从几何证法到向量解法

文/李哲

问题：如图1,在Rt△ABC中，∠C=90°,点M在BC上，且BM=AC,N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P.

求证：∠BPM=45°.（2006年杭州市“求是杯”竞赛题）

证法一：如图2，过M点作MH平行于AN，且等于AN；

则四边形AMHN是平行四边形，AM平行且等于HN，

∠MHN=∠MAN；

又∵BM=AC，MH=AN=MC，

∴Rt△BMH≌Rt△ACM，

∴∠MHB=∠AMC，BH=AM；

又∵∠MAN+∠AMC=90°，

∴∠MHN+∠MHB=90°,

又∵BH=AM=HN；∴△BHN是等腰直角三角形.

∴∠HNB=45°；又∵AM//NH，∴∠BPM=∠BNH=45°.

证法二：建立坐标用向量方法来解此题，更显得方便快捷：

如图3，把C点放在坐标原点，则

A（0，b），B（a，0），

∵MB=A，C=b，CM=A，N=a-b，

CN=A，C-A，N=b-（a-b）=2b-a，

∴M（a-b，0），N（0，2b-a）

■=（b-a，b），■=（-a，2b-a）

∴根据两个向量的夹角计算公式：

cos∠MPB=■

=■

=■

∴∠MPB=45°.

由此可见，初中阶段不宜挖得太难，注重对学生数学思维方法的培养才是重中之重，随着认知水平的不断提高，复杂的问题也就变得容易多了.

编辑 鲁翠红

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问题：如图1,在Rt△ABC中，∠C=90°,点M在BC上，且BM=AC,N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P.

求证：∠BPM=45°.（2006年杭州市“求是杯”竞赛题）

证法一：如图2，过M点作MH平行于AN，且等于AN；

则四边形AMHN是平行四边形，AM平行且等于HN，

∠MHN=∠MAN；

又∵BM=AC，MH=AN=MC，

∴Rt△BMH≌Rt△ACM，

∴∠MHB=∠AMC，BH=AM；

又∵∠MAN+∠AMC=90°，

∴∠MHN+∠MHB=90°,

又∵BH=AM=HN；∴△BHN是等腰直角三角形.

∴∠HNB=45°；又∵AM//NH，∴∠BPM=∠BNH=45°.

证法二：建立坐标用向量方法来解此题，更显得方便快捷：

如图3，把C点放在坐标原点，则

A（0，b），B（a，0），

∵MB=A，C=b，CM=A，N=a-b，

CN=A，C-A，N=b-（a-b）=2b-a，

∴M（a-b，0），N（0，2b-a）

■=（b-a，b），■=（-a，2b-a）

∴根据两个向量的夹角计算公式：

cos∠MPB=■

=■

=■

∴∠MPB=45°.

由此可见，初中阶段不宜挖得太难，注重对学生数学思维方法的培养才是重中之重，随着认知水平的不断提高，复杂的问题也就变得容易多了.

编辑 鲁翠红

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问题：如图1,在Rt△ABC中，∠C=90°,点M在BC上，且BM=AC,N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P.

求证：∠BPM=45°.（2006年杭州市“求是杯”竞赛题）

证法一：如图2，过M点作MH平行于AN，且等于AN；

则四边形AMHN是平行四边形，AM平行且等于HN，

∠MHN=∠MAN；

又∵BM=AC，MH=AN=MC，

∴Rt△BMH≌Rt△ACM，

∴∠MHB=∠AMC，BH=AM；

又∵∠MAN+∠AMC=90°，

∴∠MHN+∠MHB=90°,

又∵BH=AM=HN；∴△BHN是等腰直角三角形.

∴∠HNB=45°；又∵AM//NH，∴∠BPM=∠BNH=45°.

证法二：建立坐标用向量方法来解此题，更显得方便快捷：

如图3，把C点放在坐标原点，则

A（0，b），B（a，0），

∵MB=A，C=b，CM=A，N=a-b，

CN=A，C-A，N=b-（a-b）=2b-a，

∴M（a-b，0），N（0，2b-a）

■=（b-a，b），■=（-a，2b-a）

∴根据两个向量的夹角计算公式：

cos∠MPB=■

=■

=■

∴∠MPB=45°.

由此可见，初中阶段不宜挖得太难，注重对学生数学思维方法的培养才是重中之重，随着认知水平的不断提高，复杂的问题也就变得容易多了.

编辑 鲁翠红

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