高考数列试题的分类点评和解析

余海长

数列，既是高中数学必修内容，又是高等数学的重要基石，各个省、市的高考都把它作为最重要的考查内容。从近几年的高考试题看，有关数列的试题在每年的高考试题中一般是一大一小，所占比例较大，这是因为数列知识是考查学生转化和化归、分类讨论、推理论证及探索问题能力的重要题源，容易命制背景新颖的试题，较好地体现高考的选拔功能。很多考生在备考时，总觉得数列试题很难、好乱，不知道如何复习和总结。其实，总结近几年的高考考点可知，数列试题基本可分为以下三大类。

第一大类只考查数列本身的知识，此类题目又可分为四个类型

A型：考查考生对等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情况，题目容易，基本不用拐弯，大部分考生都可轻松完成。此类题目属于容易题，也是高考出现频率最高的题。备考时，一定要加强对等差数列和等比数列的概念的理解，对通项公式、求和公式充分掌握；对分组求和法、错位相减法、裂项相消法 、倒序相加法、并项求和法等求和要熟练掌握；对教材中推导通项公式的累加法、累乘法要做到灵活运用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn，满足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N∗且a2，a5，a14构成等比数列.

（1）证明：a2=；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：此类题目所给的条件是和“Sn”与通项“an”混合的式子，属于中档题。解题的关键在于对变量的统一，即根据关系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化为“通项”或把“通项”化为“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后对已知等式作等价变形，把问题转化为等差、等比数列或其它特殊数列来求解，就可以完成题目的解答。当然有时也采用以退为进的办法，求的是an，却偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此构造新数列时要抓住题目的信息，不能乱变形，同时，此类问题易错的地方是许多考生没有对n进行分类讨论，导致丢失了n=1的情况。广东高考文科数学2012年、2013 年已连续两年出现了这类题。

C型：双数列题

例2.（2012高考浙江文19） 已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N∗，数列｛bn｝满足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（节选）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N∗，得：当n=1时，a1=S1=3；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江苏20）已知各项均为正数的两个数列｛an｝和｛bn｝满足：an+1=，n∈N∗，

（1）设bn+1=1+，n∈N∗，求证：数列｛（）2｝是等差数列；（节选）

【解析】（略）

点评：此类题目难易不定，高考出现的频率较高。一般解题思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者联立解方程组，或者联立变形。

D型：考查数列知识的综合性题目。此类题目难度较大，充分考查数列的相关知识，特别是由数列的递推关系求解数列的通项公式是近几年高考的热门考点之一，而对于一阶分式型递推式的通项公式的求法，更是作为一大难点常在高考中出现。

例4.（2011年高考广东卷理科20）设b>0，数列｛an｝满足a1=b，an=（n≥2），

（1）求数列｛an｝的通项公式；（节选）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令An=，A1=，

当n≥2时，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①当b≠2时，An==，②当b=2时，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

点评：此类题目属于难题。全面考查考生的数列基本功，特别是已知递推关系，求通项公式的能力。备考时，对形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b为常数）、an=、an+2=pan+1+qan的递推数列求通项公式要熟练掌握。一般来说，只要求出了通项公式，其它问题也就迎刃而解了。

第二大类数列知识与其他数学知识的交汇性试题

将数列与函数、不等式、三角、导数等综合在一起的题目，在近几年各地高考试题中都有出现。

例5.（2009广东文20）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）的图像上一点。等比数列｛an｝的前n项和为f（n）-c，数列｛bn｝（bn>0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；（节选）

【解析】（略）

例6.（2013年高考广东数学（理））设数列｛an｝的前n项和为Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N∗.

（1）求a2的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：数列与函数、不等式、三角、导数等的综合题目，只要轻轻摘去函数、不等式、三角、导数这层“面纱”，立即露出数列的“庐山真面目”，也就是求通项公式和求和问题。

第三大类 数列应用题

例7.（2011年高考陕西卷理科14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

【解析】：设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和为

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11时lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由题意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由题意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故该企业每年上缴资金d的值为缴时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元。

点评：解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后利用等差、等比数列知识求解。此类题目，体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

总之，高考数列有难有易。易的是等差、等比数列的通项公式和求和方法，难的是转化，要求考生具有较强的数学能力。备考时一定要因人而异，做到容易题不放过，难题尽力就可以了。

责任编辑 邹韵文

endprint

数列，既是高中数学必修内容，又是高等数学的重要基石，各个省、市的高考都把它作为最重要的考查内容。从近几年的高考试题看，有关数列的试题在每年的高考试题中一般是一大一小，所占比例较大，这是因为数列知识是考查学生转化和化归、分类讨论、推理论证及探索问题能力的重要题源，容易命制背景新颖的试题，较好地体现高考的选拔功能。很多考生在备考时，总觉得数列试题很难、好乱，不知道如何复习和总结。其实，总结近几年的高考考点可知，数列试题基本可分为以下三大类。

第一大类只考查数列本身的知识，此类题目又可分为四个类型

A型：考查考生对等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情况，题目容易，基本不用拐弯，大部分考生都可轻松完成。此类题目属于容易题，也是高考出现频率最高的题。备考时，一定要加强对等差数列和等比数列的概念的理解，对通项公式、求和公式充分掌握；对分组求和法、错位相减法、裂项相消法 、倒序相加法、并项求和法等求和要熟练掌握；对教材中推导通项公式的累加法、累乘法要做到灵活运用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn，满足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N∗且a2，a5，a14构成等比数列.

（1）证明：a2=；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：此类题目所给的条件是和“Sn”与通项“an”混合的式子，属于中档题。解题的关键在于对变量的统一，即根据关系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化为“通项”或把“通项”化为“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后对已知等式作等价变形，把问题转化为等差、等比数列或其它特殊数列来求解，就可以完成题目的解答。当然有时也采用以退为进的办法，求的是an，却偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此构造新数列时要抓住题目的信息，不能乱变形，同时，此类问题易错的地方是许多考生没有对n进行分类讨论，导致丢失了n=1的情况。广东高考文科数学2012年、2013 年已连续两年出现了这类题。

C型：双数列题

例2.（2012高考浙江文19） 已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N∗，数列｛bn｝满足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（节选）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N∗，得：当n=1时，a1=S1=3；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江苏20）已知各项均为正数的两个数列｛an｝和｛bn｝满足：an+1=，n∈N∗，

（1）设bn+1=1+，n∈N∗，求证：数列｛（）2｝是等差数列；（节选）

【解析】（略）

点评：此类题目难易不定，高考出现的频率较高。一般解题思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者联立解方程组，或者联立变形。

D型：考查数列知识的综合性题目。此类题目难度较大，充分考查数列的相关知识，特别是由数列的递推关系求解数列的通项公式是近几年高考的热门考点之一，而对于一阶分式型递推式的通项公式的求法，更是作为一大难点常在高考中出现。

例4.（2011年高考广东卷理科20）设b>0，数列｛an｝满足a1=b，an=（n≥2），

（1）求数列｛an｝的通项公式；（节选）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令An=，A1=，

当n≥2时，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①当b≠2时，An==，②当b=2时，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

点评：此类题目属于难题。全面考查考生的数列基本功，特别是已知递推关系，求通项公式的能力。备考时，对形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b为常数）、an=、an+2=pan+1+qan的递推数列求通项公式要熟练掌握。一般来说，只要求出了通项公式，其它问题也就迎刃而解了。

第二大类数列知识与其他数学知识的交汇性试题

将数列与函数、不等式、三角、导数等综合在一起的题目，在近几年各地高考试题中都有出现。

例5.（2009广东文20）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）的图像上一点。等比数列｛an｝的前n项和为f（n）-c，数列｛bn｝（bn>0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；（节选）

【解析】（略）

例6.（2013年高考广东数学（理））设数列｛an｝的前n项和为Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N∗.

（1）求a2的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：数列与函数、不等式、三角、导数等的综合题目，只要轻轻摘去函数、不等式、三角、导数这层“面纱”，立即露出数列的“庐山真面目”，也就是求通项公式和求和问题。

第三大类 数列应用题

例7.（2011年高考陕西卷理科14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

【解析】：设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和为

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11时lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由题意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由题意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故该企业每年上缴资金d的值为缴时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元。

点评：解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后利用等差、等比数列知识求解。此类题目，体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

总之，高考数列有难有易。易的是等差、等比数列的通项公式和求和方法，难的是转化，要求考生具有较强的数学能力。备考时一定要因人而异，做到容易题不放过，难题尽力就可以了。

责任编辑 邹韵文

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数列，既是高中数学必修内容，又是高等数学的重要基石，各个省、市的高考都把它作为最重要的考查内容。从近几年的高考试题看，有关数列的试题在每年的高考试题中一般是一大一小，所占比例较大，这是因为数列知识是考查学生转化和化归、分类讨论、推理论证及探索问题能力的重要题源，容易命制背景新颖的试题，较好地体现高考的选拔功能。很多考生在备考时，总觉得数列试题很难、好乱，不知道如何复习和总结。其实，总结近几年的高考考点可知，数列试题基本可分为以下三大类。

第一大类只考查数列本身的知识，此类题目又可分为四个类型

A型：考查考生对等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情况，题目容易，基本不用拐弯，大部分考生都可轻松完成。此类题目属于容易题，也是高考出现频率最高的题。备考时，一定要加强对等差数列和等比数列的概念的理解，对通项公式、求和公式充分掌握；对分组求和法、错位相减法、裂项相消法 、倒序相加法、并项求和法等求和要熟练掌握；对教材中推导通项公式的累加法、累乘法要做到灵活运用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn，满足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N∗且a2，a5，a14构成等比数列.

（1）证明：a2=；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：此类题目所给的条件是和“Sn”与通项“an”混合的式子，属于中档题。解题的关键在于对变量的统一，即根据关系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化为“通项”或把“通项”化为“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后对已知等式作等价变形，把问题转化为等差、等比数列或其它特殊数列来求解，就可以完成题目的解答。当然有时也采用以退为进的办法，求的是an，却偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此构造新数列时要抓住题目的信息，不能乱变形，同时，此类问题易错的地方是许多考生没有对n进行分类讨论，导致丢失了n=1的情况。广东高考文科数学2012年、2013 年已连续两年出现了这类题。

C型：双数列题

例2.（2012高考浙江文19） 已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N∗，数列｛bn｝满足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（节选）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N∗，得：当n=1时，a1=S1=3；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江苏20）已知各项均为正数的两个数列｛an｝和｛bn｝满足：an+1=，n∈N∗，

（1）设bn+1=1+，n∈N∗，求证：数列｛（）2｝是等差数列；（节选）

【解析】（略）

点评：此类题目难易不定，高考出现的频率较高。一般解题思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者联立解方程组，或者联立变形。

D型：考查数列知识的综合性题目。此类题目难度较大，充分考查数列的相关知识，特别是由数列的递推关系求解数列的通项公式是近几年高考的热门考点之一，而对于一阶分式型递推式的通项公式的求法，更是作为一大难点常在高考中出现。

例4.（2011年高考广东卷理科20）设b>0，数列｛an｝满足a1=b，an=（n≥2），

（1）求数列｛an｝的通项公式；（节选）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令An=，A1=，

当n≥2时，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①当b≠2时，An==，②当b=2时，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

点评：此类题目属于难题。全面考查考生的数列基本功，特别是已知递推关系，求通项公式的能力。备考时，对形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b为常数）、an=、an+2=pan+1+qan的递推数列求通项公式要熟练掌握。一般来说，只要求出了通项公式，其它问题也就迎刃而解了。

第二大类数列知识与其他数学知识的交汇性试题

将数列与函数、不等式、三角、导数等综合在一起的题目，在近几年各地高考试题中都有出现。

例5.（2009广东文20）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）的图像上一点。等比数列｛an｝的前n项和为f（n）-c，数列｛bn｝（bn>0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；（节选）

【解析】（略）

例6.（2013年高考广东数学（理））设数列｛an｝的前n项和为Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N∗.

（1）求a2的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：数列与函数、不等式、三角、导数等的综合题目，只要轻轻摘去函数、不等式、三角、导数这层“面纱”，立即露出数列的“庐山真面目”，也就是求通项公式和求和问题。

第三大类 数列应用题

例7.（2011年高考陕西卷理科14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

【解析】：设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和为

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11时lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由题意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由题意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故该企业每年上缴资金d的值为缴时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元。

点评：解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后利用等差、等比数列知识求解。此类题目，体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

总之，高考数列有难有易。易的是等差、等比数列的通项公式和求和方法，难的是转化，要求考生具有较强的数学能力。备考时一定要因人而异，做到容易题不放过，难题尽力就可以了。

责任编辑 邹韵文

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