q-Baskakov型算子的A-统计逼近

刘生贵

(嘉应学院数学学院,广东 梅州 514015)

q-Baskakov型算子的A-统计逼近

刘生贵

(嘉应学院数学学院,广东 梅州 514015)

引入一类q-Baskakov型算子,对一个非负正则可求和矩阵A,应用A-统计逼近的理论,研究了这类修正的Korovkin型统计逼近性质.对于0

统计逼近;q-Baskakov型算子;连续性模

1 引言

Baskakov算子在逼近论及其应用中有着重要的地位,它的各种变形也被人们广泛的研究[14].近年来,因q积分研究的深入,与q积分相关的推广的Bernstein多项式的研究也开始备受关注.

首先给出文中所需的关于q分析的一些记号.设q>0,对任给非负整数k,q-阶乘[k]q!定义如下:

设n,k都是整数,n≥k≥0,q-二项式或Gaussian系数定义为:

记

文献[5]中,Aral定义一类q-Baskakov算子如下:设n∈N,f∈C[0,∞],

显然,q=1时算子Bn(f,q;x)即为熟知的Baskakov算子,

若0

定理A对固定的a>0和足够大的n,设{qn}为满足的序列,若f∈CM[0,a],则

定理A表明,对任给f∈C[0,1],算子列Bn(f;qn;x)一致收敛于f当且仅当qn=1.

近年来,线性算子的统计逼近被逐步引入逼近论领域[69].把统计收敛的理念引入到逼近论领域大大促进了逼近论的发展,特别是Ces`aro型矩阵可求和方法有力弥补了各类线性算子(例如Hermite-Fej´er插值算子)收敛性质上的不足,因为这些算子在那些简单的不连续点上并不收敛[1011].A-统计收敛在非收敛正线性算子的求和上显得更为有效[79].

设{xn}n∈N是一个数字序列,如果对任给ε>0,有

则称{xn}n∈N统计收敛于数M.这里♯B表示集合B的基数[1213].{xn}n∈N统计收敛于数M记为:

设A=(ajn)是一个无限的可求和矩阵,记x=(xn),如果对每一个j,

收敛,则记关于x=(xn)的A变换为Ax:=(Ax)j.称矩阵A正则的,如果当时,有(参见文献[14]).

例如,定义Ces`aro矩阵C1=(cjn)如下:

则C1就是一个正则矩阵.设A是非负可求和的正则矩阵,Freedman和Sember[15]引入了A-统计收敛,它是一种更为一般的统计收敛.称序列(xn)n∈NA-统计收敛到M,如果满足对任给ε>0,式子

成立.A-统计收敛到M记为

若将A用单位矩阵代替,则A-统计收敛就是普通意义的收敛.不难看出,如果取 A=C1,则C1-统计收敛就是上面所提到的统计收敛,即对任给的非负的正则矩阵,每一个收敛列A-统计收敛于同一值,但它的逆命题不成立.特别,Kolk[16]已经证得,当非负正则矩阵A=(ajn)满足条件时,A-统计收敛强于普通意义的收敛.

本文定义一类q-Baskakov型算子如下.设0

将研究这类新算子A-统计逼近的性质.借助光滑模,讨论A-统计逼近收敛速度的估计.进一步证明,这类q-Baskakov型算子算子的收敛速度要优于算子

2 算子的A-统计逼近

先给以下两个引理.

引理 2.1设n∈N,0

证明由下面的等式

通过简单计算可得(4)式成立.

另一方面,因为

所以

为了方便,本文中记I:=[0,∞),C(I):={f:f为在区间I上的连续的实值函数},

? CB(I):={f:f为I上的有界连续函数}.空间Hω是定义在区间I上且满足

的实值函数f所组成的集合.其中ω为如下定义的连续模.设f∈C(I),任给δ>0,

显然Hω中的函数在I中连续且有界.

引理2.2 [17]设A=(ajn)是一个非负可求和的正则矩阵,{Ln}是从Hω到CB(I)的正线性算子序列,则对任意f∈Hω,有

如果满足

定理2.1设A=(ajn)是一个非负正则可求和矩阵,{qn}是一个在区间(0,1]上的序列,且满足

则对任意f∈Hω,有

证明由(4)式,有

对给定的ε>0,定义如下集合:

由(10)式知S⊆S∗,则对每一个j∈N,有

在(10)式中令j→∞,并注意到(8)式,有

则

最后,由(6)式,可得

由(8)式,有

定义如下集合:

得U⊆U∪U.因此,对所有j∈N,有

12

令j→∞,可得

由引理2.2,及(9),(11)和(13)式,命题得证.

注 2.1事实上,可以构造序列{qn}满足(8)式.例如,设

显然A=(ajn)是一个正则矩阵.对α>1,定义序列{qn}如下:

则有stA−limnqnn=1,但是序列{qnn}在普通意义下并不收敛.另一方面,若n/=m2,则不难得出

3 A-统计逼近的收敛速度估计

引理 3.1对n∈N,0

其中ei(t)=ti,i=0,1,2.由光滑模的性质,对λ,t>0,ω(f,λt)≤(1+λ)ω(f,t)得

证明由(7)式易得(15)式.下面证明(16)式.

最后,由等式[k]2q=[k]q(q[k−1]q+1)可得,

注3.1显然,由引理3.1,若 则

定理 3.1设n∈N,f∈Hω,{qn}是一满足0

其中

证明因为算子是正线性算子,对任给x∈[0,∞),有

由(14)式,对任意δ>0,有

由正线性算子的Cauchy-Schwarz不等式,可得

由(15)-(17)式,得

注3.2若{qn}满足(8)式,有

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A-statistical approximation of q-Baskakov type operators

Liu Shenggui
(School of Mathematics,Jiaying University,Meizhou 514015,China)

In this paper,the q-Baskakov type operators are introduced.And we investigate the Korovkin type statistical approximation properties of these operators via A-statistical approximation.For 0

statistical approximation,q-Baskakov type operators,modulus of continuity

0174.41

A

1008-5513(2014)04-0367-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.006

2013-12-17.

国家自然科学基金(11001107).

刘生贵(1974-),硕士,讲师,研究方向：函数逼近论.

2010 MSC:41A10,41A36