基于子空间辨识的压电悬臂梁振动控制研究

缑新科+李冬冬+陈卓+王能才

摘 要： 针对柔性结构的振动普遍存在复杂性、非线性和建模难的特点，跳过了复杂的机械?电压建模，基于子空间系统辨识方法的基本算法和特点，设计出抑制悬臂梁振动的一种最优控制器，并在算法实现、算法性能方面进行了仿真和实时控制实验。实验结果表明，算法在提高系统辨识精度，降低计算量等方面都有显著提高，控制效果比较理想。

关键字： 压电悬臂梁； 振动主动控制； 子空间辨识； LQG控制器

中图分类号： TN911?34； TP273 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）14?0001?04

Study on vibration control of piezoelectric cantilever beam

based on subspace identification

GOU Xin?ke， LI Dong?dong， CHEN Zhuo， WANG Neng?cai

（College of Electrical and Information Engineering， Lanzhou University of Technology， Lanzhou 730050， China）

Abstract： As the vibration of the flexible structure is generally non?linear， complex， and difficult to model， an optimal controller to suppress the vibration of the cantilever beam was designed based on the basic algorithm and characteristics of subspace system identification method， instead of the complex mechanical?voltage modeling. The simulation and real?time control experiments were carried out in the aspects of implementation and algorithm performance. The experimental results show that the algorithm has significant improvements in improving the accuracy of systems identification， reducing the amount of calculation， and enhancing the control effect.

Keywords： piezoelectric cantilever beam； active vibration control； subspace identification； LQG controller

0 引 言

柔性材料在干扰下易于发生不必要的振动，以压电材料作为传感器和执行器的压电智能结构振动主动控制技术是当前振动工程研究的热点之一。

振动主动控制的研究主要集中为系统建模、控制律设计两方面。系统建模的方法主要有机理建模和实验建模。机理建模是指通过有限元方法建立结构的数学模型，其能够给出结构的基本模态形式，但是计算量大，而且对于大型复杂结构而言，很难进行在线调整[1]。系统辨识建模是用观测系统的输入/输出数据来建立系统数学模型的一种方法，可分为频域辨识和时域辨识[2]。

子空间辨识就是时域系统辨识方法中很有代表性的一种新算法，由于子空间方法在辨识中对模型结构先验知识需求较少，不需要参数化[3]。而且算法的实现仅依赖于一些简单可靠的线性代数工具，需要迭代优化，因此运算速度较快，也保证了数值的鲁棒性[4]。

本文采用子空间辨识算法对压电悬臂梁振动系统进行建模，并将模型辨识与控制器设计统一起来考虑，从而跳过系统模型参数的估计，直接运用RQ分解的方法得出Kalman滤波状态，进而设计出线性二次型高斯最优控制器。

1 压电悬臂梁结构

压电悬臂梁的结构图如图1所示，其中悬臂梁采用杨氏模量为135 GPa，密度[2.7 g/cm3]的金属梁，一端固定在支架上，梁长350 mm，宽20 mm，厚2 mm。采用6片压电聚合物（PVDF）薄膜作为传感/驱动元件，分别粘贴于悬臂梁的上下两侧。

使用ABAQUS软件对悬臂梁进行有限元建模模态分析，得到如图2所示的悬臂梁前二阶振型曲线，图2（a）所示为一阶振型，其频率为[f1=11.4 Hz]；图2（b）为二阶振型，频率[f2=69.5 Hz]。从图中可以看出，悬臂梁振动特性中起到主要作用的是其振型中的一阶模态。一阶振型的最大应变处靠近悬臂梁的固定端，二阶振型的最大应变处位于距离固定端160 mm处。

图1 压电悬臂梁结构图

图2 悬臂梁前二阶振型曲线

2 子空间系统辨识建模

在系统的不同数学描述形式中，状态空间模型在现代系统理论中最为常用，与其他模型相比，状态空间模型不仅能够反应系统的外部关系，更能揭示系统的内部特性，尤其对于多输入多输出系统，根据状态空间模型能够方便有效地进行系统分析和设计[5]。

子空间辨识方法的核心即得到广义可观测矩阵或者状态序列的估计值，然后利用上述信息求解系统状态空间模型[6]。之所以称之为子空间方法，是因为系统的状态空间模型矩阵可以从特定矩阵的行或者列空间中获得，而这些特定矩阵是由系统的输入/输出数据通过一定的计算得到[7]。对于未知的[n]阶MIMO系统，给定系统输入测量值[u∈Rm]和输出测量值[y∈Rl]，其状态空间方程的一般确定性随机形式可表示如下：

[xk+1=Axk+Buk+wk] （1）

[yk=Cxk+Duk+vk] （2）

并且满足条件：

[EwivjwiTvjT=QSSTRδpq≥0] （3）

其中：[A∈Rn×n]，[B∈Rn×m]，[C∈Rn×l]，[D∈Rl×l]，[Q∈Rn×n]，[S∈Rn×l]，[R∈Rl×l]均为常数矩阵；噪声协方差矩阵中的[wk∈Rn]和[vk∈Rn]为不可测量向量信号，[wk]称为过程噪声，[vk]称为测量噪声，均为零均值的白噪声；[δpq]为Kronecker算子。

式（1）、式（2）可以写成下面的稳态Kalman滤波器形式：

[xk+1=Axk+Buk+Kek] （4）

[yk=Cxk+Duk+ek] （5）

式中：K为Kalman滤波器增益；[ek]为测量余量。将输入数据构造成如下形式的块 Hankel 矩阵：

[U=U02i-1=u0u1u2…uj-1u1u2u3…uj?????ui-1uiui+1…ui+j-2uiui+1ui+2…ui+j-1ui+1ui+2ui+3…ui+j?????u2i-1u2iu2i+1…u2i+j-2] （6）

且令[Up=defU0i-1]，[Uf=defUi2i-1]，相应地，输入/输出方程可写成下述形式：

[Yp=ΓiXp+HdiUp+HsiEp] （7）

[Yf=ΓiXf+HdiUf+HsiEf] （8）

[Xf=AiXf+ΔdiUp+HsiEp] （9）

式中：[Δdi]为逆广义可控矩阵；[Γi]为广义可观矩阵，其定义为：

[Γi=CCACA2 ?CAi-1∈Rli×n] （10）

[Hdi]，[Hsi]为Toeplitz下三角矩阵，如下：

[Hdi=D00…0CΓD0…0CΦΓCΓD…0?????CΦi-2ΓCΦi-3ΓCΦi-4Γ…0] （11）

[Hsi=ΛiΛi-1Λi-2…Λ1Λi+1ΛiΛi-1…Λ2Λi+2Λi+1Λi…Λ3?????Λ2i-1Λ2i-2Λ2i-3…Λi] （12）

子空间辨识可以理解为：给定过去的输入/输出[Wp]，将来的输入[Uf]，寻找将来输出[Yf] 的最优预测[Yf]，即：

[Yf=LwWp+LuUf] （13）

式中：[Wp=YpUp]，而[Lw]，[Lu]为子空间预测器参数。

一般而言，子空间辨识建模包含三个基本步骤[8]：

（1） 运用RQ分解计算输入/输出数据分块 Hankel 矩阵的行空间映射，并从这一映射中得到[ΓiXf]。

（2） 再进行 SVD 分解得到系统的可观矩阵[Γi] 或者Kalman滤波状态序列[Xf]，以及系统阶次[n]。

（3） 通过最小二乘法确定系统矩阵[A]，[B]，[C]，[D]。

3 振动控制器的设计

设计线性二次型高斯最优控制器的实质是寻找最优输入[uf]，使得二次型性能指标函数最小[9]：

[J=k=0∞ykTQkyk+ukTRkuk] （14）

式中：[yk]为系统第[k]步预测输出；[Qk]和[Rk]分别为系统输出和控制输入加权矩阵。

通常情况下，在没有获取被控对象的状态空间模型前，要设计一个线性二次型高斯最优控制器通常都需要三个步骤[10]：

（1） 根据输入/输出数据进行系统辨识建模；

（2） 计算系统的最优状态估计，进行 Kalman 滤波器设计；

（3） 计算最优控制律。

从第2节中可以看出，子空间辨识的一个重要特点就是系统的Kalman滤波状态可以在完全没有系统参数的情况下估计出来。所以，本文直接通过将输入/输出方程进行一系列的线性运算设计出LQG控制器。

定义将来输入/输出序列[yf]，[uf]分别为：

[yf=y1y2…yiT] （15）

[uf=u1u2…uiT] （16）

则式（14）可以改写为：

[J=yTfQyf+uTfRuf] （17）

由式（13）可知：

[yf=Lwwp+Luu] （18）

将式（18）带入式（17）中，可得：

[J=Lwwp+LuuTQLwwp+Luu+uTfRuf] （19）

式中：[wp=ypup]，而[up]，[yp]分别为前[i]个输入/输出数据：

[up=u-i-1…u-1u0T] （20）

[yp=y-i-1…y-1y0T] （21）

求解[?J?uf=0]，可得LQG最优控制器的控制律为：

[uf=-R+LTuQLu-1LTuQLwwp] （22）

从而，可以得出基于子空间辨识的LQG最优控制器的设计步骤主要为：

（1） 运用被控对象的输入/输出数据构建输入/输出数据分块 Hankel 矩阵：[Up]，[Uf]，[Yp]，[Yf]，[Wp]。

（2） 对[WpUfYfT]进行 RQ 分解，计算出R因子：

[WpUfYf=R1100R21R220R31R32R33QT1QT2QT3] （23）

（3） 计算[L]，并推导出子空间预测器参数[Lw]，[Lu]：

[L=R31R32R110R21R22] （24）

[Lw=L：，1：im+l] （25）

[Lu=L：，im+l+1：end] （26）

（4） 构建控制器输入[wpk]；

（5） 计算控制律序列[uf]：

[uf=-R+LTuQLu-1LTuQLwwp] （27）

（6） 提取控制序列[uf]的第一个控制输出[uk+1]，并测量系统的输出[yk+1]，如此往复循环。

4 实验仿真结果

为了检验上述建模和控制器设计方法在压电悬臂梁振动主动控制中的有效性和合理性，本文搭建了实验平台进行了实时控制实验。

系统的硬件主要由悬臂梁、激振器、PVDF压电传感薄膜、PVDF压电作动薄膜、电荷放大器、数据采集卡、计算机、压电驱动功率放大器等仪器组成，其中数据采集卡采用NI公司的USB?6353数据采集卡，完全可以保证数据采集的精确性和实时性，并且通过USB接口直接与计算机连接通信。如图3所示。

图3 压电悬臂梁振动控制系统原理框图

在软件方面，采用LabVIEW 2013集成开发环境进行振动信号跟踪、存储及设计控制程序，它不仅能大大的缩短整个控制系统的开发周期，而且还提供了Real?Time模块，可以有效解决Window操作系统弱实时性的问题。

实验中，以粘贴在悬臂梁根部的压电传感器测得的信号来表征悬臂梁的振动状态。图4表示的是悬臂梁在持续激振下，在第2 s时刻，施加本文所述的振动控制律之后的振动信号波形。而图5所示振动波形则是利用机理建模建立的系统前两阶振动模态，施加基于 LMS 算法的自适应滤波前馈抵消控制律之后的振动波形。

图4 基于子空间辨识算法的振动控制过程图

图5 基于机理建模的振动控制过程图

对比图4、图5所示的的控制效果，可以看出，在施加控制律之后，本文所设计的控制方法，收敛速度略慢，这是由于基于子空间方法的 LQG 控制器是直接运用被控对象实物的输入输出数据来进行设计的，而且它每产生一个控制信号都需要进行一定的 QR 分解和 SVD 分解运算。但是图4中振动稳定后的振动抑制效果更好，误差较小，这表明本文所设计的方法建模精度更高。

图6表示的是对悬臂梁施加振动控制前后结构响应的功率谱分析。图中虚线表示的是控制前的振动功率谱，实线表示的控制后功率谱，可以看出，控制后功率谱峰值比控制前下降了60%左右，各个该模态的振动都得到了较好的抑制。

5 结 语

本文提出一种基于子空间辨识算法而设计的压电悬臂梁振动线性二次型高斯最优控制器，将系统辨识和控制器设计统一起来考虑，相比较与传统方法，在降低计算量方面有很大提高。实验结果表明，本文所设计的振动控制器能够大幅度的提高柔性智能梁的阻尼，使其振动在短时间内迅速衰减，控制效果比较理想。

图6 控制前后功率谱比较

参考文献

[1] 邹涛，丁宝苍，张端.模型预测控制工程应用导论[M].北京：化学工业出版社，2010.

[2] 潘立登.系统辨识与建模[M].北京：化学工业出版社，2004.

[3] 罗小锁，丁宝苍，邹涛.基于在线子空间辨识的自适应预测控制[J].化工自动化及仪表，2010（10）：10?13.

[4] 罗小锁，周国清，邹涛.基于子空间辨识的状态空间模型预测控制[J].计算机工程与应用，2012（19）：238?241.

[5] 王建宏，王道波.子空间预测控制算法在主动噪声振动中的应用[J].振动与冲击，2011（10）：136?142.

[6] 缑新科，李大鹏.压电自感知柔性悬臂梁振动控制系统研究[J].压电与声光，2011（5）：81?84.

[7] 陈震，薛定宇，郝丽娜，等.压电智能悬臂梁主动振动最优控制研究[J].东北大学学报，2011（11）：32?35.

[8] 刘庆华，欧阳缮.压电结构系统辨识中的迭代子空间跟踪法[J].振动与冲击，2013（5）：52?57.

[9] YAMADAA K， MATSUHISA H， UTSUNO H. A new method for accurately determining the modal equivalent stiffness ratio of bonded piezoelectric structures [J]. Sound Vibrat， 2012， 331（14）： 17?44.

[10] WARMINSKI J， BOCHENSKI M. Active suppression of nonlinear composite beam vibrations by selected control algorithms [J]. Nonlinear Sciences and Numerical Simulation， 2011， 16（5）： 2237?2248.

[11] 李德亮，韩安明.柔性机械臂有限时问控制器设计与仿真实现[J].现代电子技术，2012，35（14）：106?108.

[Lu=L：，im+l+1：end] （26）

（4） 构建控制器输入[wpk]；

（5） 计算控制律序列[uf]：

[uf=-R+LTuQLu-1LTuQLwwp] （27）

（6） 提取控制序列[uf]的第一个控制输出[uk+1]，并测量系统的输出[yk+1]，如此往复循环。

4 实验仿真结果

为了检验上述建模和控制器设计方法在压电悬臂梁振动主动控制中的有效性和合理性，本文搭建了实验平台进行了实时控制实验。

系统的硬件主要由悬臂梁、激振器、PVDF压电传感薄膜、PVDF压电作动薄膜、电荷放大器、数据采集卡、计算机、压电驱动功率放大器等仪器组成，其中数据采集卡采用NI公司的USB?6353数据采集卡，完全可以保证数据采集的精确性和实时性，并且通过USB接口直接与计算机连接通信。如图3所示。

图3 压电悬臂梁振动控制系统原理框图

在软件方面，采用LabVIEW 2013集成开发环境进行振动信号跟踪、存储及设计控制程序，它不仅能大大的缩短整个控制系统的开发周期，而且还提供了Real?Time模块，可以有效解决Window操作系统弱实时性的问题。

实验中，以粘贴在悬臂梁根部的压电传感器测得的信号来表征悬臂梁的振动状态。图4表示的是悬臂梁在持续激振下，在第2 s时刻，施加本文所述的振动控制律之后的振动信号波形。而图5所示振动波形则是利用机理建模建立的系统前两阶振动模态，施加基于 LMS 算法的自适应滤波前馈抵消控制律之后的振动波形。

图4 基于子空间辨识算法的振动控制过程图

图5 基于机理建模的振动控制过程图

对比图4、图5所示的的控制效果，可以看出，在施加控制律之后，本文所设计的控制方法，收敛速度略慢，这是由于基于子空间方法的 LQG 控制器是直接运用被控对象实物的输入输出数据来进行设计的，而且它每产生一个控制信号都需要进行一定的 QR 分解和 SVD 分解运算。但是图4中振动稳定后的振动抑制效果更好，误差较小，这表明本文所设计的方法建模精度更高。

图6表示的是对悬臂梁施加振动控制前后结构响应的功率谱分析。图中虚线表示的是控制前的振动功率谱，实线表示的控制后功率谱，可以看出，控制后功率谱峰值比控制前下降了60%左右，各个该模态的振动都得到了较好的抑制。

5 结 语

本文提出一种基于子空间辨识算法而设计的压电悬臂梁振动线性二次型高斯最优控制器，将系统辨识和控制器设计统一起来考虑，相比较与传统方法，在降低计算量方面有很大提高。实验结果表明，本文所设计的振动控制器能够大幅度的提高柔性智能梁的阻尼，使其振动在短时间内迅速衰减，控制效果比较理想。

图6 控制前后功率谱比较

参考文献

[1] 邹涛，丁宝苍，张端.模型预测控制工程应用导论[M].北京：化学工业出版社，2010.

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[11] 李德亮，韩安明.柔性机械臂有限时问控制器设计与仿真实现[J].现代电子技术，2012，35（14）：106?108.

[Lu=L：，im+l+1：end] （26）

（4） 构建控制器输入[wpk]；

（5） 计算控制律序列[uf]：

[uf=-R+LTuQLu-1LTuQLwwp] （27）

（6） 提取控制序列[uf]的第一个控制输出[uk+1]，并测量系统的输出[yk+1]，如此往复循环。

4 实验仿真结果

为了检验上述建模和控制器设计方法在压电悬臂梁振动主动控制中的有效性和合理性，本文搭建了实验平台进行了实时控制实验。

系统的硬件主要由悬臂梁、激振器、PVDF压电传感薄膜、PVDF压电作动薄膜、电荷放大器、数据采集卡、计算机、压电驱动功率放大器等仪器组成，其中数据采集卡采用NI公司的USB?6353数据采集卡，完全可以保证数据采集的精确性和实时性，并且通过USB接口直接与计算机连接通信。如图3所示。

图3 压电悬臂梁振动控制系统原理框图

在软件方面，采用LabVIEW 2013集成开发环境进行振动信号跟踪、存储及设计控制程序，它不仅能大大的缩短整个控制系统的开发周期，而且还提供了Real?Time模块，可以有效解决Window操作系统弱实时性的问题。

实验中，以粘贴在悬臂梁根部的压电传感器测得的信号来表征悬臂梁的振动状态。图4表示的是悬臂梁在持续激振下，在第2 s时刻，施加本文所述的振动控制律之后的振动信号波形。而图5所示振动波形则是利用机理建模建立的系统前两阶振动模态，施加基于 LMS 算法的自适应滤波前馈抵消控制律之后的振动波形。

图4 基于子空间辨识算法的振动控制过程图

图5 基于机理建模的振动控制过程图

对比图4、图5所示的的控制效果，可以看出，在施加控制律之后，本文所设计的控制方法，收敛速度略慢，这是由于基于子空间方法的 LQG 控制器是直接运用被控对象实物的输入输出数据来进行设计的，而且它每产生一个控制信号都需要进行一定的 QR 分解和 SVD 分解运算。但是图4中振动稳定后的振动抑制效果更好，误差较小，这表明本文所设计的方法建模精度更高。

图6表示的是对悬臂梁施加振动控制前后结构响应的功率谱分析。图中虚线表示的是控制前的振动功率谱，实线表示的控制后功率谱，可以看出，控制后功率谱峰值比控制前下降了60%左右，各个该模态的振动都得到了较好的抑制。

5 结 语

本文提出一种基于子空间辨识算法而设计的压电悬臂梁振动线性二次型高斯最优控制器，将系统辨识和控制器设计统一起来考虑，相比较与传统方法，在降低计算量方面有很大提高。实验结果表明，本文所设计的振动控制器能够大幅度的提高柔性智能梁的阻尼，使其振动在短时间内迅速衰减，控制效果比较理想。

图6 控制前后功率谱比较

参考文献

[1] 邹涛，丁宝苍，张端.模型预测控制工程应用导论[M].北京：化学工业出版社，2010.

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[9] YAMADAA K， MATSUHISA H， UTSUNO H. A new method for accurately determining the modal equivalent stiffness ratio of bonded piezoelectric structures [J]. Sound Vibrat， 2012， 331（14）： 17?44.

[10] WARMINSKI J， BOCHENSKI M. Active suppression of nonlinear composite beam vibrations by selected control algorithms [J]. Nonlinear Sciences and Numerical Simulation， 2011， 16（5）： 2237?2248.

[11] 李德亮，韩安明.柔性机械臂有限时问控制器设计与仿真实现[J].现代电子技术，2012，35（14）：106?108.