人民币汇率的均值回复检验及Hurst指数计算

甄宗政

摘要：布雷顿森林体系的瓦解使得全球货币汇率进入浮动汇率阶段，货币汇率不再是固定不变的，而是有市场因素决定，汇率风险逐渐进入人们的视线。而外汇期权作为应对汇率波动风险的一种金融衍生工具，被很多企业和公司所认知。但是人民币汇率期权发展时间较晚，国内外对此研究并不是很完善，本文考虑到人民币汇率形成机制中的均值回复情况，利用回归分析法进行均值回复检验，并在此基础上借鉴已有文章利用R语言编程计算出人民币对美元汇率的Hurst指数。以期能够为人民币外汇期权的定价提供一些借鉴意义。

关键词：均值回复检验；Hurst指数；人民币汇率；R语言

中图分类号：F832.6 文献识别码：A 文章编号：1001-828X（2016）001-000-02

一、研究背景及意义

随着世界经济的快速发展，金融市场也在不断创新。20世纪70年代布雷顿森林体系瓦解之后，人们渐渐注意到汇率风险的重要性。尤其是在全球化不断加深的今天，跨国公司和跨国交易已经成为世界经济体中日益普遍的存在。为了规避汇率风险，外汇期权便应运而生，为进行两种货币交易的经济主体提供了一种良好的规避汇率风险的工具。

中国作为当今世界第三大经济体，经济的持续高速发展和境外投资的加速使得人民币对其他货币的交易日益频繁，尤其是近期人民币纳入一篮子货币之后，极大的促进人民币金融衍生产品的快速发展。人民币外汇期权具有规避人民币汇率波动风险和完善人民币汇率形成机制的重要作用。[1]而要想对人民币外汇期权正确定价，就必须要充分的认识人民币汇率的波动情况。本文在前人研究的基础上，结合人民币自身特点，对基于分数布朗运动的人民币汇率进行均值回复检验，并利用R语言编程计算出模型中的Hurst指数。

二、基于分数布朗运动的人民币外汇期权定价模型[2][3][4]

1.基本假设

（1）两个国家货币汇率波动服从分数布朗运动

μ表示对数外汇价格的期望率

（2） rd、rf分别表示国内和国外的无风险利率，且为已知常数；

（3） σ为波动率，是常数

（4）不存在交易费用和税收

（5）市场是中性的，不存在套利机会。

（6）此处考虑的外汇期权为外汇现货欧式期权，且为交易所交易的外汇期权品种。

2.引入分数布朗运动的人民币外汇期权定价模型

假设两种货币之间的汇率满足方程（2-1），（2-2），

（2-1）

（2-2）

进一步结合分数ITO引理、Hida空间转换、Wick积分等进行推导可得欧式看涨外汇期权的价格，如公式（2-3）所示。

（2-3）

通过上述公式，我们可以看出影响外汇期权定价的几个重要参数为即时汇率S、执行价格K、到期时间T、国内无风险利率rd、汇率的预期收益率μ、汇率的波动率σ、Hurst指数。其中前4个参数均为在外汇期权合同签订时就非常明确的确定了的。而其他的参数虽然在理论上都是固定的值，但是我们无法从现实中直接得到，只能根据人民币汇率的波动情况进行计算的出的，如何是的计算出的参数数值更加的贴近于实际数值就显得尤为重要。汇率的预期收益率μ和汇率的波动率σ都已经有了较为成熟的计算方法，本文希望通过检验和计算得到更加真实的Hurst指数，以便为人民币外汇期权的定价提供一定的参考。

三、人民币汇率的均值回复检验

均值回复通俗的讲就是金融资产的价格往往围绕其价格的平均值进行波动，这一现象普遍的存在于股票、汇率、利率等金融资产当中。2005年，人民币汇率不再盯住单一的美元，而是参照一篮子货币，根据市场供求关系，形成更富有弹性的浮动汇率机制[5]。下面运用回归分析法对人民币汇率是否具有均值回复现象进行检验。

1988年，Fama和French[6]共同研究了用回归分析法检验多期对数收益序列的自回归性质。他们通过建立线性回归模型来判断资产的价格是随机运动的还是被暂时成分所影响亦或者两者同时影响资产的价格波动，即具有均值回复趋势。下面是对该方法的简单介绍，具体内容请参考原文献。

假设t时刻汇率的自然对数为p（t），可分解为随机运动成分q（t）和暂时成分z（t），即可以用公式（3-1）表示。

p（t）=q（t）+z（t）（3-1）

q（t）=q（t-1）+μ+η（t）（3-2）

公式（3-2）中，μ表示预期漂移项，η（t）表示白噪声。

用R（t， t+T ）表示从时刻t到时刻t+T之间汇率的对数收益率，如公式（3-3）所示。

R（t， t+T ）= p（t+T ）- p（t）（3-3）

接下来在收益期T相同的情况下，以R（t， t+T ）为因变量，以R（t-T， t ）为自变量，做一元线性回归，计算回归方程的斜率。根据Fama和French的分析，如果资产价格具有均值回复过程，那么R（t， t+T ）对R（t-T， t ）的斜率会形成U型，斜率会随着T的增大而减少，一直减少到接近-0.5，然后逐渐增加并回到0.通过对2005年汇改之后到2015年1月份人民币对美元的月度数据进行回归分析，我们能够得到在不同收益期T下自回归方程的斜率。并利用Excel将得到的斜率数据绘制成图3-1，我们可以直观的看出，利用人民币对美元汇率的月度数据计算得到的回归方程的斜率轨迹呈现出U型。所以可以证明人民币汇率的波动具有均值回复性质。

四、Hurst指数及R/S估计

Hurst指数具有发现时间序列数据中存在的超长周期性，所以在分数布朗运动中，Hurst指数的估计是最重要的一个环节。一般认为，如果时间序列数据服从标准布朗运动，那么Hurst指数为0.5；若该指数不等于0.5，那么我们认为该时间序列数据服从分数布朗运动。在此情况下，若Hurst指数介于0.5到1之间，我们认为时间序列数据遵循有偏随机游走过程；当0

计算思路如下：

1.对已有的时间序列进行如下处理，形成一个新的对数序列Ri，以消除时间序列的短期自相关性。

2.将处理后的时间序列Ri划分为A个长度为H的子区间Im，并计算出每个子区间的均值Xm、标准差SIm、组内极差RIm。

3.每一个RIm均由对应的SIm进行标准化，则R/S定义为：。

4.不断增加H的长度，并重复1-3步骤，直到，以log（A）为解释变量，log（R/S）为被解释变量，通过Hurst推出的关系我们可以得到如下线性回归方程：

log（R/S）=log（c）+Hlog（A）+ε（4-1）

Hurst推出的关系为：

我们取在中国人民银行得到的从2009年1月5日到2015年1月5日的人民币对美元汇率日中间价进行分析，利用上述方法，先将原始数据进行对数一阶差分处理，消除短期自相关性，再将处理之后得到的数据带入模型，我们得到人民币对美元汇率的Hurst指数为0.446414，这个数据小于0.5，表明序列是反持续性的（粉红噪声）即均值回复过程。这与第三节中进行的均值回复检验得到的结果是相符的。

参考文献：

[1]张光平.人民币衍生产品[M].第三版.北京：中国金融出版社， 2012：980-983.

[2]Black F，Scholes M.The Pricing Of Options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，3.

[3]Garman M，Kohlhagen.Foreign currency Option Values[J].Journal of Internation Money and Finance，1983，23：1-7.

[4]王凯.基于分数布朗运动的外汇期权定价模型及实证研究[D].重庆：傅强，2008：4.

[5]付琼.中国经济发展中的人民币汇率制度[M].北京：中国金融出版社，2013：8-9.

[6]Fama E，French K.Permanent and Temporary Components of Stock prices[J].Journal of Political Economy，1988：246-273.

[7]韩海波.赫斯特指数（Hurst）指数及在Excel中的实现[J].数量经济研究，2006（4）：52-54.