差分方程在高中数列教学中的应用

张国勇

【摘要】关于差分方程的研究我们要先从它的发展历史说起，差分方程是在微分方程诞生之后产生的。因此人们是先研究了微分方程然后才开始研究差分方程的。而这些都是在微积分发明之后才出现的。从大的方向来说它是从函数方程演变过来的，因此其与函数方程有着紧密的联系。

【关键词】差分方程高中数学数列教学应用研究

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）05-0154-02

从差分方程发展的历史进程来看首先要从函数方程说起，由于函数方程在理论研究方面的复杂性，因此在最近的两百年来的发展极其缓慢。直到二十世纪初随着第一次工业革命的进一步发展和第二次工业革命在科学技术方面的迅猛发展，人们才发现函数方程在许多生产和科研领域的有非常重要的作用，因此从二十世纪初开始其发展在理论上非常迅速，并迅速地推动了科学技术和生产技术的进步。尤其是在航天技术和计算机网络技术方面的应用和推广直接推动了人类文明爆炸性的发展。本文主要从苏教版的高中数学方面对其进行分析和讨论。目前对差分方程的教学研究主要集中在解的定性结构分析方面。

一、从差分方程在高中教学中的应用进行分析

当前对差分方程的研究主要是在精确解的定性结构方面，下面主要是从高中数学教学的方面来对差分方程进行分析：

（一）从其在高中数学的教学地位方面进行分析

为了推动新一轮高中数学的课程改革，国务院先后发布一系列重要的文件。在新课改的方案中既强调了各个教学模块的独立性也同时强点了各个模块之间的逻辑关联性。高中数学在课程内容安排上分为选修和必修两个部分。必修的课程内容是高考的重点，而选修的课程则是根据学生的未来发展方向和兴趣爱好设置的，许多高中数学选修的内容都是大学里面高等数学的内容。这主要是为了学日后的深造奠定良好的数学基础。高中数学的选修主要分为四个系列，其中差分方程被列入了选修系列四。选修系列四的课程内容主要是针对有良好数学基础的和期望在数学方面进行长期发展的学生设置的。这也是将高中数学与大学数学连接一个教学延伸。

（二）从其在生产生活领域应用的分析

随着信息技术的进一步的发展，差分方程在理工和经济方面的范围逐步广泛，同时其在理工和经济方面的应用程度也不断加深。在高中数学教学内容上设置这些内容可以使学生切身体会到数学的实用性。使他们提高对数学的兴趣。差分方程是中学递归序列知识的提升和系统化。其在很大程度上直接推动了高中数学的建设进而发展。尤其是在中学数学建模方面的发展。主要目的是为了培养其在实际问题分析方面的能力。差分方程与数列是高中数学新课程中重要的内容。因为其具有起点低、终点高、技巧性强，难度大和直观性弱的特点。因此其学习难度比较大。因此其在最近几年的高考中被作为压轴题，大部分都是解差分方程的内容。为了使学生掌握一些用离散变量解决基本问题的方法，苏教版高中数学教材在选修内容上做了具体的规划。

差分方程与数列的极值、增减和函数图象的凹凸变化：

例：在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x这两个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使f=■＞■恒成立的函数的个数是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

解：已知，满足f■＞■性质的是凸函数，而在（0，1）为凸函数的有y=Log2x,而y=2x，y=x2为（0,1）上的凹函数，y=cos2x在（0，90°]为凸函数，（90°，1]为凹函数，所以这题的正确答案是B选项。

（1）接着是学习一些差分方程的基本知识，这主要就包括一阶性差分方程和二元一阶性差分方程组的知识，这就包括数学建模、接等差数列以及通解关系和通解公式，使学生在具体的实例中认识并了解一些描述现实世界的数学模型，了解一阶线性差分方程的通解和特解，会用迭代法求一阶线性差分方程组的解，对给定的方程组会求出极值并描绘其线性变化等方面的能力。

例如：已知数列{an}中，a1=0,an+1=an+2n-1,求数列的通项公式an。

解： ∵an+1=an+2n-1

∴an+1-an=2n-1

∴a2-a1=1,a3-a2=3,…,an-an-1=2n-3

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1）

=0+1+3+5+…+（2n-3)=■[1+(2n-3)](n-1)=(n-1)2

又∵a1=0=(1-1)2

∴an=(n-1)2

（2）通过与实际生活中密切相关的实例体会差分方程数学模型的实用性。如企业经营状况和人口增长，工程进度等生产实例来进行解释。是抽象的数学概念具体化，生动化。例如以某个人的住房公积金为例利用差分方程对其进行分析。例如：张先生在去年买了一套三室一厅的房子，银行工作人员告诉他如果利用住房公积金贷款在十年内还清，每个月的利率是0.36%，张先生想贷款十万元，利用差分方程计算张先生每个月要还银行多少钱？

解：设Xk为K月末欠银行的金额，十年内月利率为I,每个月还款额为A，贷款额度为L，下一个月月末欠银行的金额加上一个月的利息并减去当月的还款额。

即： XK+1=XK+I?鄢XK-A,或XK+1=XK(1+I)-A,K=1,2,…120,

这是一个一阶线性差分方程。

∴XK=(1+I)K?鄢C+■,其中C是待定常数,

注意到其中X0是表示最初欠银行的钱，即X0=L,

代入得L=C+■，解C=L-■，

∴XK=(1+I)K?鄢(L-A/I）+■=L(1+L)K+■[1-(1-I)K]

假设在K个月月末全部还清贷款，即成立 XK=0，应有：

L（1+L)K+■[1-(1+L）K]=0

∴A=■

这就是计算每个月还款的公式。

所以张先生的住房公积金贷款计算过程就是：

已知L=100000（元），K=120个月，I=0.00036，代入数据计算式：A=■≈■≈1020.77（元）

所以张先生在十年内每个月向银行要还1020.77元钱。

（3）在学习应用方面主要是为了让学生通过初步的学习能够

运用差分方程和差分方程组解决实际问题的能力，并使其感受到连续变量与离散的思想。使学生对数列与差分方程的结构由一个步了解到更深层次的认识。鼓励学生提高用差分方程建立数学方程式和数学模型的能力，因为用差分方程关系式建立数学模型是学会用数学知识解决社会实际问题的重要前提和思想基础，结合实际问题探讨解意义的能力。在教学过程中还应将差分方程与导数的基本性质和概念进行比较，使学生进一步感受到差分方程含义的作用和意义。初步了解将连续变量进行离散化的思想。

二、从差分方程在高考和竞赛方面的分析

（一）从高考方面进行分析

（1）由于差分方程是解决许多实际问题的重要基础，因此近年来一直都是高考的必考内容。差分方程是描述离散变量变化的重要工具，因此在高考中主要考在运算、思维、逻辑推理、实践能力和分析解决问题方面的能力。作为离散函数典型模型的内容也包含其中，而且差分方程的相关内容已经在许多版本的高中数学教材中呗编入了选修的专题，苏教版的高中数学教材和这也差不多。这是高中数学课程的良好延伸，同时也是高中数学与大学高等数学的良好衔接。这将十分有利于提高学生在数学方面的使用和实践能力。例如：

已知数列{an}中，a1=1,an=■an-1+1,n=1,2…求an

解：an=■an-1+1,得an-2=■（an-1-2）

又∵a1-2=-1≠0

所以数列{an-2}是首项为-1，公比为■的等比数列

∴an-2=-1×（■）n-1

∴an=2-21-n,n∈N+

（二）从高中数学竞赛方面进行分析

近几年来针对高中数学的学科知识竞赛项目特别多，有许多还成为了学生进入名牌大学的敲门砖。因此在教学过程中通常许多教育工作者会把差分方程与数列的使用作为教学工作和学科研究的重点的。

三、从教学运用和理论方面进行分析

(一)从运用差分方程求解数列问题的方面分析

我国在高中数学差分方程教学应用方面从1992年开始至今已经取得了许多理论性的进展。这对我国近年来的高中数学教材改革有着非常重要的指导作用和参考价值。这研究重要集中用在求和、近似计算以及递推数列等数学方面的教学性问题。

（二）從用差分方程解决数列应用问题的分析

由于差分方程的运用范围特别广泛，尤其是数学建模，这就吸引了许多学者对其进行研究。其中就有在2007年由王树忠李冬梅两人共同编著的《数学建模》详细解释了数学建模的具体步骤。在《数学建模》一书中对建模具体步骤的描述是：建模准备→模型假设→模型建立→模型求解→模型分析等一共五个步骤。这些都在很大程度上进一步强化了数学在生产生活领域的实用性作用。

总之，近年来对于数学在实际生产生活和科研方面的研究日趋广泛，并在理论研究方面逐渐成熟。并迅速影响了国家在教育方面的改革，尤其是对高考的改革。

参考文献：

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