数学解题中直觉思维的应用

王小莉

直觉思维同逻辑思维一样，是人的一种基本思维形式。研究表明，直觉思维在人的创造思维能力中占有举足轻重的地位。然而，在目前中学数学教学中往往偏重于演绎推理的训练，强化形式论证的逻辑的严密性，忽视了直觉思维在解题中预知导向和顿悟的作用，也失去了数学思维形成过程中直观生动的一面，这在一定范围上限制了学生思维素质的提高，与现代素质教育要求背道而驰，所以培养学生的直觉思维是中学数学教学的目标之一。本文将从直觉思维如何解决数学问题的角度来进行探讨。

一、联想和猜想开拓思路，激发直觉思维

联想是由当前感知的事物回忆起有关另一事物的心理过程。在数学思维活动中，联想可以沟通数学对象和有关知识间的联系。而联想思维是人们在认识事物的过程中，根据事物之间的某种联系，由一事物联想到另一事物的心理过程。它是一种由此及彼的思维活动。联想思维在认识活动过程中起着桥梁和纽带的作用。对于一些未知的数学知识，通过已知知识和未知知识之间的联系，从而使一些有未知知识的数学问题得以解决。在数学的具体解题过程中，通过对题设中的条件、图形特征以及求解目标分析，从而联想到有关已知的定义、定理、法则等，最终找到解题的思路和方法。本文将对在数学中运用的联想思维进行研究，包括其作用以及如何培养。

爱因斯坦认为：科学研究真正可贵的因素是直觉思维。同样，数学解题中联想灵感迸发也离不开直觉思维。对问题在作全面的思考之后，不经详尽的推理步骤，直接触及对象的本质，迅速得出预感性判断。可以说联想是灵感诱发而产生的，特别在一些问题无从下手时，就需由联想来产生解题灵感，使本来困难、受阻的题目，迎刃而解。

例：若a，b，c，d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1。

求证：-1≤ac+bd≤1，sin2α+cos2α=1。

分析：联想，令a=sinβ，b=cosβ，c=sinγ，d=cosγ，这样可以使问题可很容易得到解决。

通过以上的理论和例子我们发现，联想思维在具体的解题过程中，有着非常重要的作用。其思维方式不仅可以使很多数学题目，特别是较难的数学题目，可以通过这种思维形式得到轻而易举的解决。而这样的联想思维是在具体的学习过程中逐步培养起来的。而数学是一门有着与现实生活密切联系的学科。在日常的生活、工作以及学习中培养这种思维是无意识的，也是潜意识的。联想是产生直觉的先导。猜想则是直觉的结果，所谓直觉，信息加工的原理来看，就是将零散、孤立的信息快速联系和重组，从中产生新的有价值信息，联系和重组的能力依赖于每个人的联想空间，因此要不时地引导学生对面临的问题进行联想。

曾有人说过：在心理中，思维被看作解题活动虽然思维并不是总等于解题，但可以断言，形成最有效办法是通过解题来实现。而联想灵感是创造性思维中最富有创造性特征的重要组成部分，所以联想灵感在解题中有着不可低估的作用。再者，在中学数学的教学中对联想思维的培养是很重要的，中学数学教师在授课的同时要注重对这些思维的培养。

二、观察、数形结合，直觉思维的顿悟

已知x、y∈R，且x2+y2=4，求x+y的最大值和最小值。

这是课本上的一个习题。通过观察结合图形已知式知它表示一个以原点为圆心，以２为半径的圆（如图2-1），于是问题转化为当点（x，y）在圆上运动时，x+y=b在y轴上的截距b的最值问题。再借助于图形进一步观察，可得结论：当且仅当直线x+y=b运动到l1位置与圆相切时，取得最大值；运动到l2位置与圆相切时，取得最小值，由此不难求得x+y的最大值为2，最小值为－2。

三、类比、对比，直觉思维的桥梁

类比的特性是：两个对象的某些属性是相同的，或者表面上毫无共同之处，只是在某种观点上或某一抽象层次上是相似的，它的结论不是简单的模仿、复制，而是创造性的设想。

在解题过程中，寻找解题的突破口，优化解题方法，往往离不开类比联想。类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理，它是某种类型的迁移性、相似性的推理方式。应用类比可以在两个不同的知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁。经常有这样的情况：长时间沉思圈子之外有一个信息倒起了很大的作用，触发信息的过渡，使问题得以解决。这往往得益于类比。正如康德所说：“每当理解缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进。”如在研究立体几何时，往往会得益于平面几何中的类比问题。

四、经验和规律

数学直觉思维在解题中应用较多的都是利用长期积累经验和掌握的规律，它是一种理性直觉，虽然有时抛弃了常规的推理和论证，但它又有迹可寻，决非空穴来风，有时又不受任何模式限制，思维空间的广度和深度较大较深，它就要我们具备丰富的经验和掌握常见数学规律，大胆的预测，探索解题的方向。这个经验的获得可能需要经过大量的实践才能获得。

数学直觉是具有意识的人脑对数学对象的某种直接的领悟和洞察。培养直觉思维能力是社会发展的需要，适应新时期社会对人才的需求。我们在教育的实践中认识到，在注重逻辑思维培养的同时，还应该注重对观察力、直觉力、想象力、直觉思维的培养。

（作者单位：江西省鄱阳二中）

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直觉思维同逻辑思维一样，是人的一种基本思维形式。研究表明，直觉思维在人的创造思维能力中占有举足轻重的地位。然而，在目前中学数学教学中往往偏重于演绎推理的训练，强化形式论证的逻辑的严密性，忽视了直觉思维在解题中预知导向和顿悟的作用，也失去了数学思维形成过程中直观生动的一面，这在一定范围上限制了学生思维素质的提高，与现代素质教育要求背道而驰，所以培养学生的直觉思维是中学数学教学的目标之一。本文将从直觉思维如何解决数学问题的角度来进行探讨。

一、联想和猜想开拓思路，激发直觉思维

联想是由当前感知的事物回忆起有关另一事物的心理过程。在数学思维活动中，联想可以沟通数学对象和有关知识间的联系。而联想思维是人们在认识事物的过程中，根据事物之间的某种联系，由一事物联想到另一事物的心理过程。它是一种由此及彼的思维活动。联想思维在认识活动过程中起着桥梁和纽带的作用。对于一些未知的数学知识，通过已知知识和未知知识之间的联系，从而使一些有未知知识的数学问题得以解决。在数学的具体解题过程中，通过对题设中的条件、图形特征以及求解目标分析，从而联想到有关已知的定义、定理、法则等，最终找到解题的思路和方法。本文将对在数学中运用的联想思维进行研究，包括其作用以及如何培养。

爱因斯坦认为：科学研究真正可贵的因素是直觉思维。同样，数学解题中联想灵感迸发也离不开直觉思维。对问题在作全面的思考之后，不经详尽的推理步骤，直接触及对象的本质，迅速得出预感性判断。可以说联想是灵感诱发而产生的，特别在一些问题无从下手时，就需由联想来产生解题灵感，使本来困难、受阻的题目，迎刃而解。

例：若a，b，c，d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1。

求证：-1≤ac+bd≤1，sin2α+cos2α=1。

分析：联想，令a=sinβ，b=cosβ，c=sinγ，d=cosγ，这样可以使问题可很容易得到解决。

通过以上的理论和例子我们发现，联想思维在具体的解题过程中，有着非常重要的作用。其思维方式不仅可以使很多数学题目，特别是较难的数学题目，可以通过这种思维形式得到轻而易举的解决。而这样的联想思维是在具体的学习过程中逐步培养起来的。而数学是一门有着与现实生活密切联系的学科。在日常的生活、工作以及学习中培养这种思维是无意识的，也是潜意识的。联想是产生直觉的先导。猜想则是直觉的结果，所谓直觉，信息加工的原理来看，就是将零散、孤立的信息快速联系和重组，从中产生新的有价值信息，联系和重组的能力依赖于每个人的联想空间，因此要不时地引导学生对面临的问题进行联想。

曾有人说过：在心理中，思维被看作解题活动虽然思维并不是总等于解题，但可以断言，形成最有效办法是通过解题来实现。而联想灵感是创造性思维中最富有创造性特征的重要组成部分，所以联想灵感在解题中有着不可低估的作用。再者，在中学数学的教学中对联想思维的培养是很重要的，中学数学教师在授课的同时要注重对这些思维的培养。

二、观察、数形结合，直觉思维的顿悟

已知x、y∈R，且x2+y2=4，求x+y的最大值和最小值。

这是课本上的一个习题。通过观察结合图形已知式知它表示一个以原点为圆心，以２为半径的圆（如图2-1），于是问题转化为当点（x，y）在圆上运动时，x+y=b在y轴上的截距b的最值问题。再借助于图形进一步观察，可得结论：当且仅当直线x+y=b运动到l1位置与圆相切时，取得最大值；运动到l2位置与圆相切时，取得最小值，由此不难求得x+y的最大值为2，最小值为－2。

三、类比、对比，直觉思维的桥梁

类比的特性是：两个对象的某些属性是相同的，或者表面上毫无共同之处，只是在某种观点上或某一抽象层次上是相似的，它的结论不是简单的模仿、复制，而是创造性的设想。

在解题过程中，寻找解题的突破口，优化解题方法，往往离不开类比联想。类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理，它是某种类型的迁移性、相似性的推理方式。应用类比可以在两个不同的知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁。经常有这样的情况：长时间沉思圈子之外有一个信息倒起了很大的作用，触发信息的过渡，使问题得以解决。这往往得益于类比。正如康德所说：“每当理解缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进。”如在研究立体几何时，往往会得益于平面几何中的类比问题。

四、经验和规律

数学直觉思维在解题中应用较多的都是利用长期积累经验和掌握的规律，它是一种理性直觉，虽然有时抛弃了常规的推理和论证，但它又有迹可寻，决非空穴来风，有时又不受任何模式限制，思维空间的广度和深度较大较深，它就要我们具备丰富的经验和掌握常见数学规律，大胆的预测，探索解题的方向。这个经验的获得可能需要经过大量的实践才能获得。

数学直觉是具有意识的人脑对数学对象的某种直接的领悟和洞察。培养直觉思维能力是社会发展的需要，适应新时期社会对人才的需求。我们在教育的实践中认识到，在注重逻辑思维培养的同时，还应该注重对观察力、直觉力、想象力、直觉思维的培养。

（作者单位：江西省鄱阳二中）

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直觉思维同逻辑思维一样，是人的一种基本思维形式。研究表明，直觉思维在人的创造思维能力中占有举足轻重的地位。然而，在目前中学数学教学中往往偏重于演绎推理的训练，强化形式论证的逻辑的严密性，忽视了直觉思维在解题中预知导向和顿悟的作用，也失去了数学思维形成过程中直观生动的一面，这在一定范围上限制了学生思维素质的提高，与现代素质教育要求背道而驰，所以培养学生的直觉思维是中学数学教学的目标之一。本文将从直觉思维如何解决数学问题的角度来进行探讨。

一、联想和猜想开拓思路，激发直觉思维

联想是由当前感知的事物回忆起有关另一事物的心理过程。在数学思维活动中，联想可以沟通数学对象和有关知识间的联系。而联想思维是人们在认识事物的过程中，根据事物之间的某种联系，由一事物联想到另一事物的心理过程。它是一种由此及彼的思维活动。联想思维在认识活动过程中起着桥梁和纽带的作用。对于一些未知的数学知识，通过已知知识和未知知识之间的联系，从而使一些有未知知识的数学问题得以解决。在数学的具体解题过程中，通过对题设中的条件、图形特征以及求解目标分析，从而联想到有关已知的定义、定理、法则等，最终找到解题的思路和方法。本文将对在数学中运用的联想思维进行研究，包括其作用以及如何培养。

爱因斯坦认为：科学研究真正可贵的因素是直觉思维。同样，数学解题中联想灵感迸发也离不开直觉思维。对问题在作全面的思考之后，不经详尽的推理步骤，直接触及对象的本质，迅速得出预感性判断。可以说联想是灵感诱发而产生的，特别在一些问题无从下手时，就需由联想来产生解题灵感，使本来困难、受阻的题目，迎刃而解。

例：若a，b，c，d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1。

求证：-1≤ac+bd≤1，sin2α+cos2α=1。

分析：联想，令a=sinβ，b=cosβ，c=sinγ，d=cosγ，这样可以使问题可很容易得到解决。

通过以上的理论和例子我们发现，联想思维在具体的解题过程中，有着非常重要的作用。其思维方式不仅可以使很多数学题目，特别是较难的数学题目，可以通过这种思维形式得到轻而易举的解决。而这样的联想思维是在具体的学习过程中逐步培养起来的。而数学是一门有着与现实生活密切联系的学科。在日常的生活、工作以及学习中培养这种思维是无意识的，也是潜意识的。联想是产生直觉的先导。猜想则是直觉的结果，所谓直觉，信息加工的原理来看，就是将零散、孤立的信息快速联系和重组，从中产生新的有价值信息，联系和重组的能力依赖于每个人的联想空间，因此要不时地引导学生对面临的问题进行联想。

曾有人说过：在心理中，思维被看作解题活动虽然思维并不是总等于解题，但可以断言，形成最有效办法是通过解题来实现。而联想灵感是创造性思维中最富有创造性特征的重要组成部分，所以联想灵感在解题中有着不可低估的作用。再者，在中学数学的教学中对联想思维的培养是很重要的，中学数学教师在授课的同时要注重对这些思维的培养。

二、观察、数形结合，直觉思维的顿悟

已知x、y∈R，且x2+y2=4，求x+y的最大值和最小值。

这是课本上的一个习题。通过观察结合图形已知式知它表示一个以原点为圆心，以２为半径的圆（如图2-1），于是问题转化为当点（x，y）在圆上运动时，x+y=b在y轴上的截距b的最值问题。再借助于图形进一步观察，可得结论：当且仅当直线x+y=b运动到l1位置与圆相切时，取得最大值；运动到l2位置与圆相切时，取得最小值，由此不难求得x+y的最大值为2，最小值为－2。

三、类比、对比，直觉思维的桥梁

类比的特性是：两个对象的某些属性是相同的，或者表面上毫无共同之处，只是在某种观点上或某一抽象层次上是相似的，它的结论不是简单的模仿、复制，而是创造性的设想。

在解题过程中，寻找解题的突破口，优化解题方法，往往离不开类比联想。类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理，它是某种类型的迁移性、相似性的推理方式。应用类比可以在两个不同的知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁。经常有这样的情况：长时间沉思圈子之外有一个信息倒起了很大的作用，触发信息的过渡，使问题得以解决。这往往得益于类比。正如康德所说：“每当理解缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进。”如在研究立体几何时，往往会得益于平面几何中的类比问题。

四、经验和规律

数学直觉思维在解题中应用较多的都是利用长期积累经验和掌握的规律，它是一种理性直觉，虽然有时抛弃了常规的推理和论证，但它又有迹可寻，决非空穴来风，有时又不受任何模式限制，思维空间的广度和深度较大较深，它就要我们具备丰富的经验和掌握常见数学规律，大胆的预测，探索解题的方向。这个经验的获得可能需要经过大量的实践才能获得。

数学直觉是具有意识的人脑对数学对象的某种直接的领悟和洞察。培养直觉思维能力是社会发展的需要，适应新时期社会对人才的需求。我们在教育的实践中认识到，在注重逻辑思维培养的同时，还应该注重对观察力、直觉力、想象力、直觉思维的培养。

（作者单位：江西省鄱阳二中）

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