二元一次方程整数解及其应用浅析

王亮

在人教版七年级下册数学课本第112页的拓广探索训练中有一个题目为：现有1角、5角、1元硬币各10枚。从中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬币各取多少枚？

初看这道题目，可能绝大部分学生能比较顺利的列出两个等量关系式：1角硬币数量+5角硬币数量+1元硬币数量=15，1角硬币钱数+5角硬币钱数+1元硬币钱数=7，进而可以列出两个三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多学生所未曾遇到过的。如何求解呢？这儿就不可避免的应用到二元一次方程的非负整数解。

二元一次方程的解有无数组，但在实际应用中，我们往往只需要求出其非负整数解。下面试举几例以供参考：

例1.小虎子有一张面值为10元的人民币，他想换成1元或2元的人民币，请你想一想，可能有几种兑换方法？

解：设可换成1元的人民币x张，2元的人民币y张，则x+2y=10。

∵x、y只能取非负整数。

∴其非负整数解为：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6种兑换方法，分别为5张2元；2张1元和4张2元；4张1元和3张2元；6张1元和2张2元；8张1元和1张2元；10张1元。

例2.如果x、y为不等于0的自然数，且3x·3y=27，试求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根据幂的性质可得x+y=3，再由x、y为不等于0的自然数可确定x、y的值。

解：因为3x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因为x、y为不等于0的自然数，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。综上所得：xy=2。

点评：因为x、y为不等于0的自然数，所以本题实际上是求x+y=3的整数解。

在近几年的中考题目中，也已经出现了类似题型的考查。

例3.（2013·绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位.要求租用的车辆不留空座，也不能超载。有_______种租车方案。

解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，

根据题意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整数，

∴x=1时，y=3，

x=2时，y=1，

x=3时，y=-1（不符合题意，舍去），

所以，共有2种租车方案。

点评：本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数。

由此我们可以看出，二元一次方程虽然具有无数组解，但在特定条件下整数解是可以求出的，从而可以用来解决一些生活中的实际问题。同样，借鉴“消元”思想和二元一次方程整数解我们就可以顺利解出刚才的硬币问题。

我们可以将方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通过消x得到一个二元一次方程：4y+9z=55，利用题目中隐含的x、y、z只能取非负整数解条件，我们可以求出：y=7，z=3，进而求出x=5，至此我们就可以求出该题的答案为：1角硬币5枚、5角硬币7枚、1元硬币3枚。

对于此类题目，我们可以采用以下解题过程：列两个三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整数解→求该实际问题解，通过消元思想和二元一次方程整数解，进而求出该问题的解。

（作者单位 山东省日照市东港区西湖中心初中）

？誗编辑 鲁翠红

在人教版七年级下册数学课本第112页的拓广探索训练中有一个题目为：现有1角、5角、1元硬币各10枚。从中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬币各取多少枚？

初看这道题目，可能绝大部分学生能比较顺利的列出两个等量关系式：1角硬币数量+5角硬币数量+1元硬币数量=15，1角硬币钱数+5角硬币钱数+1元硬币钱数=7，进而可以列出两个三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多学生所未曾遇到过的。如何求解呢？这儿就不可避免的应用到二元一次方程的非负整数解。

二元一次方程的解有无数组，但在实际应用中，我们往往只需要求出其非负整数解。下面试举几例以供参考：

例1.小虎子有一张面值为10元的人民币，他想换成1元或2元的人民币，请你想一想，可能有几种兑换方法？

解：设可换成1元的人民币x张，2元的人民币y张，则x+2y=10。

∵x、y只能取非负整数。

∴其非负整数解为：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6种兑换方法，分别为5张2元；2张1元和4张2元；4张1元和3张2元；6张1元和2张2元；8张1元和1张2元；10张1元。

例2.如果x、y为不等于0的自然数，且3x·3y=27，试求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根据幂的性质可得x+y=3，再由x、y为不等于0的自然数可确定x、y的值。

解：因为3x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因为x、y为不等于0的自然数，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。综上所得：xy=2。

点评：因为x、y为不等于0的自然数，所以本题实际上是求x+y=3的整数解。

在近几年的中考题目中，也已经出现了类似题型的考查。

例3.（2013·绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位.要求租用的车辆不留空座，也不能超载。有_______种租车方案。

解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，

根据题意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整数，

∴x=1时，y=3，

x=2时，y=1，

x=3时，y=-1（不符合题意，舍去），

所以，共有2种租车方案。

点评：本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数。

由此我们可以看出，二元一次方程虽然具有无数组解，但在特定条件下整数解是可以求出的，从而可以用来解决一些生活中的实际问题。同样，借鉴“消元”思想和二元一次方程整数解我们就可以顺利解出刚才的硬币问题。

我们可以将方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通过消x得到一个二元一次方程：4y+9z=55，利用题目中隐含的x、y、z只能取非负整数解条件，我们可以求出：y=7，z=3，进而求出x=5，至此我们就可以求出该题的答案为：1角硬币5枚、5角硬币7枚、1元硬币3枚。

对于此类题目，我们可以采用以下解题过程：列两个三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整数解→求该实际问题解，通过消元思想和二元一次方程整数解，进而求出该问题的解。

（作者单位 山东省日照市东港区西湖中心初中）

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在人教版七年级下册数学课本第112页的拓广探索训练中有一个题目为：现有1角、5角、1元硬币各10枚。从中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬币各取多少枚？

初看这道题目，可能绝大部分学生能比较顺利的列出两个等量关系式：1角硬币数量+5角硬币数量+1元硬币数量=15，1角硬币钱数+5角硬币钱数+1元硬币钱数=7，进而可以列出两个三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多学生所未曾遇到过的。如何求解呢？这儿就不可避免的应用到二元一次方程的非负整数解。

二元一次方程的解有无数组，但在实际应用中，我们往往只需要求出其非负整数解。下面试举几例以供参考：

例1.小虎子有一张面值为10元的人民币，他想换成1元或2元的人民币，请你想一想，可能有几种兑换方法？

解：设可换成1元的人民币x张，2元的人民币y张，则x+2y=10。

∵x、y只能取非负整数。

∴其非负整数解为：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6种兑换方法，分别为5张2元；2张1元和4张2元；4张1元和3张2元；6张1元和2张2元；8张1元和1张2元；10张1元。

例2.如果x、y为不等于0的自然数，且3x·3y=27，试求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根据幂的性质可得x+y=3，再由x、y为不等于0的自然数可确定x、y的值。

解：因为3x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因为x、y为不等于0的自然数，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。综上所得：xy=2。

点评：因为x、y为不等于0的自然数，所以本题实际上是求x+y=3的整数解。

在近几年的中考题目中，也已经出现了类似题型的考查。

例3.（2013·绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位.要求租用的车辆不留空座，也不能超载。有_______种租车方案。

解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，

根据题意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整数，

∴x=1时，y=3，

x=2时，y=1，

x=3时，y=-1（不符合题意，舍去），

所以，共有2种租车方案。

点评：本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数。

由此我们可以看出，二元一次方程虽然具有无数组解，但在特定条件下整数解是可以求出的，从而可以用来解决一些生活中的实际问题。同样，借鉴“消元”思想和二元一次方程整数解我们就可以顺利解出刚才的硬币问题。

我们可以将方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通过消x得到一个二元一次方程：4y+9z=55，利用题目中隐含的x、y、z只能取非负整数解条件，我们可以求出：y=7，z=3，进而求出x=5，至此我们就可以求出该题的答案为：1角硬币5枚、5角硬币7枚、1元硬币3枚。

对于此类题目，我们可以采用以下解题过程：列两个三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整数解→求该实际问题解，通过消元思想和二元一次方程整数解，进而求出该问题的解。

（作者单位 山东省日照市东港区西湖中心初中）

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