初中数学竞赛训练题

一.填空题

1.完全数是一个数的所有因数之和(除该数本身外)等于该数本身的整数，它显示了整数的完满性.第1个完全数是6，它可以被1，2,3整除并且是1,2,3之和,那么第2个完全数是______.

图1

2.2个整数相加时，所得的和是2个数字相同的两位数;它们相乘时,所得的积是3个数字相同的三位数，则这2个整数是______.

4.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲地、乙地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有______种.

图2

5.若从1，2，3，…，8这8个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有______种.

6.如图1,在棱长为1的正方体中,点E,F分别为棱BB1,CC1的中点,那么把线段AE和D1F平移后,它们相交所得锐角的正弦值是______.

图3

9.已知不等式|a-2x|>x-1对任意的0≤x≤2恒成立,则实数a的取值范围是______.

10.已知△ABC是等腰三角形，边BC上的高恰好等于BC的一半,则∠BAC的度数是______.

二.解答题

图4 图5

11.如图4,请把一个6×10的长方形纸片沿着其各格点分成4个相似但不完全全等的长方形,要求作出3种不同分法的示意图.

12.在平面上有且只有4个点,这4个点有一个独特的性质:每2个点之间的距离有且只有2种长度.例如,在如图5所示的正方形ABCD中,AB=BC=CD=DA，AC=BD，但AB≠AC.请作出具有这种性质的所有图形,并标明相等的线段.

13.给定100个正整数n0,n1,n2,…,n100,已知n1>n0,n2=3n1-2n0,n3=3n2-2n1,…,n100=3n99-2n98.证明:n100>299.

14.已知方程ax2+bx+c=0(a,b,c为正整数)有2个不相等且小于1的正根,试求a的最小值.

15.2条抛物线的方程为y=x2+ax+b和y=x2+cx+d(a,b,c,d都是整数，且可以相等)，每一个数的取值都是通过规则的六面体骰子独立地投掷出来的，则这2条抛物线至少有1个公共点的概率是多少？

16.如图6,将边长为4 cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AB上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P.随着点M在边AD上取遍所有位置(点M不与A,D重合),试求△PDM的周长.

17.如图7,在梯形ABCD中，BA∥CD,AD⊥AB,AB=7,CD=6a,BC=a2,若以BC为直径的圆与AD没有公共点,求a的取值范围.

图6 图7 图8 图9

18.如图8,在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,点D在边BC上,BD∶DC=2∶3,且△ADE为正三角形.当S△ABC=100 cm2时,求S△ADE.

19.如图9,在AB=6,AD=4的矩形纸片ABCD中剪去⊙M与⊙M′,其中⊙M与AB,AD相切,⊙M′与BC,CD相切,且⊙M与⊙M′外切,则剩余部分的面积是否有最大值与最小值?若有,求出最值;若没有,请说明理由.

20.已知关于x的方程ax4-(a-3)x2+3a=0有一个根小于-2,其余3个根大于-1,求实数a的取值范围.

21.已知抛物线y=x2及点F,另点A,B是抛物线在y轴同侧的2个动点,设直线AF:y=k1x+b1,BF:y=k2x+b2,且k1,k2互为相反数.

(2)如图11,若点F(-1,1),请证明：直线AB的斜率为定值,并求出这个定值.

图10 图11 图12

22.如图12，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6，点P在AB上，AP=2，点E,F同时从点P出发，分别沿PA,PB以每秒1个单位长度的速度向点A,B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E,F的运动过程中，以EF为边长作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧.设点E,F运动的时间为t(t>0)秒，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.

(1)当0

(2)在整个运动过程中，当t为何值时，S取得最大值？这个最大值是多少？

参考答案

10.75°或15°或45°

11.解3种不同分法的示意图如图13所示:

图13

12.解共有如图14所示的5种图形满足题意：

图14

13.证明由条件知,n1-n0≥1,且

n2-n1=2(n1-n0),

n3-n2=2(n2-n1),

…

n100-n99=2(n99-n98).

将这99个等式相乘,约去公因式得

n100=n99+299(n1-n0)>299.

14.解设x1，x2为ax2+bx+c=0的2个根，由题意0

a(x-x1)(x-x2)=0.

将x=0,x=1代入,得

a2x1(1-x1)x2(1-x2)≥1.

从而a2>16.当a=5时,二次方程5x2-5x+1=0有2个不相等且小于1的正根.

16.解法1设BE=EM=x,AM=a,易得△AEM∽△DMP,从而

于是△PDM的周长为

又在Rt△AEM中,

(4-x)2+a2=x2,

即

a2=8x-16,

代入可得△PDM的周长为8.

解法2如图15，作BH⊥MP,证明△ABM≌△HBM,△BHP≌△BCP,则

MP=AM+PC,

故△PDM的周长为AD+DC=8.

图15 图16

17.解如图16，取AD的中点P和BC的中点O,联结PO.由题意得2OP>BC,即

a2-6a-7<0.

又DC=6a>0,从而0

综上所述,a的取值范围为

18.解如图17，以点A为中心补成一个以BC为边长的正△PBC,联结EF,GQ,RD,易证DEFGQR为正六边形,再联结DF,FQ,QD,则△DFQ为正三角形,其面积为正六边形面积的一半.于是

从而S△DFQ=300-3×72=84,

图17 图18

19.解建立如图18所示的直角坐标系.若剪去的2个圆的面积之和有最大(小)值,则剩余部分的面积有最小(大)值.设⊙M与⊙M′的半径分别为r和r′,则点M(r,r),点M′(6-r′,4-r′),从而

2边平方，整理得

(r+r′)2-20(r+r′)+52=0,

于是

因此S⊙M+S⊙M′=πr2+πr′2=

解得

21.证明设直线AB:y=kx+b,与抛物线y=x2联立,消去y得

x2-kx-b=0.

x1+x2=k,x1x2=b.

因为k1,k2互为相反数,所以k1+k2=0.

(2)将F(-1,1)代入直线AF:y=k1x+b1,BF:y=k2x+b2,得

b1=k1+1,b2=k2+1.

x1-1+x2-1=0,

即

x1+x2=2=k,

故直线AB的斜率为定值2.

S=S正方形EFGH=(2t)2=4t2

(重叠面积就是正方形EFGH的面积).

图19 图20 图21

S=S正方形EFGH-S△MHN=

S=S△AFN-S△AEM=

(2)点E,F的整个运动过程如图22～26所示，当点E,F运动到如图24～26所示的位置时，S取得最大值.

当t=5时(如图24),

图22图23图24图25图26

S=S正方形-S三角形1-S三角形2=