中考数学中折叠问题如何解

华腾飞

近年来，各地的中考试卷中频频出现图形折叠的考题，有些同学对求解此类问题感到无从下手，其实求解此类问题的关键是要充分利用轴对称图形，灵活运用相关知识容易求解.下面以近年各地中考题为例说明求解此类问题的方法，希望对提高同学们的解题技能和技巧能够有所帮助.

一、翻折三角形的一角

例1 .如图1所示，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）.当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由.

解析:如图1， 连接CD与EF交于O点.

∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴CD = DB =■AB，∴∠DCB =∠B.

由折叠知，∠COF = 90°.

∴∠DCB +∠CFE = 90°.

∵∠B +∠A = 90°，∴∠CFE =∠A.

又∵∠C =∠C，∴△CEF ∽ △CBA.

二、翻折矩形的一角

例2.如图2所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合.若AB = 2，则C′D的长为（）

A. 1B. 2 C. 3D. 4

解析: 根据矩形的对边相等，得CD = AB = 2，由折叠可知C′D = 2.故应选B.

三、翻折菱形的一角

例3.如图3所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A = 120°，则EF = ____ cm.

解析: 如图4所示，连结BD、AO，则B、O、D三点共线，BO = ■BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD.

∴∠BAO = 60°.

在Rt△AOB中，BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折叠知，AO垂直平分EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位线. ∴EF=■BD=BO =■cm.

四、翻折四边形的一角

例4.如图5所示，在△OAB中，∠OAB = 90°，∠AOB =30°，OB = 8.以OB为边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.

(1) 求证：四边形ABCE是平行四边形；

(2) 如图6所示，将图6中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.

解析：(1)如图5，在Rt△OAB中，D为OB的中点.

∴DO = DA，

∴∠DAO =∠DOA = 30°.

∵△OBC为等边三角形，

∴∠BCO =∠COB = 60°，

∴∠EOA = 90°，

∴OC∥AB，∠AEO = 60° =∠BCO，

∴BC∥AE，

∴四边形ABCE是平行四边形.

(2)如图6， 由题意知OC = OB = 8.

设OG = x，则由折叠可知：

AG = GC = 8 – x.

∵∠OAB = 90°，∠AOB = 30°，OB = 8，

∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：

OG2 + OA2 = AG2，

即x2 +（4■）2=（8-x）2.

解得x = 1，∴OG = 1.

练习：

如图7所示，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE : AC = 3 : 5.则■的值为（ ）

A.■B. ■C. ■D.■

答案：A

(作者单位：安徽省灵璧黄湾中学)

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近年来，各地的中考试卷中频频出现图形折叠的考题，有些同学对求解此类问题感到无从下手，其实求解此类问题的关键是要充分利用轴对称图形，灵活运用相关知识容易求解.下面以近年各地中考题为例说明求解此类问题的方法，希望对提高同学们的解题技能和技巧能够有所帮助.

一、翻折三角形的一角

例1 .如图1所示，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）.当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由.

解析:如图1， 连接CD与EF交于O点.

∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴CD = DB =■AB，∴∠DCB =∠B.

由折叠知，∠COF = 90°.

∴∠DCB +∠CFE = 90°.

∵∠B +∠A = 90°，∴∠CFE =∠A.

又∵∠C =∠C，∴△CEF ∽ △CBA.

二、翻折矩形的一角

例2.如图2所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合.若AB = 2，则C′D的长为（）

A. 1B. 2 C. 3D. 4

解析: 根据矩形的对边相等，得CD = AB = 2，由折叠可知C′D = 2.故应选B.

三、翻折菱形的一角

例3.如图3所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A = 120°，则EF = ____ cm.

解析: 如图4所示，连结BD、AO，则B、O、D三点共线，BO = ■BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD.

∴∠BAO = 60°.

在Rt△AOB中，BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折叠知，AO垂直平分EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位线. ∴EF=■BD=BO =■cm.

四、翻折四边形的一角

例4.如图5所示，在△OAB中，∠OAB = 90°，∠AOB =30°，OB = 8.以OB为边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.

(1) 求证：四边形ABCE是平行四边形；

(2) 如图6所示，将图6中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.

解析：(1)如图5，在Rt△OAB中，D为OB的中点.

∴DO = DA，

∴∠DAO =∠DOA = 30°.

∵△OBC为等边三角形，

∴∠BCO =∠COB = 60°，

∴∠EOA = 90°，

∴OC∥AB，∠AEO = 60° =∠BCO，

∴BC∥AE，

∴四边形ABCE是平行四边形.

(2)如图6， 由题意知OC = OB = 8.

设OG = x，则由折叠可知：

AG = GC = 8 – x.

∵∠OAB = 90°，∠AOB = 30°，OB = 8，

∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：

OG2 + OA2 = AG2，

即x2 +（4■）2=（8-x）2.

解得x = 1，∴OG = 1.

练习：

如图7所示，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE : AC = 3 : 5.则■的值为（ ）

A.■B. ■C. ■D.■

答案：A

(作者单位：安徽省灵璧黄湾中学)

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近年来，各地的中考试卷中频频出现图形折叠的考题，有些同学对求解此类问题感到无从下手，其实求解此类问题的关键是要充分利用轴对称图形，灵活运用相关知识容易求解.下面以近年各地中考题为例说明求解此类问题的方法，希望对提高同学们的解题技能和技巧能够有所帮助.

一、翻折三角形的一角

例1 .如图1所示，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）.当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由.

解析:如图1， 连接CD与EF交于O点.

∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴CD = DB =■AB，∴∠DCB =∠B.

由折叠知，∠COF = 90°.

∴∠DCB +∠CFE = 90°.

∵∠B +∠A = 90°，∴∠CFE =∠A.

又∵∠C =∠C，∴△CEF ∽ △CBA.

二、翻折矩形的一角

例2.如图2所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合.若AB = 2，则C′D的长为（）

A. 1B. 2 C. 3D. 4

解析: 根据矩形的对边相等，得CD = AB = 2，由折叠可知C′D = 2.故应选B.

三、翻折菱形的一角

例3.如图3所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A = 120°，则EF = ____ cm.

解析: 如图4所示，连结BD、AO，则B、O、D三点共线，BO = ■BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD.

∴∠BAO = 60°.

在Rt△AOB中，BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折叠知，AO垂直平分EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位线. ∴EF=■BD=BO =■cm.

四、翻折四边形的一角

例4.如图5所示，在△OAB中，∠OAB = 90°，∠AOB =30°，OB = 8.以OB为边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.

(1) 求证：四边形ABCE是平行四边形；

(2) 如图6所示，将图6中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.

解析：(1)如图5，在Rt△OAB中，D为OB的中点.

∴DO = DA，

∴∠DAO =∠DOA = 30°.

∵△OBC为等边三角形，

∴∠BCO =∠COB = 60°，

∴∠EOA = 90°，

∴OC∥AB，∠AEO = 60° =∠BCO，

∴BC∥AE，

∴四边形ABCE是平行四边形.

(2)如图6， 由题意知OC = OB = 8.

设OG = x，则由折叠可知：

AG = GC = 8 – x.

∵∠OAB = 90°，∠AOB = 30°，OB = 8，

∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：

OG2 + OA2 = AG2，

即x2 +（4■）2=（8-x）2.

解得x = 1，∴OG = 1.

练习：

如图7所示，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE : AC = 3 : 5.则■的值为（ ）

A.■B. ■C. ■D.■

答案：A

(作者单位：安徽省灵璧黄湾中学)

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