蒙特卡罗方法模拟计算圆周率

彭滔　魏雷阳

摘要：蒙特卡罗方法是一种新型计算方法，它需要真实的随机数，在统计学方面有强有力的应用，随着高性能计算机变得越来越便宜，此方面变得愈发普遍，该文通过设计一个随机试验，建立pi值与试验次数的联系方程，使用R语言来模拟计算PI值。

关键词：蒙特卡罗方法；随机模拟；R语言

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）17-4038-02

A New Way to Compute Simulately PI with Monte Carlo Method in R Language

PENG Tao， WEI Lei-yang

（Sanya Polythenic College， Sanya 572022， China）

Abstract： Monte Carlo methods is a new way of computational algorithms， basically Monte Carlo simulation methods require truly random numbers ， Monte Carlo is a powerful numerical technique useful for solving problems especially in statistics. When high-speed computers becomes cheap，the method has gained in importance and popularity，when a circle with its bounding square is drawn，let randomly generate a point in the squre， the probability that the point falls in the circle is circle area /square area = PI/4，we can get pi from the equation.We finish the stochastic simulation with R language in the article.

Key words： Monte Carlo methods； stochastic simulation； R languange

1 蒙特卡罗方法简介

蒙特卡罗方法是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础，使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决计算问题的方法。其早期的雏形存在于17-18世纪，1777年法国数学家普丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π，统计史上称为普丰投针问题。

在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l（l

p=2l/（πa） π为圆周率。

几个世纪以来，先后有无数人重复了这个试验，比较有名气的试验见下表。

该方法的简要步骤概括如下：

1）根据概率论或统计理论建立一个数学模型（方程、等式或不等式）

2）以人工试验的方法进行大量的重复工作，记录每次试验的结果

3）利用概率的统计定义，归纳全部试验结果，从已经建立的模型中，解出研究对象的数值。

由于该方法涉及大量的手工试验，在计算机技术没有发展之前，缺乏推广，导致使用受限。

20世纪40年代美国在第二次世界大战中，为了研制原子弹，力推“曼哈顿计划”，该计算的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼结合当时已有的计算技术，重新推出这种统计模拟计算方法，他们以驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，蒙特卡罗方法。该方法与普丰投针时代的做法完全类似，同样可以分解成3个计算步骤（或成为算法），唯一的区别在于，用编写的计算机程序自动运行，取代了手工试验的方式，该方法结合了计算的强大运行能力，产生了良好的效果，在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算、核工程）等领域应用广泛。

蒙特卡洛方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题.例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问题。

2 蒙特卡罗算法

我们根据现有的计算技术，重新整理蒙特卡罗算法，并用R语言实现一个简单的莫特卡罗模拟，计算出圆周率。

假定有个半径是1的圆，这个圆有个外接的正方形，换句话说：这个单位圆内接于一个边长为2的正方形，我们截取1/4 个圆周，在这个区域内，随机绘制点，圆内的点用红点标示，园外的点（仍旧在正方形内）用绿点标示，总计做了n次试验，每次产生一个点，共有n1个点（红点）在园内（含正好落在圆周上），n2个点（绿点）在园外，n1+n2=n，如何计算圆周率？

园内的红点/所有的点=圆的面积/正方形的面积=PI*r*r/（2*r）*（2*r）

PI=4*圆内的红点/所有的点=4*圆内的红点/总试验次数

3 R语言实现

根据上面的方程，我们可以用R语言编制计算程序。

设计一个可以重复使用的函数，参数表示试验次数，由于对称性，只需考虑1/4个圆周即可，我们取第一象限作为研究对象，每次试验在0，1内随机产生一个x值，一个y值，一对（x，y）构成一个点，每个点如果满足x^2 +y^2 <= 1，表明它落在园内，园内的计数增加1。通过for循环完成上面的步骤。

getpi <- function（number）{

0 → count

for（ i in 1：number）{ #用循环进行计算

runif（1，0，1） → x #产生随机数

runif（1，0，1） → y #产生随机数

if （x^2 +y^2 <= 1 ） count <- count+1 } #判断点的位置

return（4*count/number） } #返回计算结果

getpi（1000） 模拟1000次试验

[1] 3.104

getpi（100000） 模拟100000次试验

[1] 3.14268

至此，我们用R语言演示了构造整个蒙特卡洛模拟的过程，得到了PI的近似值，由于程序使用的是伪随机数，计算精度受到一定影响，现代信息技术可以利用数学思想进行高效率的实现，避免手工试验的低效枯燥，R语言聊聊7行完成这样一个算法，其编程的效率令人震惊，R语言是最强大的统计计算工具。

参考文献：

[1] 陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009.

[2] MBA智库百科[EB/OL].http：//wiki.mbalib.com/wiki/蒙特卡罗方法?.

[3] R语言 R： A Language and Environment for Statistical Computing Vienna， Austria 2013[EB/OL].http：//www.R-project.org/.

摘要：蒙特卡罗方法是一种新型计算方法，它需要真实的随机数，在统计学方面有强有力的应用，随着高性能计算机变得越来越便宜，此方面变得愈发普遍，该文通过设计一个随机试验，建立pi值与试验次数的联系方程，使用R语言来模拟计算PI值。

关键词：蒙特卡罗方法；随机模拟；R语言

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）17-4038-02

A New Way to Compute Simulately PI with Monte Carlo Method in R Language

PENG Tao， WEI Lei-yang

（Sanya Polythenic College， Sanya 572022， China）

Abstract： Monte Carlo methods is a new way of computational algorithms， basically Monte Carlo simulation methods require truly random numbers ， Monte Carlo is a powerful numerical technique useful for solving problems especially in statistics. When high-speed computers becomes cheap，the method has gained in importance and popularity，when a circle with its bounding square is drawn，let randomly generate a point in the squre， the probability that the point falls in the circle is circle area /square area = PI/4，we can get pi from the equation.We finish the stochastic simulation with R language in the article.

Key words： Monte Carlo methods； stochastic simulation； R languange

1 蒙特卡罗方法简介

蒙特卡罗方法是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础，使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决计算问题的方法。其早期的雏形存在于17-18世纪，1777年法国数学家普丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π，统计史上称为普丰投针问题。

在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l（l

p=2l/（πa） π为圆周率。

几个世纪以来，先后有无数人重复了这个试验，比较有名气的试验见下表。

该方法的简要步骤概括如下：

1）根据概率论或统计理论建立一个数学模型（方程、等式或不等式）

2）以人工试验的方法进行大量的重复工作，记录每次试验的结果

3）利用概率的统计定义，归纳全部试验结果，从已经建立的模型中，解出研究对象的数值。

由于该方法涉及大量的手工试验，在计算机技术没有发展之前，缺乏推广，导致使用受限。

20世纪40年代美国在第二次世界大战中，为了研制原子弹，力推“曼哈顿计划”，该计算的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼结合当时已有的计算技术，重新推出这种统计模拟计算方法，他们以驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，蒙特卡罗方法。该方法与普丰投针时代的做法完全类似，同样可以分解成3个计算步骤（或成为算法），唯一的区别在于，用编写的计算机程序自动运行，取代了手工试验的方式，该方法结合了计算的强大运行能力，产生了良好的效果，在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算、核工程）等领域应用广泛。

蒙特卡洛方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题.例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问题。

2 蒙特卡罗算法

我们根据现有的计算技术，重新整理蒙特卡罗算法，并用R语言实现一个简单的莫特卡罗模拟，计算出圆周率。

假定有个半径是1的圆，这个圆有个外接的正方形，换句话说：这个单位圆内接于一个边长为2的正方形，我们截取1/4 个圆周，在这个区域内，随机绘制点，圆内的点用红点标示，园外的点（仍旧在正方形内）用绿点标示，总计做了n次试验，每次产生一个点，共有n1个点（红点）在园内（含正好落在圆周上），n2个点（绿点）在园外，n1+n2=n，如何计算圆周率？

园内的红点/所有的点=圆的面积/正方形的面积=PI*r*r/（2*r）*（2*r）

PI=4*圆内的红点/所有的点=4*圆内的红点/总试验次数

3 R语言实现

根据上面的方程，我们可以用R语言编制计算程序。

设计一个可以重复使用的函数，参数表示试验次数，由于对称性，只需考虑1/4个圆周即可，我们取第一象限作为研究对象，每次试验在0，1内随机产生一个x值，一个y值，一对（x，y）构成一个点，每个点如果满足x^2 +y^2 <= 1，表明它落在园内，园内的计数增加1。通过for循环完成上面的步骤。

getpi <- function（number）{

0 → count

for（ i in 1：number）{ #用循环进行计算

runif（1，0，1） → x #产生随机数

runif（1，0，1） → y #产生随机数

if （x^2 +y^2 <= 1 ） count <- count+1 } #判断点的位置

return（4*count/number） } #返回计算结果

getpi（1000） 模拟1000次试验

[1] 3.104

getpi（100000） 模拟100000次试验

[1] 3.14268

至此，我们用R语言演示了构造整个蒙特卡洛模拟的过程，得到了PI的近似值，由于程序使用的是伪随机数，计算精度受到一定影响，现代信息技术可以利用数学思想进行高效率的实现，避免手工试验的低效枯燥，R语言聊聊7行完成这样一个算法，其编程的效率令人震惊，R语言是最强大的统计计算工具。

参考文献：

[1] 陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009.

[2] MBA智库百科[EB/OL].http：//wiki.mbalib.com/wiki/蒙特卡罗方法?.

[3] R语言 R： A Language and Environment for Statistical Computing Vienna， Austria 2013[EB/OL].http：//www.R-project.org/.

摘要：蒙特卡罗方法是一种新型计算方法，它需要真实的随机数，在统计学方面有强有力的应用，随着高性能计算机变得越来越便宜，此方面变得愈发普遍，该文通过设计一个随机试验，建立pi值与试验次数的联系方程，使用R语言来模拟计算PI值。

关键词：蒙特卡罗方法；随机模拟；R语言

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）17-4038-02

A New Way to Compute Simulately PI with Monte Carlo Method in R Language

PENG Tao， WEI Lei-yang

（Sanya Polythenic College， Sanya 572022， China）

Abstract： Monte Carlo methods is a new way of computational algorithms， basically Monte Carlo simulation methods require truly random numbers ， Monte Carlo is a powerful numerical technique useful for solving problems especially in statistics. When high-speed computers becomes cheap，the method has gained in importance and popularity，when a circle with its bounding square is drawn，let randomly generate a point in the squre， the probability that the point falls in the circle is circle area /square area = PI/4，we can get pi from the equation.We finish the stochastic simulation with R language in the article.

Key words： Monte Carlo methods； stochastic simulation； R languange

1 蒙特卡罗方法简介

蒙特卡罗方法是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础，使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决计算问题的方法。其早期的雏形存在于17-18世纪，1777年法国数学家普丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π，统计史上称为普丰投针问题。

在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l（l

p=2l/（πa） π为圆周率。

几个世纪以来，先后有无数人重复了这个试验，比较有名气的试验见下表。

该方法的简要步骤概括如下：

1）根据概率论或统计理论建立一个数学模型（方程、等式或不等式）

2）以人工试验的方法进行大量的重复工作，记录每次试验的结果

3）利用概率的统计定义，归纳全部试验结果，从已经建立的模型中，解出研究对象的数值。

由于该方法涉及大量的手工试验，在计算机技术没有发展之前，缺乏推广，导致使用受限。

20世纪40年代美国在第二次世界大战中，为了研制原子弹，力推“曼哈顿计划”，该计算的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼结合当时已有的计算技术，重新推出这种统计模拟计算方法，他们以驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，蒙特卡罗方法。该方法与普丰投针时代的做法完全类似，同样可以分解成3个计算步骤（或成为算法），唯一的区别在于，用编写的计算机程序自动运行，取代了手工试验的方式，该方法结合了计算的强大运行能力，产生了良好的效果，在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算、核工程）等领域应用广泛。

蒙特卡洛方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题.例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问题。

2 蒙特卡罗算法

我们根据现有的计算技术，重新整理蒙特卡罗算法，并用R语言实现一个简单的莫特卡罗模拟，计算出圆周率。

假定有个半径是1的圆，这个圆有个外接的正方形，换句话说：这个单位圆内接于一个边长为2的正方形，我们截取1/4 个圆周，在这个区域内，随机绘制点，圆内的点用红点标示，园外的点（仍旧在正方形内）用绿点标示，总计做了n次试验，每次产生一个点，共有n1个点（红点）在园内（含正好落在圆周上），n2个点（绿点）在园外，n1+n2=n，如何计算圆周率？

园内的红点/所有的点=圆的面积/正方形的面积=PI*r*r/（2*r）*（2*r）

PI=4*圆内的红点/所有的点=4*圆内的红点/总试验次数

3 R语言实现

根据上面的方程，我们可以用R语言编制计算程序。

设计一个可以重复使用的函数，参数表示试验次数，由于对称性，只需考虑1/4个圆周即可，我们取第一象限作为研究对象，每次试验在0，1内随机产生一个x值，一个y值，一对（x，y）构成一个点，每个点如果满足x^2 +y^2 <= 1，表明它落在园内，园内的计数增加1。通过for循环完成上面的步骤。

getpi <- function（number）{

0 → count

for（ i in 1：number）{ #用循环进行计算

runif（1，0，1） → x #产生随机数

runif（1，0，1） → y #产生随机数

if （x^2 +y^2 <= 1 ） count <- count+1 } #判断点的位置

return（4*count/number） } #返回计算结果

getpi（1000） 模拟1000次试验

[1] 3.104

getpi（100000） 模拟100000次试验

[1] 3.14268

至此，我们用R语言演示了构造整个蒙特卡洛模拟的过程，得到了PI的近似值，由于程序使用的是伪随机数，计算精度受到一定影响，现代信息技术可以利用数学思想进行高效率的实现，避免手工试验的低效枯燥，R语言聊聊7行完成这样一个算法，其编程的效率令人震惊，R语言是最强大的统计计算工具。

参考文献：

[1] 陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009.

[2] MBA智库百科[EB/OL].http：//wiki.mbalib.com/wiki/蒙特卡罗方法?.

[3] R语言 R： A Language and Environment for Statistical Computing Vienna， Austria 2013[EB/OL].http：//www.R-project.org/.