与三角形有关的竞赛题分类探究

● (镇海蛟川书院 浙江宁波 315201)

三角形是最基本的几何图形之一，平面几何中的许多问题往往可归结于三角形问题进行解决.三角形知识因其基础性强、起点低、能够灵活地融入到其他知识中去，一直受到命题者的青睐,因此熟练掌握三角形边角关系、全等三角形与特殊三角形的性质和判定及应用，对于解决线角的相等、不等以及和差等数量关系，研究平行、垂直等位置关系很有必要.笔者以其在初中竞赛中的常见类型进行分类，拟对这类问题的常见解法作一些探讨.

1 三角形边角关系的相关问题

三角形的3条边相互制约，3个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系，如三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，大角对大边、大边对大角等，它们在线段与角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用．

1.1 借助于三角形角的关系解题

例1已知锐角△ABC的3个内角A,B,C满足：A>B>C，用α表示A-B，B-C以及90°-A中的最小者，则α的最大值为______.

解因为α=min{A-B,B-C,90°-A},所以

α≤A-B,α≤B-C,α≤90°-A,

从而 6α≤ 2(A-B)+(B-C)+3(90°-A)=

270°-(A+B+C)=90°,

于是

α≤15°.

当且仅当A=75°,B=60°,C=45°时满足题设条件，此时α可取得最大值15°.

评注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识十分丰富.在三角形中，内角和定理、内外角关系定理、等腰三角形2个底角相等，利用这些独特的等量关系可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系.

1.2 借助于三角形三边关系解题

(2012年全国初中数学联赛试题)

解依题意得

由式(1)得

b>c-a，

化简得

a2-3ac+c2<0，

2边同除以c2，得

从而

1.3 借助于边角关系灵活解决综合问题

例3阅读下面的情景对话，然后解答问题：

老师：我们新定义一种三角形，2边平方和等于第3条边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．

小华：等边三角形一定是奇异三角形！

(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题是真命题还是假命题？

(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c.

图1

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

(2011年浙江省宁波市数学中考试题)

(1)真命题(过程略).

(3)①证明设⊙O的半经为R，因为AB是⊙O的直径，所以

∠ACB=∠ADB=90°.

从而

又因为AC2+BC2=AB2，BC=CE,所以

图2

故△ACE是奇异三角形.

②解如图2，△ACE是直角三角形.

若∠ACE=90°，则点E与点B重合，即点D与点B重合，不合题意.

若∠AEC=90°，则AE2+CE2=AC2.

当AC2+CE2=2AE2时，AE2=2CE2,从而

即

AB=2BC,

于是

∠BAC=30°，

因此

∠AOC=120°.

当AC2+AE2=2CE2时,CE2=2AE2,从而

即AB=BC，不合题意.

若∠CAE=90°，则AE2+AC2=CE2.

当CE2+AC2=2AE2时,AE2=2AC2,从而

即

AB=2AC，

于是

∠ABC=30°，

因此

∠AOC=60°.

当CE2+AE2=2AC2时,AC2=2AE2,从而

即AC=AB，不合题意.

综上所述，∠AOC=120°或∠AOC=60°.

评注试题以新定义的“奇异三角形”为背景，成功地跳出勾股定理的局限.新颖活泼的对话情景将等边三角形、直角三角形、圆等初中数学的核心内容巧妙地融合起来.问题解决从三角形边和角的关系入口，综合运用分类、代数的变形和锐角三角函数，起点低、落点高，学生经历了模仿、辨析、应用3个环节，凸现了问题解决的全过程.

2 三角形“四心”的相关问题

三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的《初中数学竞赛大纲》特别加强的内容，与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型.

2.1 借助于垂心的性质解题

例4已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则∠A的度数是

( )

A.30° B.45° C.60° D.75°

图3

解如图3，锐角△ABC的垂心H在三角形的内部，设△ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延长线交⊙O于点E.联结CE,AE,从而CE∥AH,AE∥CH，则

OB=AH=CE=2OD，

于是 ∠OBD=30°，∠BOD=60°，

因此

∠A=∠BOD=60°.

故选C.

评注三角形3条高线所在直线的交点叫做三角形的垂心.由于垂足位置的不确定性，遇到高线时常用的思想方法是分类讨论、构造相似三角形、四点共圆等.

2.2 借助于内心的性质解题

例5在△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______．

(2013年全国初中数学联赛试题)

解答过程参见本刊2014年第7期第15页.

评注三角形3条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.由于角平分线的轴对称性，遇到内心问题时的解法有构造对称图形、作高线、面积法等.

2.3 借助于重心性质解题

例6我们知道，三角形的3条中线一定会交于一点，这一点叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质，如有关线段比、面积比就有一些“漂亮”的结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题：

图4 图5

图6

(2013年四川省绵阳市数学中考试题)

(1)证明由△OPD∽△OCA，得

从而

即

(3)解如图6，联结CO并延长交AB于点F，联结BO并延长交AC于点E，过点O分别作AB,AC的平行线OM,ON，分别与AC,AB交于点M,N.因为点O是△ABC的重心，所以

在△ABE中，由OM∥AB知

即

同理可得

在△AGH中，由OM∥AG知

同理可得

从而

即

亦即

mn-1=(3-n)n-1=-n2+3n-1=

评注三角形3条中线的交点叫三角形的重心.解题时涉及到中线、比例、面积等多种知识，往往入口宽、方法多、综合能力要求很高，在各类竞赛中频繁出现.

2.4 借助于外心性质解题

例7设△ABC的外心，垂心分别为O,H，若点B,C,H,O共圆，则对于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度数．

解答过程参见本刊2014年第7期第14页.

评注三角形3条边的垂直平分线(中垂线)的交点叫三角形的外心.外心问题常与中点、垂直相联系，由于外心的位置与三角形的形状有关，因此分类讨论是常用的思想方法.本例从外心过渡到重心，很是自然.

3 与三角形面积相关的问题

平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素——边与角，而以三角形为载体的面积问题尤为常见.计算图形的面积是几何中一种常见的问题，求三角形面积的基本方法有：直接法、割补法、等积法、等比法等.

3.1 借助于方程模型直接解题

例8如图7,△ABC的面积是1,AD=DE=EC,BG=GF=FC，求阴影四边形MNFG的面积.

解(1)先求四边形FNEC的面积.设S△FNC=x,S△ECN=y,则

S△BNC=3x,S△ANC=3y.

即

故

图7 图8

(2)再求△BGM的面积.如图8，联结MC.设S△BGM=u，S△MEC=v,则

S△CGM=2u，S△MAC=3v,

从而

式(5)×3-式(6)，得

即

故

评注通过方程模型解决面积问题是一个锐利武器，一般思路为：设元，在图形中找等量关系列方程并求解，从而使面积问题迎刃而解.

图9

3.2 借助于等积模型解题

例9如图9，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图9中阴影部分的面积为

( )

A.3 B.4 C.6 D.8

(2013年全国初中数学联赛试题)

解联结CE，因为DE//CF，所以S△DEB=S△DEC，因此阴影部分的面积等于△ACE的面积．联结AF，由EF∥CD，知S△ACE=S△ACF，又因为BC=4CF，所以S△ABC=4S△ACF．故阴影部分的面积为6．

评注常见等积模型：(1)等底等高的2个三角形面积相等；(2)2个三角形高相等，面积比等于它们的底之比，2个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；(3)夹在一组平行线之间的等积变形，如图10，若AB∥CD,则S△ACD=S△BCD，反之，若S△ACD=S△BCD，则AB∥CD．在利用等积模型时，如何选择“中间桥梁”是关键.

图10 图11

3.3 借助于等比定理解题

例10如图11，P是△ABC内一点，BP，CP，AP的延长线分别与AC，AB，BC交于点E，F，D.考虑下列3个等式：

其中正确的有

( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

解(1)正确，理由：

(2)正确，理由：

(3)正确，理由：

故选D.

评注此例极为经典，囊括了燕尾定理、梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)等的探究过程，因涉及到的等比定理等知识均属于初中数学的难点，适当拓展，很是有趣.

4 构造图形解决三角形综合性问题

4.1 构造全等三角形解题

例11如图12，在△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，联结AN,CM交于点P.试求∠APM的度数，并写出推理证明的过程.

(2008年全国初中数学联赛

天津赛区试题)

证明过点M作AB的垂线MD，使MD=CN，联结DA,DN，则四边形MDNC是平行四边形，从而△DMA≌△MBC，于是DA=MC，而MC=DN，故DN=DA.因为∠ADN=90°，所以∠AND=45°，利用MC∥DN，得∠APM=∠AND=45°.

评注当现有图形的任何2个三角形之间不存在全等关系时，则需要添置辅助线，构造全等三角形来研究平面图形的性质.常见策略有：已知角平分线，可利用轴对称构造全等三角形；已知中点，可利用中心对称性构造全等三角形；已知特殊角度，可旋转特殊角度构造全等三角形.

图12 图13

4.2 构造对称图形解题

例12在△ABC中，已知∠CAB=60°，D，E分别是边AB，AC上的点，且∠AED=60°，ED+DB=CE，∠CDB=2∠CDE,则∠DCB=

( )

A．15° B．20° C．25° D．30°

(2010年全国初中数学联赛试题)

解如图13，延长AB到点F，使BF=ED，联结CF，EF．因为∠EAB=∠AED=60°，所以

∠EDA=60°,∠EDB=∠CED=120°.

由AD=AE=ED=BF,知

CE=ED+DB=DB+BF=DF，

于是

AC=AF，∠ACF=∠AFC=60°.

又因为∠EDB=120°，∠CDB=2∠CDE，所以

∠CDE=40°,∠CDB=80°,

∠ECD=180°-∠CED-∠EDC=20°.

在△CDA和△CBF中，

CA=CF，∠CAD=∠CFB=60°，AD=BF，

从而

△CDA≌△CBF，

于是

∠FCB=∠ACD=20°．

故

∠DCB=60°-∠CDE-∠FCB=20°．

评注当证明相等的2条线段或2个角所在的三角形全等的条件不充分时，则需根据图形的轴对称性或其他对称性质，先证明别的2个三角形全等以补足条件.

图14

4.3 构造等边三角形解题

例12如图14，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD的长为

( )．

(2012年全国初中数学联赛试题)

解如图14，以CD为边作等边△CDE，联结AE，可得△BCD≌△ACE，从而BD=AE.因为∠ADC=30°，所以∠ADE=90°.在Rt△ADE中，AE=5,AD=3,故

所以

CD=DE=4.

评注对于某些几何题，尤其是条件中出现或隐含着60°或120°的几何题，利用构造等边三角形的方法，可找到简捷的解题途径.

与三角形有关的竞赛题类型多、难度大、思维要求高，但只要我们夯实基础，拓宽思路，关注知识间的纵横联系，熟练运用分类讨论、数形结合及转化、化归等思想和方法，必能有章可循.