异侧和最小 同侧差最大——到两定点距离之和与差的最值问题的新观察

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(海头高级中学 江苏赣榆 222111)

1 问题提出

解析几何中，我们常遇到1个动点到2个定点距离之和与差的最值问题，此类问题的条件通常是给出2个定点和1个动点，动点往往有固定的轨道，所求的问题一般是动点到2个定点的距离之和或差．此类问题往往因为定点处于轨道的异侧与同侧之分，轨道也有直线与曲线之别，距离又分和差，最值有最大也有最小，所以看起来解法各异，甚是灵活．不少学生遇到这些问题，往往都是不同问题应用不同方法，一题一议，一题一法．然而笔者在教学实践中却意外发现，它们的处理方式虽形式各异，但本质上都可以转化为初中学生都明白的2个简单的数学模型．

2 2个经典的最值应用模型

“两点之间，线段最短”，简单的8个字蕴涵着生活的哲理，它是我们都熟悉的一个“距离公理”，它的应用也非常广泛．大家最熟悉的一个例子：张庄和李庄是位于公路2旁的2个村庄，若要在公路上建一个汽车站，欲使2个村庄到该车站的距离之和最小，试设计出车站的最佳位置，并说明理由．这是该数学公理最简单也是最典型的实例，影响深远，由此可以抽象出如下的数学模型：

模型1

如图1，已知点A,B在直线l的异侧，在l上求一点M，使得MA+MB最小．

分析

根据两点之间，线段最短，联结AB，与直线l的交点是M′便是要求的点M．

证明

在直线l上任取一点M，得MA+MB≥AB，当且仅当点M与M′重合时有M′A+M′B=AB，因此MA+MB的最小值是AB的长度．

上面这个模型最典型的特征是：(1)定点A,B位于动点运动轨道的异侧；(2)可求距离之和的最小值．简单地说，就是“异侧和最小”

上述最值的证明所采用的原理是“两点之间，线段最短”，但事实上也可以理解为“三角形两边之和大于第三边”．从这一角度看，既然“三角形两边之和大于第三边”，那么同时也应该有“三角形两边之差小于第三边”所对应的最值问题存在，也就是说上述模型可以改编为求距离之差的问题，由此可以得到下面的新数学模型：

图1 图2

模型2

如图2，已知点A,B在直线l的同侧，在l上求一点M，使得MA-MB最大．

分析

延长AB交直线l于点M′，如图2，线段AB与直线l的交点是M′便是要求的点M．

证明

在直线l上任取一点M，得MA-MB≤AB，当且仅当点M与M′重合时有M′A-M′B=AB，因此MA-MB的最大值是AB的长度．

上面这个模型典型特征是：(1)定点A,B位于动点运动轨道的同侧；(2)可求距离之差的最大值．简单地说，就是“同侧差最大”.

3 对2个经典最值应用模型的解题体验与规律探究

3.1 定点在动点轨迹的位置可以相互转换

例1

[1]已知点A(-3,8)，B(2,2)，点P是x轴上的点，求PA+PB的最小值．

图3

解

如图3，在x轴上任取一点P，作B(2,2)关于x轴的对称点B1(2,-2)，则PB=PB1.联结PB1,PA,PB，联结AB1交x轴于点P1，则PA+PB=PA+PB1≥AB1，也就是说点P移动到与点P1重合时，取到最小值

评注

本题中的2个定点在x轴的同侧，这和模型1中“定点位于动点轨迹的异侧”的条件不相符，不在异侧，2个定点与1个动点无法在一条直线上，也就无法直接利用“两点之间，线段最短”，但是利用对称将同侧的点转化为异侧的点，从而划归成模型1求解，确保“异侧和最小”．

变式1

解

原式可化为

相当于已知点A(-3,8)，B(2,2)，点P是x轴上的点，求PA-PB最大值．延长AB交x轴于点P′，则PA-PB≤AB，也就是说点P移动到与点P′重合时，取到最大值

评注

不少学生在配方转化时常有困惑，即定点A,B坐标的符号不好把控，比如有人怀疑定点要是误写成B(2,-2)，还和原来的结果一样吗？答案是肯定的.因为虽不满足“同侧差最大”，但是完全可以通过对称把它们拉到“同侧”．

3.2 动点运动的轨道可以是直线也可以是曲线

例2

已知点P是抛物线y2=4x上的动点，F(1,0)，A(4,5)，则PA+PF的最小值是______．

解

图4 图5

评注

本题和例1一样，也是求动点P到2个定点距离之和的最小值问题，利用原理一致，和模型1极其相似.不同的是这里的动点运动轨道不是直线而是抛物线,但这并不影响我们利用“距离公理”求最值．可见动点的轨迹不一定局限于直线，还可以是抛物线、双曲线、椭圆，甚至是一般函数图像．

3.3 定点在动点运动轨迹的同侧与异侧也是相对的

例3

已知点P是函数f(x)=x3-3x上的动点，A(-2,-2)，B(1,2)，则PA+PB的最小值是______．

解

令f′(x)=3x2-3=0，得x=±1.若f′(x)>0,则x>1或x<-1;若f′(x)<0,则-1

PA+PB≥AB=P1A+P1B=

评注

本题把点A,B之间的部分曲线看成动点轨迹，由本题2个定点A,B可以看成位于轨迹异侧的2个点，符合“异侧和最小”的特征，因此可以直接求PA+PB的最小值.

变式2

已知点P是函数f(x)=x3-3x上的动点，A(-2,-2)，B(1,2)，若PA>PB，则PA-PB的最大值是______．

解

(同上)如图6．联结AB，延长交f(x)的图像于点P2，则

PA-PB≤AB=P2A-P2B=

评注

本题定点A,B并没有变动，轨迹也没有改变，但是动点在曲线上的位置可以自由移动.如果我们把点B右侧的部分曲线看成是点P的运动轨迹，那么AB就变成了轨迹同侧的2个点，符合“同侧差最大”特点，可直接求PA-PB的最大值．

图6 图7

3.4 动中求静，化动为定

例4

已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,点M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值为______.

解

假设点P位置如图7所示，则

PMmin=PC1-1，PNmin=PC2-3，

PM+PN≥PC1+PC2+4.

取C1(2,3)关于x轴的对称点C1′(2,-3)，当且仅当点C1′,P,C2共线，距离之和最小，此时

PM+PN≥PC1+PC2-4=

PC1′+PC2-4≥

评注

本题条件中不见2个定点，但是当我们把动点暂时看作定点时，转化为圆外一点到圆上点的距离PM与PN的最小值，从而获得轨迹同侧的2个定点C1与C2，并最终转化为x轴上的动点到x轴异侧的2个定点距离之和的最小值问题.

4 圆锥曲线中的几个最值问题的再认识

4.1 对于PA-PF，既可以求最大值也可以求最小值

例5

已知点P是抛物线y2=4x上的动点，F(1,0)，A(4,3)，则PA-PF的最大值和最小值是______．

解

如图8，可判断点A,F都在抛物线的内侧，直线AF与抛物线相交于2个点P1,P2，当PA≥PF时，根据“三角形两边之差小于第三边”，得PA-PF≤FA，而FA=P1A-P2F可以取到，于是

图8 图9

评注

一般地，若动点P在直线上，2个定点A,B位于直线的同侧，可以求PA-PF的最大值而不能求最小值，即“同侧差最大”.但是动点P在曲线上，为什么就可以求PA-PF的最大值和最小值呢？看了上面的曲线大家可能就明白了，这就是因为在延长线段AF的时候，与曲线可以有2个甚至更多的交点，而直线与直线最多只能有1个交点.

4.2 “求和”变不成“求差”，可改“同侧”为“异侧”

例6

已知B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的没岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B地和C地转运货物.经测算，从M到B,M到C修建公路的费用是每千米a万元，那么修建这2条公路的总费用最低是______万元.

解

Q=a·MB+a·MC=Q=a·(MB+MC)=

a·(MA-2a+MC)，

从而

评注

本题要求MA+MC最小值，本来定点在曲线同侧，怎么求最小值呢？要么把“和”改为“差”，要么把“同侧”改为“异侧”.本题利用双曲线的定义，把“同侧”改为“异侧”，问题就符合“异侧和最小”的特征了.

变式3

解

如图10，过点B作左准线的垂线，垂足为M．过点A作此准线的垂线，在x轴上的垂足为M′．根据椭圆的第二定义得

评注

图10 图11

4.3 “同侧”不能变“异侧”，改“和”为“差”

例7

解

根据椭圆的定义，PB+PC=2a=8，从而

PA+PC=PA+(8-PB)=8-(PB-PA).

为使PA+PC取得最小值，只需PB-PA取得最大值，此时只有点A,B,P共线时才可以取得，这时

评注当定点在轨迹的同侧时,一般更适合于求PA-PC的最大值.而求PA+PC的最小值，通常是定点位于轨迹的异侧，于是借助第一定义改变定点的位置，最终2个定点虽然谁也没有越过轨迹到达异侧，却有意外收获．即本来要求PA+PC的最小值，却变成了求PB-PA的最大值，这也正好符合“同侧差最大”的要求．

综上所述，解析几何中求动点到2个点距离的和(差)的最值，是最常见的一类最值问题.其解题策略多种多样，但是本质上却可以划归成距离最值的简单应用模型.把2个数学模型研究透了，掌握定点与轨迹的位置关系，理清求最大值与最小值的基本规律，依据“异侧和最小,同侧差最大”的基本原理，便可以以不变应万变，以逸待劳，乐享其中．

参 考 文 献

[1] 薛胜菊，赵洋.与图形有关的最值问题[J].教学考试(数学)，2013(11)：63-70．