由2则高三复习课案例引发的教学思考

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(鄞州区正始中学 浙江宁波 315131)

教学活动是一种有目的、有计划的“人为”和“为人”的育人活动．“为人”就是活动的指向是满足学生全面、和谐发展的需要．“人为”就是活动具有个性化特点．尽管教学是“人为”的活动，但“人为”的活动不能违背教学规律．例如，教学内容必须与涉及的课程目标一致，教学过程必须符合数学发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律等．部分教师的复习教学效能之所以不高，是因为所确定的教学内容和运用的教学方法偏离了教学活动的规律．

以下2则关于高三导数复习课的案例对比说明无原则的“人为”会导致教学效果打折扣．笔者先简录2则复习教学的案例，再呈现笔者对有关教师和学生的访谈结果，然后提出复习教学的3点思考．

1 2则案例简录

案例1

授课的内容是“导数在三角函数问题中的运用”．

师：导数是研究函数非常好的工具之一，应用十分广泛．三角函数是特殊的函数，因此可以利用导数来解决三角函数中的有关问题，如单调性、周期性及取值范围等．现在我们一起来看2013年全国数学高考卷中的一道题：

设当x=θ时，函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=______．

师：很好！那是否可以用导数的方法呢？

生1(表情很疑惑)：我想不到．

师：利用导数可以研究哪些问题？

生2：求切线、最值、单调性(或单调区间)．

师：在三角函数中，求切线的问题很少，主要是求最值和单调区间．下面一起来看例题．

例1

得

即

点评

对由角ωx+α和ωx+β的正弦或余弦，通过相乘组合而成的形式，用求导的方法求单调区间，可以避免复杂的三角变换．

例2

函数f(x)=sin4x+cos2x的最小正周期是

( )

(2008年安徽省春季数学高考试题)

生4：可以通过降幂进行计算．

师：是否考虑过用导数的方法解决？

生4：还没想过．

师：我们可以先对函数求导

f′(x)=4sin3xcosx-2cosxsinx.

令f′(x)=0，即

4sin3xcosx-2cosxsinx=0，

解得

x=kπ(k∈Z),

由cosx=0,得

点评

三角中求三角函数的周期是一类常见题目，用导数来解可谓是另辟蹊径，依据有界函数2个相邻最高点之间长度正好是一个最小正周期的特点，轻易求解．

例3

求使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围．

生5：令cosx=t,t∈[-1,1]，则转化成二次函数……

师：今天我们讲的是用导数方法来解，请你用导数的方法来解……(教师不容学生有别的想法，硬生生地拉回到自己的教学设计上来).

案例2

授课的课题是“导数在研究函数中的应用”.

师：利用导数也可以解决函数中的有关单调性及最值(极值)的问题．先看如图1所示的导数应用网络结构：

图1

给出例题：

例4

(1)当k=3时，求函数f(x)的单调区间及极值；

(2)若函数f(x)在区间(0,3)上单调递增，求k的取值范围.

第(1)小题学生容易解决，并小结了求函数单调区间和极值(最值)的步骤．对第(2)小题：

生6：因为f(x)在区间(0,3)上单调递增,所以f′(x)=x2+2kx+k+2≥0在(0,3)上恒成立,从而

故

k≥-1.

变式1

(3)若函数f(x)在区间(0,3)上单调，求k的取值范围；

(4)若函数f(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围.

生7：函数f(x)在区间(0,3)上单调，包括2种情况：单调递增和单调递减.若函数f(x)在区间(0,3)上单调递增，则由第(2)小题得k≥-1；若函数f(x)在区间(0,3)上单调递减，则f′(x)=x2+2kx+k+2≤0在(0,3)上恒成立,从而

得

k≤-2．

故k≥-1或k≤-2．

生8：第(4)小题：若函数f(x)在区间(0,3)上不单调，由第(3)小题的答案，根据补集思想，可得-2

师：补集思想是一种很重要的解题思想方法，也可以称为正难则反原则，其意义是当从问题的正面去思考问题、遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.

变式2

(5)若函数f(x)在区间(0,3)上无极值，求k的取值范围；

(6)若函数f(x)在区间(0,3)上有极值，求k的取值范围．

生9：因为f(x)在区间(0,3)上无极值，所以f′(x)=x2+2kx+k+2=0在(0,3)上无解，从而

……

师：函数f(x)有极值需要满足几个条件？

生10：f(x)有极值需要2个条件：一是f′(x)有解；二是在极值点2侧的导数异号．

师：除了f′(x)=x2+2kx+k+2=0在(0,3)上无解的情况外，还应加上另一种情况：f′(x)=x2+2kx+k+2=0在(0,3)上有解，且在该解2侧f′(x)>0．

例5

已知函数f(x)=8x2+16x-k(k∈R)，g(x)=2x3+5x2+4x．

(1)若对任意x∈[-3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围;

(2)若对任意x1,x2∈[-3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范围;

(3)对任意x1∈[-3,3]，总存在x0∈[-3,3]，使得f(x1)=g(x0)成立，求k的范围．

例6

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设a<-1，若对任意x1,x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，求a的取值范围．

2 访谈结果

同为2节高三复习课，同是导数应用的问题，但2位教师的选材角度有较大的差异．这2位教师是怎样想的，其教学效果如何？笔者课后与这2位教师和部分学生进行了有目的地访谈，以下是访谈的结果．

案例1中教师(以下称“教师1”)的基本观点是：导数是研究函数非常好的工具之一，应用十分广泛，用导数研究三角函数的性质，解法新颖，能避免大量复杂的三角变形．学生虽不熟悉用导数解决三角函数问题的策略、方法和技巧，但相信通过教学有助于丰富学生的解题策略．学生的基本观点是：之前教师很少提到用导数解决三角函数的问题，这种方法确实比较新颖，但听后仍感到比较陌生，以后遇到这类问题可能还会自觉地运用三角变形法．从学生的课堂反应来看，三角函数问题用导数方法来解决学生不是很熟悉，尽管本节课教师给出了课题，但仍旧没有学生从导数进行入手思考，而且想不到怎样用导数去解决．说明教师平时在处理三角函数问题时采用的是通性通法——三角变形法．

案例2中教师(以下称“教师2”)的基本观点是：根据《考试说明》和《考试大纲》的要求，导数主要是解决函数的单调性和最值(极值)问题．因此，用导数求函数单调性、最值的一般方法是这节复习课教学的重点，而掌握一般方法需要通过解决具体问题来提炼、总结．学生的基本观点是：通过这节课的复习进一步明确了用导数求函数单调性及最值的方法，并且教师用题组、变式的形式能使我们的认识更全面，以后再遇到此类问题就不会出差错了．从学生的课堂反应来看，学生对例4中的第(1)～(4)小题解决很顺利，对例4中第(5)小题的错误通过交流讨论找到原因，对例5、例6通过学生共同讨论解决，课堂气氛活跃、轻松，而且掌握了用导数解决函数问题的方法．

3 关于复习教学的思考

3.1 复习教学内容设计应紧扣课程目标

涉及的课程目标是复习教学的指针，即是确定复习内容的依据．例如，导数在研究函数中的应用，其涉及的课程目标主要是：(1)结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过3次的多项式函数的单调区间.(2)结合函数的图像，了解函数在某点处取到极值的必要条件和充分条件；会求导数不超过3次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过3次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性[1]．

教师1的教学效能之所以不高，其原因之一是教学内容偏离了涉及的课程目标．教师2的教学效果之所以比较好，是因为其教学内容与课程目标比较一致．事实上，历年此类高考题基本都以三角函数的化简、求值、三角函数的性质及解三角形为主，压轴题基本都是以函数、导数的综合题，其中函数通常是指数函数或高次函数结合的复合函数，以运用导数方法解决函数的单调性或最值(极值)．因此，笔者认为利用导数研究函数性质的复习课，案例2更符合针对高考复习的要求，而案例1可列入选修课的内容以拓展学生的知识面和丰富解决问题的策略．

3.2 复习教学应注重通性通法与教后反思

高考追求突出学科基本思想和通性通法的考查．复习教学应进一步落实基本思想方法，不要刻意追求一些解题的特殊技巧，要把重点放在有价值的常规训练上．而关注解题之后的反思——采用一题多变、一题多用和多题归一的方式等是概括和提炼基本思想方法的关键．例如，关于函数单调性的含参数问题、最值问题是近几年高考的热点和重点之一，也是学生感到困惑和棘手的问题之一，教师可以通过解决具体问题之后的反思形式来总结一般性解题方法和揭示蕴涵的“转化”、“数形结合”等数学思想．

教师1的教学效能之所以不高，其原因之二是用导数来解决三角函数问题对学生来说不是基本方法，再加解题之后缺乏反思与总结，导致不能满足学生理解新方法的需要．教师2的教学效果之所以比较好，是因为提供的是通性通法，并且变式教学具有反思的性质，能满足学生总结一般性解题方法的需要．事实上，通过变式教学，既帮助学生克服了思维定势，又促进了学生的思维创新，在变中求进、在进中求通．其中，将形似质异的问题编成题组，精心设计有层次、有坡度的例题进行有针对性的教学，有助于学生辨析错因、弄清根源、认识本质、拓展思维．

3．3 复习教学应将“学”置于教学的中心

维果斯基认为学生的发展有2种水平：一种是学生的现有水平，另一种是学生可能的发展水平.两者之间的差距就是最近发展区，教学应着眼于学生的最近发展区，复习教学的载体也要符合“最近发展区”理论要求．由于教学的对象是学生，因此复习教学的活动也要体现以学为中心的思想．

教师1的教学效能之所以不高，其原因之三是教学载体超出了学生的最近发展区，并且教学采用的是教师讲解为主的方法，导致教学效果打了折扣．教师2的教学效果之所以比较好，是因为其教学载体符合“最近发展区”理论要求，并且教学采用了教师价值引导与学生自主建构相结合的方法．事实上，复习阶段学生具有一定的解决有关问题的知识与经验，更应该采用教师价值引导下的、学生独立学习基础上的合作交流和合作交流基础上的教师总结性讲解的先放后收的适度开放的方法．

总之，有效的复习教学不但要关注涉及的课程目标和学生的现实，也要注重问题解决后的反思以满足学生辨析、欣赏、提炼数学思想方法等的需要．

参 考 文 献

[1] 中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准(2003年)[M]．北京：人民教育出版社，2012.