向量组的 Schimidt正交化的教学思考[J]. 广西教育学院学报，2008(5)：147-148.

［3］门永江. Schmidt正交化方法的改进[J]. 工科数学，1993(4)：15-18.

［4］宋永顺. 线性无关向量组正交化的矩阵解法[J]. 吉林工学院学报，1998(4)：77-80.

［5］黄丽嫦. 基于 Schmidt正交法的矩阵并行 QR分解算法[J]. 佛山科学技术学院学报，2013(3)：44-47.

［6］熊明. 对克莱姆-斯密特正交化方法的两点改进[J]. 大学数学，2013(4)：137-138.

On Teaching Reform of Vector Group Orthogonalization in Linear Algebra Course

SHI Xinhua
(College of Science，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China)

Over the years，traditional method of Vector Group Orthogonalization，which is also called Schmidt Orthogonalization Process，has been used in Linear Algebra course. However, it needed a large amount of calculations. In this paper，a new method called nonzero homogeneous linear equations was used for vector group orthogonalization，which may provide a new solution.

vector group orthogonalization；Schmidt Orthogonalization Process；homogeneous linear equations；nonzero solution

O151.23

A

1006-8945(2014)08-0071-03

2014-07-09