捕捉 挖掘 整合——让数学直觉稍纵不再即逝

陶士梅

摘 要：直觉思维是人类思维形式中一种重要的思维方式。但在传统的小学数学教学当中，由于过分强调思维的逻辑性，致使直觉思维一直处于抑制和弱化状态。什么是直觉思维？面对稍纵即逝的直觉思维，该如何把握和引领？笔者从“捕捉、挖掘、整合”等方面对直觉思维的运用和提升进行了一些尝试探索。

关键词：直觉思维；捕捉；挖掘；整合

一、聚焦：直觉思维的“含冤莫白”

直觉思维是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式，是创造性思维的重要形式。在传统的数学教学中，人们往往注重逻辑思维、形象思维的培养，过分强调了证明的严格化、程序化，而与之并列的直觉思维能力的培养则被忽视，一直处于抑制和弱化状态。

（一）“没有过程不能算对”——“冤”：呆板的评判标准

案例：“学习通分后”练习：三块同样大的蛋糕，小明吃了一个蛋糕的[35]，小红吃了一个蛋糕的[34]，小东吃了一个蛋糕的[12]，请问谁吃得多？

XX同学解答：小红吃得多。因为[12]是一个蛋糕的一半，而[35]和[34]都比一半多，同时[34]又比[35]大，所以小红吃得多。

老师的希望：先通分，再比较大小，再进行判断。

最后的评判：半对，因为没有过程。

上述案例仅是一个缩影，诸如此类的过分使用逻辑思维作为唯一的评判标准非常普遍，尤其是考试的时候，对于没有过程的结果基本都是持否定态度。事实上，本题中的学生直觉思维非常灵敏、跳跃且非常简洁正确，“不得分”的结果让他们思维从此老老实实按部就班，思维逐步走向程式化甚至僵化。

（二）“没有理由不要瞎猜”——“冤”：保守的主观臆断

案例：讲授“长方形和正方形的特征”时，教师出示一个长方形，引导：你能想办法证明长方形的边和角有什么特点吗？有几个性急的孩子喊起来：四个角是直角，对边相等。老师呵斥：你证明出来的吗？没有理由不要瞎猜！学生顿时一片哑言。

对于小学生来说，其实很多知识都是在默认的基础上进行先学习的，只是等到他们具备了相应的知识基础和探究能力时再深入地研究。比如在一年级的时候学生就认识了一些基本图形和物体，如正方形、长方形、圆、正方体、长方体、圆柱体等，长期的观察和感悟让学生对于这些图形的特性有一些不需证明就知晓的直觉，当再次研究的时候，他们的直觉思维就会发生作用。这种“猜想”绝对不是瞎猜，而是在一瞬间顿悟到对象某方面的本质，从而迅速做出估计判断的一种思维。这种思维一旦被承认，往往可以带给学生巨大的自信力，激发起进一步探究的兴趣，一旦被打压，将会使学生三缄其口，使思维缺少灵动和冲击。

（三）“没有想好不要乱说”——“冤”：简单的打击遏制

案例：案例：如右图直角梯形中，求∠2=（ ）度

这道题是四年级学过了四边形的内角和之后的一道练习题，意在让学生通过360°-90°-90°-75°算出∠1，然后再用180°-∠1算出∠2，

有的同学看到题目之后，直觉思维反应∠2就等于75°，老师问：为什么？学生的逻辑思维没有跟上，支支吾吾。老师评价：没有想好不要乱说。

在教学中，很多老师苛求于学生的言之有理和言必有据，认为讲不出道理的答案都是误打误撞，都是瞎猜碰巧，对学生的直觉思维不信任不理解不支持不承认，致使学生的直觉思维和创新思维孱弱不堪。

二、实践能让数学直觉不再稍纵即逝

（一）捕捉——机敏睿智——灵活处理

直觉思维有时并不可靠，而且具有稍纵即逝的特点，这就要求老师具有敏锐的洞察力和感受力，及时捕捉，灵活处理。

1.关注第一反应，找寻通灵钥匙

“第一反应”就是没有经过逻辑推理，没有经过严密论证的“直觉思维”，这种直觉来得真实质朴，捕捉住第一反应就是找到了通往学生心灵的钥匙。

案例：在学习三角形“任意两条边的和大于第三条边”时，老师先让学生任意做三角形，有的同学摆，有的同学画，还有的同学折，大家都觉得三角形太简单。老师抛出问题：任意给你三根小棒，都能围成一个三角形吗？几乎全班都表示：能！这种反应就是典型的错误直觉，老师及时关注了这种反应，让学生亲自动手围一围（每个小组里发的小棒都是a+b

2.捕捉抢嘴插嘴，成就无限精彩

因为直觉具有突发性和跳跃性，不可预见地随时会发生，尤其在思维活跃独特同学的身上发生的频率更高，抢嘴插嘴则是其重要的表现形态，捕捉住并利用好，就可能成就出无限精彩。

案例：教学“长方形和正方形的特征”时，教师出示一个长方形并引导：你能想办法证明长方形的边和角有什么特点吗？有几个性急的孩子马上抢嘴：四个角是直角，对边相等。在没有经过证明和推理的情况下，他们的结论完全是正确的！这就是正确的直觉。老师不妨先肯定他们的抢嘴：你们真是太聪明了！不过怎样能证明你们的感觉是对呢？咱们量一量、折一折然后再来交流交流，好吗？他们为了证明自己的感觉是正确的，也会不遗余力地想尽办法验证，精彩无限。

（二）挖掘——旁敲侧击——激活直觉潜能

1.大胆的猜测——激活思维潜质

数学猜测是指在短时间内依据自己的记忆、理解、分析、判断，快速地给出结果或结论的过程，因为快速和开放，所以能迅速激活和触发一些隐性的思维潜质。

案例：如《循环小数》，老师揭示了课题后，引导同学们猜一猜，循环小数是一个什么数？生1：我从“小数”这两个字里可知道它一定是个小数。生2：我想循环小数的位数可能有很多。老师质疑：为什么呢？生3：我从“循环”一词联想到的，它可能就像每周的时间一样，都是从星期一到星期日这样不断重复的。师：真聪明！不但能抓住课题中的一个词去联想，还结合身边的实例去想。生3：我想循环小数中的某一个数字可能是不断出现的，就像一年都是春夏秋冬这样反复出现的一样。生4：不但是一个数字，也有可能是几个数字不断出现，比如12341234……

老师最后总结：大家猜得一点儿没错，循环小数到底什么样儿的呢，下面咱们就一起来研究研究。

如果没有猜测环节，没有学生猜测过程中的互相触动和启发，学生的直觉思维就难以启动，“循环小数的意义”只能被动接受。

2.自由的联想——促使直觉启动

联想是不受逻辑约束的思维，它具有极大的跳跃性和自由性，可以极为迅速地把不同事物联系起来，巧妙的联想也可以促使直觉思维的启动。

案例：学习了加法交换律以后，老师引导：联想是一种很好的数学学习方法，学会它，可以帮助我们有更丰富的发现。比如学了今天的“在加法运算中，交换两个加数的位置，和不变”（加法重读），你能联想到什么呢？学生纷纷联想：（1）在乘法算式中，交换两个乘数的位置积不变。（2）在除法算式中，交换两个数的位置，商不变。（3）在减法算式中，交换两个数的位置，差不变。老师引导：这些都只是我们的直觉，究竟它们对不对呢？还需要我们举很多例子验证。

3.敏锐的观察——瞬间达到最佳

长期的观察会形成敏锐的洞察力，可以使学生更容易获取外界的刺激，从而使潜意识层面上的各种混沌无序的知识，在一瞬间达到最恰当的组合，进入显意识状态，即产生直觉。

案例：如图，小明从家到学校有几条路？哪条路近？小学四年级之前的同学面对这个问题时，都能做出正确的选择，但是他们说不出理由。因为“三角形的两条边之和大于第三条边”这个逻辑性的知识是四年级下册才学到的。这种说不出理由的直觉正是长期的观察所得。

4.机智的选择——整体把握对象

选择是人脑对数学对象及其结构的一种迅速的识别、直接的理解或综合的判断。在这个过程中，人们不是按部就班地进行逻辑推理，而是从整体上把握数学对象，这种题目主要追求“是什么”，而不细究“为什么”，可以迅速激活学生的直觉思维。

案例：小明星期天骑自行车到奶奶家，先骑了10分钟，途中休息了10分钟，后来骑了8分钟就到了，下面那个图像大致表示时间和路程的关系（ ）

这是一道考查直觉思维的典型试题，试题的背景来源于日常生活，在题形的设计上采取了一个新的角度摒弃具体的计算与画图突出了观察与分析思维的考察。解答本题的思路不必抓细微的定量关系，而应该观图看势，抓住其特征，进行分析和选择。

（三）整合——相辅相成——互补共赢

1.用直觉引领逻辑

许多直觉洞察的空隙必须用逻辑推理来填补。对于直觉与非形式的强调是无可非议的，但是我们并不能以此去取代数学证明，而只能作为后者的必要补充；而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，他们很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”，而后者甚至可以说比根本不知道如何去解决问题更糟。

（1）或对或错，追根究底

面对问题时学生很容易产生直觉，如果对这些直觉思维不闻不问，任由学生瞎猜乱猜，最终导致学生养成随意、侥幸等不良学习心理，对于直觉的发展有害无益。在教学中不仅应当注意保护学生已有的猜想能力和直觉思维，引领学生先以直觉思维为导向，再用逻辑思维追根究底，注意帮助学生学会合理的猜想方法，促使他们的直觉思维不断得到发展和趋向精致。

（2）或隐或现，自圆其说

很多直觉产生的背后都

是一些难以名状或遗忘的知

识在支撑着，如在四年级刚

学习三角形时出现题目：两条平行线之间画三角形，它们的高有什么关系？学生的直觉反应两个三角形的高是相等的。但是为什么高都是相等的呢？一时又难以说清。用逻辑思维来追溯（三年级学的“两条平行线之间的距离都相等”）就可以实现对直觉思维中被简约的思维环节进行逻辑复原。

2.用逻辑检验直觉

直觉思维的结果只是问题的粗略解决，它是否正确，必须依靠逻辑思维加以证明。其中模糊的部分，需要逻辑思维进行澄清，错误的地方需要逻辑加以否定。所以逻辑思维是直觉思维可靠的验证和反馈，这种验证和反馈为新的直觉产生创造了基础和条件，可以有效地提高直觉思维的质量。比如有同学直觉认为“同位角相等”（小学没有学习同位角），就可以采取一系列的操作、分析、推理等逻辑思维方法来验证，一旦得到验证合理，学生就能感受到直觉思维带来的巨大喜悦，从而产生巨大的成就感；比如有同学直觉认为“两个数的积比两个数的和大”，老师就可以引导学生举出反例如2×2=2+2，5×1<5+1等来证明这种直觉的错误，学生从逻辑证明中反思到直觉的缺失：对于一些特殊数字特性的遗忘和忽略造成结论的片面。再如：把一张0.2mm厚的巨大的白纸对折25下，你能猜想最后白纸有多厚吗？会比珠穆朗玛峰的海拔高度还高吗？学生的直觉反应“白纸太薄，怎么可能有珠峰高呢”，不可思议。这时教师引领学生以科学严密的逻辑推理予以解答，及时矫正。

伊思·斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。

[参 考 文 献]

[1]郑毓信.如何培养学生的猜想和直觉能力[J].中学数学教学参考，2000（1～2）.

[2]徐利治，王前.数学直觉层次性初探[J].枣庄师专学报（自然科学版），1990（4）.

[3]郑毓信，张心珉.数学直觉的性质与数学直觉能力的培养[J].松辽学刊（自然科学版），1991（3）.

[4]曹升翰.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，1990.

（责任编辑：李雪虹）

老师最后总结：大家猜得一点儿没错，循环小数到底什么样儿的呢，下面咱们就一起来研究研究。

如果没有猜测环节，没有学生猜测过程中的互相触动和启发，学生的直觉思维就难以启动，“循环小数的意义”只能被动接受。

2.自由的联想——促使直觉启动

联想是不受逻辑约束的思维，它具有极大的跳跃性和自由性，可以极为迅速地把不同事物联系起来，巧妙的联想也可以促使直觉思维的启动。

案例：学习了加法交换律以后，老师引导：联想是一种很好的数学学习方法，学会它，可以帮助我们有更丰富的发现。比如学了今天的“在加法运算中，交换两个加数的位置，和不变”（加法重读），你能联想到什么呢？学生纷纷联想：（1）在乘法算式中，交换两个乘数的位置积不变。（2）在除法算式中，交换两个数的位置，商不变。（3）在减法算式中，交换两个数的位置，差不变。老师引导：这些都只是我们的直觉，究竟它们对不对呢？还需要我们举很多例子验证。

3.敏锐的观察——瞬间达到最佳

长期的观察会形成敏锐的洞察力，可以使学生更容易获取外界的刺激，从而使潜意识层面上的各种混沌无序的知识，在一瞬间达到最恰当的组合，进入显意识状态，即产生直觉。

案例：如图，小明从家到学校有几条路？哪条路近？小学四年级之前的同学面对这个问题时，都能做出正确的选择，但是他们说不出理由。因为“三角形的两条边之和大于第三条边”这个逻辑性的知识是四年级下册才学到的。这种说不出理由的直觉正是长期的观察所得。

4.机智的选择——整体把握对象

选择是人脑对数学对象及其结构的一种迅速的识别、直接的理解或综合的判断。在这个过程中，人们不是按部就班地进行逻辑推理，而是从整体上把握数学对象，这种题目主要追求“是什么”，而不细究“为什么”，可以迅速激活学生的直觉思维。

案例：小明星期天骑自行车到奶奶家，先骑了10分钟，途中休息了10分钟，后来骑了8分钟就到了，下面那个图像大致表示时间和路程的关系（ ）

这是一道考查直觉思维的典型试题，试题的背景来源于日常生活，在题形的设计上采取了一个新的角度摒弃具体的计算与画图突出了观察与分析思维的考察。解答本题的思路不必抓细微的定量关系，而应该观图看势，抓住其特征，进行分析和选择。

（三）整合——相辅相成——互补共赢

1.用直觉引领逻辑

许多直觉洞察的空隙必须用逻辑推理来填补。对于直觉与非形式的强调是无可非议的，但是我们并不能以此去取代数学证明，而只能作为后者的必要补充；而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，他们很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”，而后者甚至可以说比根本不知道如何去解决问题更糟。

（1）或对或错，追根究底

面对问题时学生很容易产生直觉，如果对这些直觉思维不闻不问，任由学生瞎猜乱猜，最终导致学生养成随意、侥幸等不良学习心理，对于直觉的发展有害无益。在教学中不仅应当注意保护学生已有的猜想能力和直觉思维，引领学生先以直觉思维为导向，再用逻辑思维追根究底，注意帮助学生学会合理的猜想方法，促使他们的直觉思维不断得到发展和趋向精致。

（2）或隐或现，自圆其说

很多直觉产生的背后都

是一些难以名状或遗忘的知

识在支撑着，如在四年级刚

学习三角形时出现题目：两条平行线之间画三角形，它们的高有什么关系？学生的直觉反应两个三角形的高是相等的。但是为什么高都是相等的呢？一时又难以说清。用逻辑思维来追溯（三年级学的“两条平行线之间的距离都相等”）就可以实现对直觉思维中被简约的思维环节进行逻辑复原。

2.用逻辑检验直觉

直觉思维的结果只是问题的粗略解决，它是否正确，必须依靠逻辑思维加以证明。其中模糊的部分，需要逻辑思维进行澄清，错误的地方需要逻辑加以否定。所以逻辑思维是直觉思维可靠的验证和反馈，这种验证和反馈为新的直觉产生创造了基础和条件，可以有效地提高直觉思维的质量。比如有同学直觉认为“同位角相等”（小学没有学习同位角），就可以采取一系列的操作、分析、推理等逻辑思维方法来验证，一旦得到验证合理，学生就能感受到直觉思维带来的巨大喜悦，从而产生巨大的成就感；比如有同学直觉认为“两个数的积比两个数的和大”，老师就可以引导学生举出反例如2×2=2+2，5×1<5+1等来证明这种直觉的错误，学生从逻辑证明中反思到直觉的缺失：对于一些特殊数字特性的遗忘和忽略造成结论的片面。再如：把一张0.2mm厚的巨大的白纸对折25下，你能猜想最后白纸有多厚吗？会比珠穆朗玛峰的海拔高度还高吗？学生的直觉反应“白纸太薄，怎么可能有珠峰高呢”，不可思议。这时教师引领学生以科学严密的逻辑推理予以解答，及时矫正。

伊思·斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。

[参 考 文 献]

[1]郑毓信.如何培养学生的猜想和直觉能力[J].中学数学教学参考，2000（1～2）.

[2]徐利治，王前.数学直觉层次性初探[J].枣庄师专学报（自然科学版），1990（4）.

[3]郑毓信，张心珉.数学直觉的性质与数学直觉能力的培养[J].松辽学刊（自然科学版），1991（3）.

[4]曹升翰.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，1990.

（责任编辑：李雪虹）

老师最后总结：大家猜得一点儿没错，循环小数到底什么样儿的呢，下面咱们就一起来研究研究。

如果没有猜测环节，没有学生猜测过程中的互相触动和启发，学生的直觉思维就难以启动，“循环小数的意义”只能被动接受。

2.自由的联想——促使直觉启动

联想是不受逻辑约束的思维，它具有极大的跳跃性和自由性，可以极为迅速地把不同事物联系起来，巧妙的联想也可以促使直觉思维的启动。

案例：学习了加法交换律以后，老师引导：联想是一种很好的数学学习方法，学会它，可以帮助我们有更丰富的发现。比如学了今天的“在加法运算中，交换两个加数的位置，和不变”（加法重读），你能联想到什么呢？学生纷纷联想：（1）在乘法算式中，交换两个乘数的位置积不变。（2）在除法算式中，交换两个数的位置，商不变。（3）在减法算式中，交换两个数的位置，差不变。老师引导：这些都只是我们的直觉，究竟它们对不对呢？还需要我们举很多例子验证。

3.敏锐的观察——瞬间达到最佳

长期的观察会形成敏锐的洞察力，可以使学生更容易获取外界的刺激，从而使潜意识层面上的各种混沌无序的知识，在一瞬间达到最恰当的组合，进入显意识状态，即产生直觉。

案例：如图，小明从家到学校有几条路？哪条路近？小学四年级之前的同学面对这个问题时，都能做出正确的选择，但是他们说不出理由。因为“三角形的两条边之和大于第三条边”这个逻辑性的知识是四年级下册才学到的。这种说不出理由的直觉正是长期的观察所得。

4.机智的选择——整体把握对象

选择是人脑对数学对象及其结构的一种迅速的识别、直接的理解或综合的判断。在这个过程中，人们不是按部就班地进行逻辑推理，而是从整体上把握数学对象，这种题目主要追求“是什么”，而不细究“为什么”，可以迅速激活学生的直觉思维。

案例：小明星期天骑自行车到奶奶家，先骑了10分钟，途中休息了10分钟，后来骑了8分钟就到了，下面那个图像大致表示时间和路程的关系（ ）

这是一道考查直觉思维的典型试题，试题的背景来源于日常生活，在题形的设计上采取了一个新的角度摒弃具体的计算与画图突出了观察与分析思维的考察。解答本题的思路不必抓细微的定量关系，而应该观图看势，抓住其特征，进行分析和选择。

（三）整合——相辅相成——互补共赢

1.用直觉引领逻辑

许多直觉洞察的空隙必须用逻辑推理来填补。对于直觉与非形式的强调是无可非议的，但是我们并不能以此去取代数学证明，而只能作为后者的必要补充；而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，他们很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”，而后者甚至可以说比根本不知道如何去解决问题更糟。

（1）或对或错，追根究底

面对问题时学生很容易产生直觉，如果对这些直觉思维不闻不问，任由学生瞎猜乱猜，最终导致学生养成随意、侥幸等不良学习心理，对于直觉的发展有害无益。在教学中不仅应当注意保护学生已有的猜想能力和直觉思维，引领学生先以直觉思维为导向，再用逻辑思维追根究底，注意帮助学生学会合理的猜想方法，促使他们的直觉思维不断得到发展和趋向精致。

（2）或隐或现，自圆其说

很多直觉产生的背后都

是一些难以名状或遗忘的知

识在支撑着，如在四年级刚

学习三角形时出现题目：两条平行线之间画三角形，它们的高有什么关系？学生的直觉反应两个三角形的高是相等的。但是为什么高都是相等的呢？一时又难以说清。用逻辑思维来追溯（三年级学的“两条平行线之间的距离都相等”）就可以实现对直觉思维中被简约的思维环节进行逻辑复原。

2.用逻辑检验直觉

直觉思维的结果只是问题的粗略解决，它是否正确，必须依靠逻辑思维加以证明。其中模糊的部分，需要逻辑思维进行澄清，错误的地方需要逻辑加以否定。所以逻辑思维是直觉思维可靠的验证和反馈，这种验证和反馈为新的直觉产生创造了基础和条件，可以有效地提高直觉思维的质量。比如有同学直觉认为“同位角相等”（小学没有学习同位角），就可以采取一系列的操作、分析、推理等逻辑思维方法来验证，一旦得到验证合理，学生就能感受到直觉思维带来的巨大喜悦，从而产生巨大的成就感；比如有同学直觉认为“两个数的积比两个数的和大”，老师就可以引导学生举出反例如2×2=2+2，5×1<5+1等来证明这种直觉的错误，学生从逻辑证明中反思到直觉的缺失：对于一些特殊数字特性的遗忘和忽略造成结论的片面。再如：把一张0.2mm厚的巨大的白纸对折25下，你能猜想最后白纸有多厚吗？会比珠穆朗玛峰的海拔高度还高吗？学生的直觉反应“白纸太薄，怎么可能有珠峰高呢”，不可思议。这时教师引领学生以科学严密的逻辑推理予以解答，及时矫正。

伊思·斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。

[参 考 文 献]

[1]郑毓信.如何培养学生的猜想和直觉能力[J].中学数学教学参考，2000（1～2）.

[2]徐利治，王前.数学直觉层次性初探[J].枣庄师专学报（自然科学版），1990（4）.

[3]郑毓信，张心珉.数学直觉的性质与数学直觉能力的培养[J].松辽学刊（自然科学版），1991（3）.

[4]曹升翰.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，1990.

（责任编辑：李雪虹）