高维四轮转向汽车侧向动力学系统的稳定性分析

刘春辉，方 沂，杜 峰

（天津职业技术师范大学汽车与交通学院，天津 300222）

目前，汽车主动安全的研究越来越重要，四轮转向在这种背景下引起了广泛的关注[1-2]。但是，大量研究成果以两自由度线性车辆模型为基础，对于四轮转向汽车转向稳定性的非线性研究还尚不完善。四轮转向汽车模型的非线性主要是指轮胎的非线性。当前，经验—半经验轮胎模1型（魔术公式、Duggof模型等）被广泛应用[3-5]，它们很好地拟合了轮胎的各种非线性力，但利用它们进行解析分析的还很少。利用解析方法对四轮转向失稳的研究还很不够[6]。

本文以二次多项式平方轮胎模型作为建立四轮转向高维非线性动力学模型的基础，应用中心流形定理进行降维，将高维四轮转向动力系统转化为一维系统，研究四轮转向汽车发生分岔的条件及类型，并进行时域仿真。

1 四轮转向汽车动力学模型

四轮转向汽车动力学模型如图1所示。

图1 四轮转向汽车动力学模型图

动力学模型的微分方程表示为[7]：

式中：m为车辆质量；ms为悬挂质量；β为质心侧偏角；v为速度；r为横摆角速度；φ为质心侧偏角；Izz为汽车关于横摆轴的转动惯量；Fy(f，l)、Fy(f，r)、Fy(r，l)、Fy(r，r)为前左、前右、后左、后右轮的地面侧向反作用力；Ixx为汽车关于侧倾轴的转动惯量；Kφ为侧倾刚度；Cφ为侧倾阻尼；h为悬挂质量质心到侧倾轴的距离；M为附加横摆力矩；lf为质心到前轴的距离；lr为质心到后轴的距离。

二次多项式平方轮胎模型[7]表示为：

其中，

式中：Fi为转向力；Fzi为正压力；Ci为侧偏刚度；Cj1、Cj2为经验系数；αi为侧偏角；μi为附着系数。

令一根车轴上左右轮胎的侧偏角相同，即αfl=αfr=αf，αrl= αrr= αr，前后轴的侧偏角 αf、αr可近似表示为：

汽车转向时侧倾力矩在前后轴上的分布表示为：

考虑侧向载荷转移的轮胎垂直载荷的变化可表示为：

假设左右轮胎的附着系数不同并分别用μl和μr表示。令和 θ =，（1）、（2）、（3）可写为：

具体表示为：

式中：a11、a12、…、a19，a21、a22，a23、a24、…、a27，a41、a42、…、a49的具体形式均可计算求得。

2 非线性稳定性临界状态分析

若平衡点满足det（L）=0，则平衡点为奇异点，奇异点处系统发生分岔[8]。

四轮转向汽车的前轮转向角δf和车速v是影响转向稳定性的主要参数。代入四轮转向汽车结构参数求解式（17），可得到不同比例系数、不同车速对应的临界前轮转角，如图2和图3所示。

计算中选取的后轮转角表示为：

图2 bl—δf临界参数平面

图3 v—δf临界参数平面

3 中心流形降维

以前轮转向角δf为可变参数，求解式（17）可得某一车速下的奇异点，将式（14）在奇异点处泰勒展开，得到

式中：A为坐标转以后系统在奇异点（0，0）处的Jacobian矩阵；F（，δf）为非线性项。做线性变换X=TY，式（18）可化为：

将δf视为变量，式（19）变为：

该系统的中心流形在奇异点处与（y1，δf）相切，设

且满足

求得ki1、ki2、ki3后，利用公式（18），即得到中心流形上流的方程（即约化方程）。约化方程解的定性性态与原方程的定性性态是一致的。

4 分岔类型判断

计算 A 的特征值为：λ1，2=-6.545 6 ± 11.719 4i，λ3=-0.392 9，λ4=0。可以看出存在一个零特征值，系统存在一维中心流形。按照第3部分所述，得到中心流形上流的方程：

容易判断系统（21）在奇异点处发生鞍结分岔，奇异点即鞍结点。

约化系统的分岔图如图4所示。分岔后产生了两支曲线，上半支稳定，下半支不稳定。当初始状态在上半支上方及上下半支之间时，系统稳定。当初始状态在下半支上方及下半支下方时，系统不稳定。

图4 约化系统的分岔图

5 仿真分析

在初始状态[0，0，0，0]下，分别取前轮转向角为0.065 rad和0.075 rad进行仿真，仿真结果如图5至图8所示。

图5 侧偏角

图6 横摆角速度

图7 侧倾角

图8 侧倾角速度

仿真结果显示：前轮转角不超过分岔点的转向角时，四轮转向汽车的侧偏角、横摆角速度、侧倾角及侧倾角速度响应在2 s左右稳定下来，系统稳定，四轮转向汽车可完成稳态转向；随着前轮转角的增大，当超过对应分岔点的转向角时，四轮转向汽车的侧偏角、横摆角速度、侧倾角及侧倾角速度均在1.6 s左右急剧变化，意味着系统失去稳定性，需要通过采取措施加以控制。

6 结束语

选取适合于解析分析的二次多项式平方轮胎模型建立四轮汽车动力学模型，利用中心流形定理实现了高维转向动力系统的降维。随着车速和前轮转角的增加，四轮转向汽车会发生鞍结分岔，分岔使得汽车的状态参量急剧变化，汽车失去稳定性，可以通过采取一些措施来改变其分岔特性（如状态反馈对分岔点镇定），通过主动控制的方式延缓分岔的发生。

［1］赵又群，林棻，郭孔辉.矩阵摄动法在四轮转向汽车运动稳定性分析中的应用［J］.机械科学与技术，2004，23（7）：796-798.

［2］MASAO N，ETSUHIRO U.Nonlinear design approach to Four-Wheel-Steering system using neural networks［J］.Vehicle System Dynamics，1995，24 ：329-342.

［3］赵又群，尹浩，张丽霞，等.两种输入控制模型下的汽车非线性运动稳定性分析［J］.机械科学与技术，2005，24（10）：1138-1140.

［4］ERKIN D，TANKUT A.Application of vehicle dynamics’active control to a realistic vehicle model［C］//IEEE Proceedings of American Control Conference.2007：90-94.

［5］BOADA B L，BOADA M J L，DIAZ V.Yaw moment control for vehicle stability in a crosswind［J］.International Journal of Vehicle Design，2005，39（4）：331-348.

［6］刘春辉，张伯俊.四轮转向汽车的分岔与失稳分析［J］.机械科学与技术，2011，30（8）：1326-1330

［7］杨秀建，王增才.高维汽车侧向动力学系统的分岔及失稳分析［J］．农业机械学报，2008，39（12）：45-50.

［8］张琪昌，王洪礼，竺致文，等.分岔与混沌理论及应用［M］.天津：天津大学出版社，2005.