半线性分数阶脉冲微分方程解的存在性和唯一性*

2014-08-02 03:21李祥王旭焕
关键词:新疆师范大学边值问题不动点

李祥, 王旭焕,2*

(1.保山学院 数学学院,云南 保山 678000;2.萍乡学院 教育科学系,江西 萍乡 337055)

分数阶微积分是一个古老而又新鲜的概念,早在整数阶微积分创立的初期,就有一些数学家开始考虑它的含义,如L'Hospital,Leibniz等,然而由于缺乏应用背景支撑等多方面的原因,它长期以来并没有得到较多的关注和研究.最近,关于分数阶微分方程的研究引起了广泛的重视,有关的研究和文献增加很快[1-7].微分方程反周期脉冲边值问题是微分方程的一个重要分支[8],同时也是研究解决生物学、生物学、物理学和工程技术中实际问题的重要工具.因此,分数阶脉冲微分方程也越来越被人们关注[9-17].

对于脉冲分数阶半线性问题的研究目前结果很少,本文将研究下列半线性分数阶微分方程脉冲边值问题解的存在性和唯一性.

(1)

1 预备知识

定义1.1 如果满足方程(1)的条件,那么在区间J上存在函数u∈PC(J,R)是方程 (1) 的一个解.

定理1.2 (Krasnoselskii不动点)设M是Banach空间X中的一个非空凸闭子集.假设A、B是两个映射使得(i)对任意的x、y∈M有Ax+By∈M,(ii)A是全连续映射,(iii)B是一个压缩映射,则存在至少一个z∈M,使得z=Az+Bz.

u(t)=C0+C1t+C2t2+…+Cn-1tn-1(Ci∈R,i=1,2,…n-1,n=[q]+1).

根据引理1.1,由此得出

(2)

引理1.2 若y∈[0,1],函数u是下列半线性脉冲分数阶微分方程的解

(3)

当且仅当u可以表示为下列分数阶积分方程

(4)

证明设u是方程(3)的解,则根据(2),有

(5)

其中c1∈R.若t∈J1,则

归纳得

因此,

因此,满足方程(3)的解由(4)式给出,证毕.

2 主要结果

定义算子A:PC(J,R)→PC(J,R)如下:

(6)

应用引理1.2,设y(t)=f(t,u(t))+λu(t),则方程(1)转化为不动点问题u=Au,其中A由方程(6)给出.因此,方程(1)有解就转化为求算子A有不动点.

证明首先,证明算子A:PC(J,R)→PC(J,R)是一个全连续算子.注意到T是连续的,因为f和Ik连续.再设Ω⊂PC(J,R)有界.则存在正常数Li(i=1,2,3)使得|f(t,u)≤L1|,|u(t)|≤L2,|Ik(u)|≤L3.从而∀u∈Ω,有

(7)

这就隐含

另一方面,对任意t∈Jk,0≤k≤p,有

因此,对t1,t2∈Jk,t1

定义Ω={u∈PC(J,R)|‖u‖

定理2.2 假设f:[0,T]×X→X是一联合联系函数,若满足下列条件

则方程(1)在J内至少有一个解.

容易看出,如果x、y∈Br,则Ax+By∈Br.事实上,很容易验证下列不等式

根据条件(H1)、(H2),有

根据Arzela-Ascoli 定理,A是相对紧的.再根据Krasnoselkii定理推出方程(1)在J内至少存在一个解,证毕.

定理2.3 假设条件(H1)成立,且

(8)

则方程(1)存在唯一解.

证明对任意的u,v∈C(J),有

其中Λ表示为(8).有‖Au-Av‖≤Λ‖u-v‖.由于Λ<1,因此,A是压缩映射.因此,根据压缩映射原理可以得证,方程(1)存在唯一解,证毕.

参 考 文 献:

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[5] Li K X,Peng J G Jia J X.Cauchy problems for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives[J].J Funct Anal,2012,263(2):476-510.

[6] WANG R N,CHEN D H,XIAO T J.Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators[J].J Differential Equations,2012,252(1):202-235.

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