概率学习中值得注意的几个问题

刘静宇

概率是高中数学的一个重要内容，涉及到的知识点主要包括：古典概型与几何概型、频率与概率、互斥事件与对立事件及相互独立事件、离散型随机变量分布列及期望方差。教学中发现，学生对一些概率知识容易混淆。下面结合实例，谈一谈在概率的学习中应该注意的几个问题。

一、正确理解“频率”与“概率”的区别

例：“抛一枚质地均匀的硬币，正面向上的可能性是■”，这个■是不以人们的意志为转移的，它就是概率。“抛一枚质地均匀的硬币，连续抛1000次，发现有500次正面向上，正面向上的比例为■”，这个■是通过实验得到的比值，它就是频率。

点评：随机事件的频率是指该随机事件发生的次数m与试验总次数n的比值。在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，把这个常数叫该事件的概率。

二、正确理解“古典概型”概率公式

如果一次试验出现的结果是有限的，每一个基本事件出现的可能性都是均等的，这样的试验称为古典概型。在古典概型中，基本事件总数为n，事件A包括其中m个基本事件，那么事件A发生的概率P(A)=■,要想计算出事件A的概率,必须确定m和n的值。

例：口袋中有2个红球，8个白球，每次摸1个球，记下颜色后不再放回。一共摸了四次，求其中恰好有两次摸红球的概率。

解法一:把10个球全部取出并排成一排,则基本事件总数n=A1010.

“恰好两次摸红球”这一事件所含的基本事件数m=A24A88，∴P=■=■.

解法二：本题相当于从2个红球8个白球中取出4个球，求其中恰好有2个红球的概率。n=C410，m=C22C28∴P=■=■.

点评：究竟是用排列知识还是用组合知识求m、n的值，关键在于如何理解题意，从哪个角度去看。无论用排列还是组合知识都有可能达到目的。

三、正确理解“古典概型”与“互斥事件”的关系

例：有20个球，其中红球15个，黄球5个，从中任取3个， 求“至少有1个黄球”的概率。

解法一:“至少有一个黄球”这一事件由互斥的三个基本事件组成:A=“1黄2红”,B=“2黄1红”,C=“3黄”,P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=■+■+■=■+■+■=■.

解法二:令D=“至少有一个黄球”,“都是红球”为其对立事件,

P（D）=1-P（D）=1-■=■.

点评:互斥事件概率公式，是解决古典概型问题的一个工具，它与古典概型并不是并列的关系。求概率时,如果要分类讨论,则类与类间就是互斥的;如果运用排除法求概率,就可以看作是利用对立事件求概率。

四、正确理解“古典概型”与“相互独立事件”的区别

事件A（或B）是否发生对B（或A）发生的概率没有影响,这样的两个事件称为相互独立事件。若A、B同时发生，则P(A·B)=P(A)P(B)；在一次试验中某事件发生的概率为p，则n次独立重复试验中，该事件发生k次的概率

p=CknPk(1-P)n-k

例：（1）有100件产品,次品率为5﹪，从中任取3件，求恰好有1件次品的概率。

（2）有一大批产品,次品率为5％，从中任取3件，求恰好有1件次品的概率。

解：（1）100件产品中有95件正品，5件次品.记“恰好有一件次品”为事件A,则P（A）=■=■.

（2）每次取到次品的概率都是5％，记“恰好有一件次品”为事件A，则P(A)=C13(■)(■)2=■.

点评：同样是次品率为5％，前一问题属于“古典概型问题”,后一问题由于产品数量很大,取出一件以后对下回取次品的概率没有影响，所以属于“独立重复试验”问题。

上面几点，是学生在概率学习过程中容易混淆的几个地方。通过本文的分析、阐述，希望能对教师的概率教学和学生的概率学习有所帮助。