低维Hom-Poisson代数的分类

马凤敏，倪嘉琪，魏 竹，张庆成

(1.河北工业职业技术学院基础部，河北 石家庄 050000；2.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024)

低维Hom-Poisson代数的分类

马凤敏1，倪嘉琪2，魏 竹2，张庆成2

(1.河北工业职业技术学院基础部，河北 石家庄 050000；2.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024)

运用待定系数法确定了复数域上的二维和三维非Abel型Poisson代数的自同态，进而对相关的非Abel型的Hom-Poisson代数进行了分类.

Hom-Poisson代数；自同态；分类

代数形变理论最早由M.Gerstenhaber提出.[1]Hom-代数是代数形变理论中的一类，文献[2-4]引入了Hom-代数的概念，并进行了系统研究.文献[5]提出了Poisson代数的概念，给出了二维与三维Poisson代数的分类，文献[6]把Poisson代数推广为Hom-Poisson代数，并进一步研究其结构，文献[7]给出了一类广义李代数的Engel定理.本文利用文献[5]中二维与三维Poisson代数的分类，通过待定系数法，确定了二维与三维非Abel型Poisson代数的所有自同态，从而实现了二维与三维非Abel型Hom-Poisson代数的分类.

1 二维Hom-Poisson代数的分类

定义1[2]设L是复数域上的线性空间，[-，-]是L上的二元双线性运算，线性映射α：L→L满足α([x，y])=[α(x)，α(y)]，∀x，y∈L，则称(L，[-，-]，α)是一个Hom-代数.

定义2[5]Poisson代数L是一个向量空间，在其上定义了两种运算：

(1) (L，[-，-])是一个李代数，这里[-，-]称为Poisson括积；

(2) (L，·)是一个交换的结合代数.

且上述两个运算满足Leibniz等式：[X·Y，Z]=X·[Y，Z]+[X，Z]·Y，∀X，Y，Z∈L.

定义3[6]设(L，[-，-]，·，α)是复数域上的具有两个运算的Hom-代数，其中(L，[-，-]，α)是Hom-李代数，(L，·，α)是Hom-结合代数.如果L满足等式：[X·Y，α(Z)]=α(X)·[Y，Z]+[X，Z]·α(Y)，∀X，Y，Z∈L，则称L是复数域上的一个Hom-Poisson代数.

引理1[6]设(L，[-，-]，·)是一个Poisson代数，α：L→L是L上的一个自同态，令[X，Y]α=α([X，Y])，X°αY=α(X·Y)，∀X，Y∈L，则(L，[-，-]α，∘α，α)是Hom-Poisson代数.

引理2[5]设(L，[-，-]，·)是一个Poisson代数，e1，e2是L的基，则二维非Abel型的Poisson代数只有一种类型：[e1，e2]=e2，且基向量的其余括积与点积均为零.

定理1 设(L，[-，-]α，∘α，α)是一个Hom-Poisson代数，则二维非Abel型的Hom-Poisson代数只有以下两种：

(1) 基向量的所有括积与圈积均为零；

(2) [e1，e2]α=ke2(k≠0)，且基向量的其余括积与圈积均为零.

证明 由引理2有[e1，e2]=e2，对于Poisson代数的自同态α有

α(ei)·α(ej)=α(ei·ej)，[α(ei)，α(ej)]=α([ei，ej])(i，j=1，2)，

即有

k21=0，k11k22-k12k21=k22.

因此

2 三维Hom-Poisson代数的分类

引理3[5]设(L，[-，-]，·)是一个Poisson代数，e1，e2，e3是L的基，则三维非Abel型的Poisson代数有9种类型：

(1)e1·e2=γe3，[e1，e2]=e3；

(2)e1·e1=e3，[e1，e2]=e3；

(3)e1·e1=α2e3，e1·e3=αe3，e3·e3=e3，[e1，e2]=e2；

(4)e1·e1=e3，[e1，e2]=e2；

(5) [e1，e2]=e2；

(6)e1·e3=e1，e2·e3=e2，e3·e3=e3，[e1，e2]=e2；

(7) [e1，e2]=e2，[e1，e3]=αe3(α≠0)；

(8) [e1，e2]=e2+e3，[e1，e3]=e3；

(9) [e1，e2]=2e2，[e1，e3]=-2e3，[e2，e3]=e1.

其中基向量的其余括积与点积均为零.

定理2 设(L，[-，-]α，∘α，α)是一个Hom-Poisson代数，则三维非Abel型的Hom-Poisson代数有以下17种：

(1) 基向量的所有括积与圈积均为零；

(2) [e1，e2]α=ke3，e1∘αe2=γke3(k，γ≠0)，且基向量的其余括积与圈积均为零；

(3) [e1，e2]α=ke3，e1∘αe1=ke3(k≠0)，且基向量的其余括积与圈积均为零；

(4)e3∘αe3=e3，且基向量的其余括积与圈积均为零；

(5) [e1，e2]α=ke2(k≠0)，e3∘αe3=e3，且基向量的其余括积与圈积均为零；

(6)e1∘αe1=α2e3，e1∘αe3=αe3，e3∘αe3=e3(α≠0)，且基向量的其余括积与圈积均为零；

(7) [e1，e2]α=ke2，e1∘αe1=α2e3，e1∘αe3=αe3，e3∘αe3=e3(k，α≠0)，且基向量的其余括积与圈积均为零；

(8)e1∘αe1=ke3(k≠0)，且基向量的其余括积与圈积均为零；

(9) [e1，e2]α=ke2，e1∘αe1=e3(k≠0)，且基向量的其余括积与圈积均为零；

(10) [e1，e2]α=k2e2，e1∘αe3=e1+k1e2，e2∘αe3=k2e2，e3∘αe3=e3(k2≠0)，且基向量的其余括积与圈积均为零；

(11) [e1，e2]α=k1e2+k2e3，[e1，e3]α=k3e2+k4e3(km不同时为零，m=1，2，3，4)，且基向量的其余括积与圈积均为零；

证明 对于Poisson代数的自同态α有α(ei)·α(ej)=α(ei·ej)，[α(ei)，α(ej)]=α([ei，ej])(i，j=1，2，3)，由引理3知：

(1)e1·e2=γe3，[e1，e2]=e3，即有k31=k32=0，k11k12γ=k21k22γ=0，(k11k22+k12k21-k33)γ=0，k11k22-k12k21=k33.因此当γ=0时，

否则

(5) [e1，e2]=e2，即有k21=k23=0，k11k22=k22，k11k32=k12k31，k22k31=0.因此

(7) [e1，e2]=e2，[e1，e3]=αe3(α≠0)，即有k21=k31=0，k11kmm=kmm(m=2，3)，αk11k23=k23，k11k32=k32α.

因此当α=1时，

当α=-1时，

(8) [e1，e2]=e2+e3，[e1，e3]=e3，即有k21=k31=0，k22+k32=k11k22，k11(k22+k23)=k23+k33，k11k32=k32，k11(k32+k33)=k33.因此

(9) [e1，e2]=2e2，[e1，e3]=-2e3，[e2，e3]=e1，即有k12k23-k13k22=2k21，k11kmm-k1mkm1=kmm(m=2，3)，k13k21-k11k23=k23，k13k32-k12k33=2k31，k12k31-k11k32=k32，2(k21k32-k22k31)=k12，2(k23k31-k21k33)=k13，k22k33-k23k32=k11.因此

[1] GERSTENHABER M.On the deformation of rings and algebras[J]. Ann Math，1964，79(1)：59-103.

[2] LARSSON D，SILRESTROV S D.Quasi-Hom-Lie algebras，central extensions and 2-cocycle-like indentities[J].J Algebra，2005，288(2)：321-344.

[3] MAKHLOUF A，SILVESTROV S D.Hom-algebra structures[J].J Gen Lie Theory Appl，2008，2(2)： 51-64.

[4] HARGWIT J T，LARSSON D，SILRESTROV S D.Deformation of Lie algebras usingσ-derivations[J].J Algebra，2006，295(2)：314-361.

[5] GOZE M，REMM E.Poisson algebras in terms of non-associative algebras[J].J Algebra，2008，320：294-317.

[6] YAU D.Non-commutative Hom-Poisson algebra[J/OL].[2012-09-24].arXiv：1010.3408v1，2010.

[7] 王圣祥，董丽红.一类广义李代数的Engel定理[J].东北师大学报：自然科学版，2013，45(4)：36-40.

Abstract：The authors determined the two dimensional and three dimensional endomorphism of Poisson algebras which are not abelian on complex field using undetermined coefficients method，and then classified the Hom-Poisson algebras which are not abelian.

Keywords：Hom-Poisson algebra；endomorphism；classification

(责任编辑：陶 理)

Classification of low-dimensional Hom-Poisson algebras

MA Feng-min1，NI Jia-qi2，WEI Zhu2，ZHANG Qing-cheng2

(1.Department of Basic，Hebei College of Industry and Technology，Shijiazhuang 050000，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

1000-1832(2014)03-0001-06

10.11672/dbsdzk2014-03-001

2013-05-03

国家自然科学基金资助项目(11171055)；吉林省自然科学基金资助项目(20130101068)；吉林省教育厅“十一五”课题(2010331).

马凤敏(1966—)，女，副教授，主要从事李理论研究；通讯作者：张庆成(1960—)，男，博士，教授，主要从事李理论研究.

O 152.5 [学科代码] 110·21

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