浅谈函数定义域的重要性

周霞

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域看似简单，然而在解决问题中如果不加以注意，常常会走入误区。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=x(50-x)，故函数关系式为：S=x(50-x)。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。否则思维缺乏严密性。

二、函数最值（极值）与定义域

函数的最值（极值）是指函数在给定的定义域区间上取到最大（小）值（极大（小）值）的问题。如果不注意定义域，将会导致最值（极值）的错误。如：

例2：求函数y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值。

解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴当x=1时，ymin=-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照定义域为R，求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生了变化。

对二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，在指定的定义域区间[p,q]上，它的最值应分如下情况：

（1）当-■q时，y=f(x)在[p,q]上单调递减，函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；（3）当p≤-■≤q时，y=f(x)在[p,q]上最值情况是：f(x)min=f(-■)=■，f(x)max=max{f(p),f(q)}，即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

∵-2≤1≤5 ∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=3 f(5)=52-2×5-3=12 ∴f(x)max-max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

∴函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，数形结合才可以解决问题。

解决求函数极值问题，情形类似，不再赘述。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：x∈-■,■,求函数y=2sin(2x+■)的值域.

错解：值域y∈[-2，2]

正解：设t=2x+■,-■≤x≤■，0≤2x+■≤■，即0≤t≤■，在0≤t≤■上，-■≤sint≤1，所以，-■≤y≤2

函数值域为[-■,2]

剖析：如果没有分析定义域，不注意换元后变量的取值范围，很容易出现错误。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，单调性是函数的局部性质，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：指出函数f(x)=log2(x2+2x)的单调区间。

解：先求定义域：

∵x2+2x>0,∴x>0或x<-2

∴函数定义域为(-∞，-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上时，u为减函数，

在x∈(0,+∞)上时，u为增函数。

又∵f(x)=log2u在[0，+∞）是增函数，

∴函数f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数。即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间(0,+∞)，单调递减区间是(+∞,-2)。

本题需要在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，否则就是对函数单调性的概念一知半解，没有理解。教师在指导学生做练习或作业时，不能只套用同增异减原则，而不去让领会解题方法的实质，否则学生的数学思维很难打开。

五、函数奇偶性与定义域

笔者在教学中总结函数奇偶性的判断时，总是强调“一个前提”：考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。如：

例5：判断函数y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．

解：∵2∈[-1,3]而-2?埸[-1,3]

∴定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称

∴函数y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函数。

如果不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) ∴函数y=x3,x∈[-1,3]是奇函数．

错误剖析：以上错误是在没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能重视分析函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的数学思维能力。

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域看似简单，然而在解决问题中如果不加以注意，常常会走入误区。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=x(50-x)，故函数关系式为：S=x(50-x)。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。否则思维缺乏严密性。

二、函数最值（极值）与定义域

函数的最值（极值）是指函数在给定的定义域区间上取到最大（小）值（极大（小）值）的问题。如果不注意定义域，将会导致最值（极值）的错误。如：

例2：求函数y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值。

解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴当x=1时，ymin=-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照定义域为R，求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生了变化。

对二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，在指定的定义域区间[p,q]上，它的最值应分如下情况：

（1）当-■q时，y=f(x)在[p,q]上单调递减，函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；（3）当p≤-■≤q时，y=f(x)在[p,q]上最值情况是：f(x)min=f(-■)=■，f(x)max=max{f(p),f(q)}，即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

∵-2≤1≤5 ∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=3 f(5)=52-2×5-3=12 ∴f(x)max-max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

∴函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，数形结合才可以解决问题。

解决求函数极值问题，情形类似，不再赘述。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：x∈-■,■,求函数y=2sin(2x+■)的值域.

错解：值域y∈[-2，2]

正解：设t=2x+■,-■≤x≤■，0≤2x+■≤■，即0≤t≤■，在0≤t≤■上，-■≤sint≤1，所以，-■≤y≤2

函数值域为[-■,2]

剖析：如果没有分析定义域，不注意换元后变量的取值范围，很容易出现错误。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，单调性是函数的局部性质，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：指出函数f(x)=log2(x2+2x)的单调区间。

解：先求定义域：

∵x2+2x>0,∴x>0或x<-2

∴函数定义域为(-∞，-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上时，u为减函数，

在x∈(0,+∞)上时，u为增函数。

又∵f(x)=log2u在[0，+∞）是增函数，

∴函数f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数。即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间(0,+∞)，单调递减区间是(+∞,-2)。

本题需要在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，否则就是对函数单调性的概念一知半解，没有理解。教师在指导学生做练习或作业时，不能只套用同增异减原则，而不去让领会解题方法的实质，否则学生的数学思维很难打开。

五、函数奇偶性与定义域

笔者在教学中总结函数奇偶性的判断时，总是强调“一个前提”：考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。如：

例5：判断函数y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．

解：∵2∈[-1,3]而-2?埸[-1,3]

∴定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称

∴函数y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函数。

如果不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) ∴函数y=x3,x∈[-1,3]是奇函数．

错误剖析：以上错误是在没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能重视分析函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的数学思维能力。

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域看似简单，然而在解决问题中如果不加以注意，常常会走入误区。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=x(50-x)，故函数关系式为：S=x(50-x)。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。否则思维缺乏严密性。

二、函数最值（极值）与定义域

函数的最值（极值）是指函数在给定的定义域区间上取到最大（小）值（极大（小）值）的问题。如果不注意定义域，将会导致最值（极值）的错误。如：

例2：求函数y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值。

解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴当x=1时，ymin=-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照定义域为R，求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生了变化。

对二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，在指定的定义域区间[p,q]上，它的最值应分如下情况：

（1）当-■q时，y=f(x)在[p,q]上单调递减，函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；（3）当p≤-■≤q时，y=f(x)在[p,q]上最值情况是：f(x)min=f(-■)=■，f(x)max=max{f(p),f(q)}，即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

∵-2≤1≤5 ∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=3 f(5)=52-2×5-3=12 ∴f(x)max-max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

∴函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，数形结合才可以解决问题。

解决求函数极值问题，情形类似，不再赘述。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：x∈-■,■,求函数y=2sin(2x+■)的值域.

错解：值域y∈[-2，2]

正解：设t=2x+■,-■≤x≤■，0≤2x+■≤■，即0≤t≤■，在0≤t≤■上，-■≤sint≤1，所以，-■≤y≤2

函数值域为[-■,2]

剖析：如果没有分析定义域，不注意换元后变量的取值范围，很容易出现错误。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，单调性是函数的局部性质，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：指出函数f(x)=log2(x2+2x)的单调区间。

解：先求定义域：

∵x2+2x>0,∴x>0或x<-2

∴函数定义域为(-∞，-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上时，u为减函数，

在x∈(0,+∞)上时，u为增函数。

又∵f(x)=log2u在[0，+∞）是增函数，

∴函数f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数。即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间(0,+∞)，单调递减区间是(+∞,-2)。

本题需要在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，否则就是对函数单调性的概念一知半解，没有理解。教师在指导学生做练习或作业时，不能只套用同增异减原则，而不去让领会解题方法的实质，否则学生的数学思维很难打开。

五、函数奇偶性与定义域

笔者在教学中总结函数奇偶性的判断时，总是强调“一个前提”：考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。如：

例5：判断函数y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．

解：∵2∈[-1,3]而-2?埸[-1,3]

∴定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称

∴函数y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函数。

如果不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) ∴函数y=x3,x∈[-1,3]是奇函数．

错误剖析：以上错误是在没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能重视分析函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的数学思维能力。