“数值分析”课程教学模式改革

曲 凯，王志平，唐 宇

(大连海事大学，辽宁大连 116026)

“数值分析”是大多数高校的工科专业学生必修的一门课程，其主要内容是研究如何利用数值方法去处理具体的工程问题，它在科学研究、工程建设和经济建设等很多方面有着广泛的应用。“数值分析”课程要求学生不仅要掌握数值计算的方法与理论、不同算法的比较、算法的改进与创新，更强调掌握其应用能力。［1］目前国内多数高校的信息与计算科学专业都开设“数值分析”课程，部分高校在工科专业的研究生课程中也开设了这门课。但是多数高校对于“数值分析”课程还没有给予足够的重视，而且“数值分析”在教学过程中也存在着很多不足。［2］不少学者曾经讨论过我国高校中“数值分析”课程的教学情况及其相关问题，其中有些问题普遍存在，例如学生学习数值方法的思维方式单一，缺乏理论与实际相结合的能力，学生在学习过程中感到知识枯燥或者学习效果不佳，学校软、硬件设施无法满足学生的上机实习等［3］。在“数值分析”教学中提高学生解决实际问题的能力无非包括两方面的内容:一是基础知识的教学，即传授数学基础知识;二是启发学生利用所学的数学方法解决实际问题的能力的教学。在素质教育背景下对应用能力的提高显得尤为重要。［4］

一、传统“数值分析”课程教学中存在的主要问题

1.课程内容多，教学时数少

传统的“数值分析”课程中主要包含了数值逼近、数值代数、微分方程数值解等三方面内容，其中数值逼近部分主要包括插值方法、数据拟合及逼近、数值积分与微分，数值代数部分主要包括解线性方程组的直接法与迭代法、矩阵特征值和特征向量的计算、非线性方程及非线性方程组的求根，微分方程数值解部分主要讲解常微分方程初值问题的数值解法。这些内容都是以数学问题为研究对象，并提供了解决数学问题的不同的数学方法及理论分析。在运用传统教学方法讲授这些知识时，由于计算公式多且长，推导过程繁琐，加上教学时数由原来的三门课约90学时减少为64/54/48学时等，部分内容不能细致讲解，容易使学生产生畏难情绪，教学效果不佳。［5］

2.重理论、轻实践，上机时间少

“数值分析”是一门实用性很强的数学课程，它具有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又具有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点。［6］通过本课程的学习，可以使学生熟练掌握各种常用的数值算法及其构造原理，提高算法设计和理论分析的能力，并对实际问题进行分析。这既能为学生打下良好的理论基础，培养学生的逻辑思维能力，又能提高学生解决问题的能力。［7］传统的教学模式只注重讲授数学方法及原理，理论教学占整个教学过程的大部分时间，上机时间少，甚至没有上机时间，这不符合工科数学“以应用为目的，以够用为度”的原则，也很难与工程领域中的实际问题紧密联系起来。这样的教学方式不但不能引起学生学习“数值分析”的兴趣，而且会产生厌学情绪，导致课堂气氛不活跃，进而直接阻碍素质教育目标的实现。

二、“数值分析”教学模式的改革

对原有的“数值分析”课程的教学模式进行改革，任课教师必须具有较高的学术造诣和扎实的基础功底，并对工程领域中的背景知识具有一定的了解。此外，任课教师应该重视学生应用数学的能力培养，注重与学生的交流，明确培养目标并将培养目标分解细化到教学大纲中，同时在日常教学中应注意如下三个方面。

1.培养学生转变思维方式

在“数值分析”课程的教学中，虽然在理论推导过程中利用到了高等数学、线性代数等前修课程中的知识，但是“数值分析”课程的学习更注重以工程应用为背景，以解决实际问题为最终目标。例如，在中学学习过利用求根公式求解一元二次方程的根(零点)，但是实际问题中遇到的不一定是一元二次方程，可能是比较复杂的非线性方程，那么该如何求得这些非线性方程的零点呢?在线性代数课程中学习了利用初等行变换的方法求解线性方程组的解，但是对于较大规模的线性方程组，初等行变换会产生非常庞大的运算量，这该如何避免呢?在高等数学中学习了求函数积分的方法，但是在实际问题中的被积函数很难找到原函数，那么又该如何求解这些函数的积分呢?要想解决以上的问题，需要重视两种思维方式的转变:一是从精确求解到求近似解的转变，二是从人工计算到计算机计算的转变。

在解决实际问题时，由于背景的复杂性，求解实际问题精确解往往都是不现实的，只需要对近似解进行误差分析，将近似解控制在允许的误差范围内即可，这种从求精确解到求近似解的思维转变是数值分析课程中需要学生深刻领悟的。上述三个问题就可以分别利用二分法、迭代法和构造数值积分公式的方法求得近似解。另外，实际问题的运算量往往非常庞大，利用人工计算是不可能的，如何抛弃人工计算，而将数学方法在计算机上实现，也是数值分析课程中要求学生做到的重要的思维改变。

2.利用应用背景将理论与实践相结合

“数值分析”课程作为一门与工程领域密切相关的课程，如何将课程中学到的数学方法应用到实际问题中就显得尤为重要。一个好的数学方法，除了有严格的理论分析之外，一定要有较为实用的应用背景。现以函数插值为例探讨如何以航海为背景学习函数插值方法。

首先通过例题引入需要解决的问题。［8］

已知某船静水力特性参数表如下所示:

型吃水d/m d1=6.80 d2=7.00 d3=7.20 d4=7.40排水量w/t w1=8195 w2=8676 w3=9145 w4=9635 h/t h1=13760 h2=14240 h3=14710 h4=15200总载重量

若某艘轮船的型吃水为d0=7.25 m，求该轮船此时的排水量h0和总载重量w0。

如何求解该问题呢?可以引导学生通过(d2，h2)，(d3，h3)利用待定系数法求出一个一次多项式h=P1(d)，将d0代入即可求出h0。学生会发现(d1，h1)这个信息没有用上，这时通过(d1，h1)，(d2，h2)，(d3，h3)利用待定系数法求出一个二次多项式，学生会再问:(d4，h4)这个信息怎么办?如果再通过(d1，h1)，(d2，h2)，(d3，h3)，(d4，h4)利用待定系数法求一个三次多项式，大部分学生就会觉得这样做太麻烦了，这时引入插值基函数的概念，并通过插值基函数构造插值多项式，学生会发现这种方法既有规律又方便计算。若再给出这个插值方法的误差估计，一个完整的数学方法就引出来了。通过解决具有实际意义的问题，数值方法的思想得以充分利用。

3.采用启发式教学，注重培养学生编程的能力

“数值分析”课程中的大部分知识既给出了解决实际问题的方法，又对这些方法进行了理论分析，以保证方法的可操作性。教学中应既讲授方法和理论，同时注重培养学生的编程能力。目前，MALTB等试验软件不断完善与升级，能够满足大部分工程实际中的运算需求。在教学过程中，应结合应用实例，采用启发式的教学方式，启发学生利用MATLAB将数学方法实现，逐步培养起学生主动编程的能力。

第一步，启发学生对于事先给定的实际问题进行分析，分析解决实际问题所需要的理论知识，鼓励学生在课前独立思考，促使学生在课后寻找资料，对将要学习的课程进行预习，让学生在课下思考用学过的解析方法能不能解决，若不能解决，如何用数值的方法解决，用这种启发式引导学生思考和预习;第二步，对于解决实际问题所用到的数值方法进行讲解，包括原理、理论分析、方法的推广以及方法的适用范围，使得背景知识、学习的目的和如何进行算法设计贯穿整个课堂，这样可以吸引学生的注意力，提高学习兴趣，同时也体现了数值方法的实用意义和价值;第三步，启发学生通过对实际问题和所学方法的综合考虑，选择合适的数值方法，启发学生思考为什么不采用解析的方法，而要采用数值方法，应该如何建立数值方法，如何进行数值方法的推导等;第四步，鼓励学生将合适的数值方法编程实现出来，解决所给定的实际问题，并对不同的算法进行分析和比较。

三、教学模式改革后的效果

通过启发式教学、转变学生思维模式等教学模式的改革，学生在学习“数值分析”课程时逐渐由被动变为主动，利用计算机对实际问题求解数值解这种思想逐步代替了之前的求解析解的思维模式。启发式教学也逐步引导学生选择合适的数学方法，主动编程并在计算机上实现，提高了学生解决实际问题的能力。下面仍然以船的静水力特性参数为例，展现新的教学模式下学生学习知识的变化及效果。

当所测得型吃水的数据比较多时，采用启发式教学，学生便会主动寻求一种快捷的求解插值多项式的方法，并深刻了解到计算机的实际用途:可以实现数据计算。多数学生会发现，数据点较多时选择Lagrange插值方法是不合适的，这时可以借助MATLAB画出龙格现象(利用Lagrange方法对数据点较多的情形进行插值时可能会出现龙格现象)，学生会因为自己掌握了这种方法而产生成就感，促使自己继续学习新的方法，这时引入分段插值的思想就非常自然了。分段插值方法中的经典方法是三次样条，为了使学生深刻了解三次样条，可以鼓励学生通过MATLAB利用三次样条对船的静水力特性参数的例子进行求解，并将结果通过作图的方式展现出来，这可以让学生直观地感受到三次样条插值对外型设计、图像处理的应用效果，并培养学生利用数学方法解决实际问题的能力。

通过船的静水力特性参数的例子，可以培养学生逐步解决实际问题的思维方法和步骤:分析实际问题—学习理论知识—学习数学方法—对数值方法编程实现—分析结果—改进数学方法—解决实际问题。通过船的静水力特性参数的例子，学生也主动学习到了数值分析中的Lagrange插值方法和三次样条插值方法。

四、结语

“数值分析”是一门利用计算机解决实际问题的学科，它是理论性和实践性结合比较紧密的课程，对于理工科的本科学生而言，它的理论和实践知识对学生的要求都比较高，因此要让学生学好这门课程，需要在教学方式上采用一些技巧，比如采用启发式的教学方法，培养学生转变思维方式，重视实践环节等，这样可以提高学生主动学习的积极性，提高学生的综合素质，使学生真正学好这门课程。

［1］伍渝江，尤传华，丁方允.数值分析的继承和改革［J］.高等理科教育，2001(1):46-49.

［2］赵景军，吴勃英.关于数值分析教学的几点探讨［J］.大学数学，2005(3):28-30.

［3］吴勃英，刘克安，高广宏，等.优化教学设计，提高工科研究生数值分析的教学效果［J］.大学数学，2005(1):1-4.

［4］杜廷松.关于“数值分析”课程教学改革研究的综述和思考［J］.大学数学，2007(2):8-15.

［5］曾繁慧，高雷阜，胡行华.基于MATLAB的“数值分析”教学改革研究［J］.高教论坛，2008(3)，60-61.

［6］李 龙，方智明，罗振国.“数值分析”实践教学中分层教学的探讨和实践［J］.科技视界，2013(31):22.

［7］袁海燕，安宇芳，李敏静，等.“数值分析”课程设计实践教学的几点探讨［J］.学理论，2013(24)，291-292.

［8］戴 冉，王 越.航海专业数学［M］.大连:大连海事大学出版社，2010.