交换环上低阶反对称矩阵李代数的李三导子

彭晓霞，陈海仙，王 颖

(大连理工大学数学科学学院，辽宁 大连 116024)

交换环上低阶反对称矩阵李代数的李三导子

彭晓霞，陈海仙，王 颖

(大连理工大学数学科学学院，辽宁 大连 116024)

设R是含1的交换环，用Un(R)(n∈N+)表示R上的n阶反对称矩阵李代数.研究了U4(R)及U5(R)上的李三导子，并证明了它们的李三导子都是内导子.同时也说明了U4(R)及U5(R)都是完备李代数.

反对称矩阵；李三导子；内导子；交换环；完备李代数

1 预备知识

近些年来，许多学者都研究过一般线性李代数及其子代数的导子，并且取得了一些重要成果.[1-8]如：文献[1]刻画了交换环上严格上三角矩阵李代数的导子；文献[2]刻画了三角矩阵上的李导子；文献[3]刻画了一般线性李代数的抛物子代数的导子；文献[4]刻画了可交换环上严格上三角矩阵李代数的李三导子；文献[5]刻画了交换环上严格上三角矩阵的广义李三导子；文献[6]刻画了广义李三导子的一些性质.关于反对称矩阵李代数的李三导子，目前还没有什么结果.本文旨在描述交换环上低阶反对称矩阵李代数的李三导子.在定理的证明中我们使用了大量的矩阵技巧来得到一些有用的等式.

设R是含1的交换环，Un(R)(n∈N+)是R上的n阶反对称矩阵构成的集合.定义[A，B]=AB-BA，∀A，B∈Un(R)，则Un(R)关于[，]运算构成李代数，称其为R上的n阶反对称矩阵李代数.

定义1[4]设ρ：Un(R)→Un(R)是一个线性变换，若对任意的A，B∈Un(R)，都有ρ[A，B]=[ρ(A)，B]+[A，ρ(B)]，则称ρ为Un(R)上的一个导子.

定义2[4]若一个线性变换φ：Un(R)→Un(R)满足

φ([[a，b]，c])=[[φ(a)，b]，c]+[[a，φ(b)]，c]+[[a，b]，φ(c)]，∀a，b，c∈Un(R)，

则称φ为Un(R)上的一个李三导子.

定义3[8]设Z∈Un(R)，如果对任意的A∈Un(R)，都有[Z，A]=0，则称Z为Un(R)的中心元素.Un(R)的所有中心元素的集合称为Un(R)的中心.

注1 导子一定是李三导子，但反之不一定成立.

关于交换环上低阶反对称矩阵李代数的李三导子，本文给出了以下结果：

设φ和φ分别是U4(R)，U5(R)上的李三导子，则φ和φ都是内导子.

2 定理的证明

证明 由[[A12，A13]，A12]=A13，可知

[[φ(A12)，A13]，A12]+[[A12，φ(A13)]，A12]+[-A23，φ(A12)]=φ(A13)，

又[[A1j，A12]，A1j]=A12，j=3，4.于是有

[[φ(A1j，A12]，A1j]+[[A1j，φ(A12)]，A1j]+[A2j，φ(A1j)]=φ(A12)，

由于[[A12，A13]，A14]=0，因此

[[φ(A12)，A13]，A14]+[[A12，φ(A13)]，A14]+[-A23，φ(A14)]=0，

由[[A12，A23]，A13]=0及[[A23，A12]，A23]=A12，可得

因为[[A13，A23]，A14]=A24，所以

根据[[A23，A12]，A14]=A34，可知

故结论得证.

其中：i=2，3；j=4，5；3≤l≤5.

证明 由[[A12，A1l]，A12]=A1l，3≤l≤5，可知

[[φ(A12)，A1l]，A12]+[[A12，φ(A1l)]，A12]+[-A2l，φ(A12)]=φ(A1l)，

因此

因为

[[A1l，A12]，A1l]=A12，3≤l≤5，

所以

[[φ(A1l)，A12]，A1l]+[[A1l，φ(A12)]，A1l]+[A2l，φ(A1l)]=φ(A12).

于是有

由[[A12，A13]，A1j]=0，4≤j≤5及[[A12，A14]，A15]=0，可得

因此

由[[A12，A23]，A23]=-A12可知，

根据[[A12，A13]，A23]=0，我们有

因为

[[A13，A1j]，A23]=A2j，4≤j≤5，

由上述证明的结论有

又[[A1j，A12]，A23]=A3j，4≤j≤5，因此

由[[A12，A14]，A25]=A45，可得

综上所述，所证结论成立.

由上述引理，我们易得下面的定理.

定理1 设φ和φ分别是Un(R)，n=4，5上的李三导子，则φ和φ都是内导子.

证明 不妨设

当n=4时，令

则由引理1，(φ-adx)(Aij)=0，因此φ=adx.

当n=5时，令

则(φ-ady)(Aij)=0.因此φ=ady，故所证命题成立.

易知，U4(R)，U5(R)的中心为{0}，所以我们有下面的推论.

推论1U4(R)，U5(R)都是完备李代数.

[1] OU SHIKUN，WANG DENGYIN，YAO UIPING.Derivations of the Lie algebra of strictly upper triangular matrices over a commutative ring[J].Linear Algebra Appl，2007，424：378-383.

[2] DOMINIK.Lie derivations on triangular matrices[J].Linear and Multilinear Algebra，2007，55(6)：619-626.

[3] WANG DENGYIN，YU QIU.Derivaions of parabolic subalgebras of the general linear Lie algebra over a commutative ring[J].Linear Algebra Appl，2006，418：763-774.

[4] HENG'TAI WANG，QING'GUO LI.Lie triple derivation of the Lie algebra of strictly upper triangular matrix over a commutative ring[J].Linear Algebra Appl，2009，430：66-77.

[5] LI HAI-LING，WANG YING.Generalized Lie triple derivations of strictly upper triangular matrices over a commutative ring[J].J of Math，2012，32(2)：254-262.

[6] LI HAI'LING，WANG YING.Generalized Lie triple derivations[J].Linear and Multilinear Algebra Appl，2011，59(3)：237-247.

[7] 李小朝，陈莹.一类矩阵李代数的结构[J].东北师大学报：自然科学版，2012，44(2)：14-17.

[8] JAMES E HUMPHREYS.Introduction to Lie algebras and representation theory[M].New York：Springer，1997：6-7.

Abstract:LetRbe a commutative ring with identity 1.Denote byUn(R)(n∈N+) the Lie algebra consisting of alln×nantisymmetric matrices overR.This article describes the Lie triple derivations ofU4(R) andU5(R)，and proves that their Lie triple derivations are inner derivations.As application，we prove thatU4(R) andU5(R) are perfect Lie algebra.

Keywords:antisymmetric matrices；Lie triple derivation；inner derivation；commutative ring；perfect Lie algebra

(责任编辑：陶 理)

Lie triple derivations of the Lie algebra of antisymmetric matrices of low dimensions over a commutative ring

PENG Xiao-xia，CHEN Hai-xian，WANG Ying

(School of Mathematical Sciences，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China)

1000-1832(2014)03-0016-04

10.11672/dbsdzk2014-03-004

2013-05-06

国家自然科学基金资助项目(J1103110).

彭晓霞(1990—)，女，硕士研究生；通讯作者：王颖(1967—)，女，博士，副教授，主要从事李代数研究.

O 152.5 [学科代码] 110·21

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