斐波那契数列的探究性学习教学设计

邱香兰

数学探究性课题学习是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程，包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。

一、斐波那契数列的探究式教学设计

（1）学情及学习任务分析。斐波那契数列是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》第37页的阅读材料，是学习完数列概念与表示方法后安排的一节课外学习内容。斐波那契数列是个较复杂的数列，有奇妙的性质，有有趣的通项公式，有广泛的应用价值。如果按教材上的安排来探究斐波那契数列，学生可能难以全面理解。因此，笔者将它放到数列这一章的末尾来学习。

（2）教学目标设计。通过了解斐波那契数列，激发学生的学习兴趣，体会抽象数学概念的实际意义；通过展示生活中的数学，让学生欣赏数学的外在美和体会数学的内在美，欣赏数学的艺术美；通过证明斐波那契数列的通项公式，体会构造法的神奇；让学生学会在现代技术条件下如何从网络上选择知识、学习知识进而解決问题。

（3）教学重点与难点。让学生全方位了解斐波那契数列是重点，证明斐波那契数列的通项公式是教学难点。

（4）教学过程设计。

①展示情景，引发问题。通过欣赏小说《达芬奇密码》片断，引起学生探究“1332211185”的欲望。

②学生自学教材，解决问题。通过自学教材内容，操作（13-3-2-21-1-1-8-5）→（1-1-2-3-5-8-13-21），学生恍然大悟，原来“1332211185”是斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，

55，……的前8项打乱排列次序之后形成的一串数。学生猜想斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，因为他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。

③小组自主探究，合作交流。分小组探究下列情景中的问题：斐波那契数列的原型——兔子繁殖问题，斐波那契数列与植物生长，斐波那契数列与动物生长，斐波那契数列与螺线。第一小组汇报。一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？（篇幅所限，图略）。第二小组汇报。一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝又可每年长出一条新枝，如此下去，十年后新枝将有多少？第三小组汇报。从蜜蜂的繁殖来看，蜜蜂的生长规律很有趣：雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化为雄蜂。人们在追溯雄蜂的祖先时，发现一只雄蜂的第n代的祖先数目刚好就是斐波那契数列的第n项Fn. （篇幅所限，雄蜂的家属结构图略）。第四小组汇报。蓟，它们的头部几乎呈球状。根据教学中出示的图片，可以看出，顺时针旋转的螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条。例如带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的斐波那契螺旋，并且顺时针和逆时针螺旋的条数恰是斐波那契数列中相邻的两项，其中顺时针的螺旋有34条，逆时针的螺旋有55条。蒲公英和松塔、蜘蛛网、水流的旋涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等，也是按照斐波那契螺旋排列的。

④抽象出斐波那契数列概念。第一、二、三组发现，若用Fn表示第n个月兔子的总对数、n年后新枝的条数、一只雄蜂的第n代的祖先数目，则可以看出斐波那契数列是一个由递推关系F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2给出的数列。第四组发现蓟顺时针旋转的与逆时针旋转的螺旋条数分别是斐波那契数列的第七项和第八项。

⑤探求斐波那契数列通项公式、前n项和公式。探究结果：通项公式为an=■[（■）n -（■）n ] ，前n项和公式Sn=■[（■）n+2 -（■）n+2 ]-1，Sn=an+2-1. 学生发现一个很有趣的事实：一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

⑥利用初等数学知识验证上述公式。教师提示学生通过构造等比数列来求斐波那契数列的通项公式。汇报结果：已知a1=1，a2=1，an=an-1+an-2.

1）首先构建等比数列。设an+αan-1=β（an-1+αan-2） ，则an=（β-α）an-1+αβan-2，比较系数可得：β-α=1，αβ=1。不妨设β > 0，α > 0，解得：α=■，β=■，即an+αan-1为等比数列。

2）求出数列an+αan-1. 由以上可得：an+1+αan=（a2+αa1）βn-1=（1+α）βn-1+βn，变形得：■+■■=■， 令bn=■，则bn+1+■bn=■。

3）求数列bn进而得到an. 设bn+1+λ=-■（bn+λ） ，解得λ=-■，故数列bn+λ为等比数列，即有bn+λ=（-■）n-1（b1+λ） ，而b1=■，故有bn+λ=（-■）n-1（■+λ）。又有bn=■，λ=-■，β-α=1，αβ=1，故有： an=-（-α）nβ-β2λ（-α）n-λβn=-β（1+βλ）（-α）n-λβn=-λ[βn-（-α）n]。又α=■，β=■，故an=■[（■） n-（■） n]，得出an 的通项公式。

⑦教师小结。今天同学探究到的仅仅是斐波那契数列的一部分知识，该数列还有很多奇妙的属性。比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比逼近黄金分割0.6180339887……其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波那契数列可在其中寻得。另有斐波那契数列的变式，比如：帕多瓦数列。

⑧练习。1）一只蜜蜂从0号蜂房开始爬，只能往比原来的房号大的蜂房爬，最后爬到9号蜂房，问有多少种不同的爬法？（2003年全国希望杯数学邀请赛） 2）有一条n级楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，要登上第n级台阶，共有几种走法？

二、教学设计的评述

本节课精心设计了斐波那契数列的探究实验活动。首先，创设数学情境，激起学生探究兴趣。其次，过渡到学生自学教材，小组自主探究，合作交流。然后，抽象出斐波那契数列的概念、通项公式、前n项和公式。最后，引导学生证明结论。另外，教师小结时，注意引导学生把探究学习从课内延伸到课外，让学生养成探究的习惯。学生在了解数学概念和结论的产生过程中，学会查询资料、收集信息、阅读文献，体验了数学研究的过程和创造的激情，提高了发现、提出、解决数学问题的能力，发挥了自己的想象力和创新精神。如果离开信息技术，便难以达到这样的教学效果。这也充分说明利用信息技术进行数学探究是很有必要的。

参考文献：

[1]教育部.高中数学课程标准（实验稿）[S].北京：人民教育出版

社，2003.

（江西萍乡学院）