借助几何直观 优化数学教学

徐明旭

《数学课程标准》（2011版）指出：借助几何直观可以把复杂、抽象的问题变得简单、形象、具体，有助于探索解决问题的思路，寻求解决问题的方法。在实际教学中，借助几何直观，能为学生理解问题、分析问题、解决问题能力的发展提供“拐杖”，帮助学生形成数学思想，提升学生的数学素养。

一、借助几何直观，深化对概念的理解

在概念教学中，由于小学生的年龄特点决定了其思维的局限性，形成了概念教学的现象性与学生所需要的具体形象性之间的矛盾，要想有效解决这一矛盾，就必须在某些具体形象内容与数学概念之间架设一座桥梁，而几何直观是解决这一问题的有效途径。

例如，讲授“乘法交换律”时，为了让学生理解“两个数相乘，交换因数的位置，积不变”的规律，笔者出示了以下图例，以此来帮助学生理解定律。

■

图1

在图1中，左图表示每行4个三角（建议用小三角图），3行一共12个；右图表示每行3个三角，4行一共12个。所以，4×3=3×4。这样，在直观形象的观察比较中，学生轻松地理解了乘法交换律。

又如，讲授“分数的基本性质”时，为了引导学生发现并理解“分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变”这一性质，笔者借助下列直观图例，要求学生将这根彩带平均分成2份、4份、8份，分别取出其中的1份、2份、4份，比比，看看你发现了什么？在形象直观的操作、演示中，在观察对比的交流、展示中，学生发现■=■=■。这三个分数相等。继而，笔者继续引导学生观察这三个分数的分子和分母之间有何联系，在寻找联系、小结规律的基础上，学生总结出了分数的基本性质。

■

■=■=■

图2

二、借助几何直观，认清计算的意义和算理

计算数学本身是枯燥无味的。在计算教学中，教师往往更多关注计算的方法，忽视对计算算理的理解，表面上看似乎掌握了计算的基本技能，实质是将学生的计算训练变成一种极端训练，而几何直观恰好能有效地弥补这一不足。

分数乘分数的意义和算理的理解是一大教学难点。传统的教学方法，使得学生只知道，分数乘分数，分子相乘做分子，分母相乘做分母，能约分则先约分即可。学生对“分子相乘做分子，分母相乘做分母”的算理不甚了解。现行苏教版教材，要求学生从理解算理的基础上掌握计算的方法。教学中，教者可以借助几何直观，帮助学生理解算理。在计算“■×■”时，笔者出示了图3——长方形表示单位“1”，先将长方形平均分成两份，取其中的1份，即1/2，再将取出的1/2平均分成3份，取其中的2份，取出的2份占整个长方形，即单位“1”的1/6。通过这样的直观演示，学生很快掌握了“■×■”这个算式意义和计算的算理。

■

图3

再比如，分数除法计算中，整数除以分数的几何直观演示：4÷■×■。

■

图4

学生不难从图例中看出，将4米平均分成4份，每份1米；再将1米平均分成3份，其中2份是1米的■，是■米，4米里有6个■米。

以上计算教学中，利用几何直观演示，不仅能让学生熟练掌握四则运算的基本方法与基本技能，更有利于加深学生对计算教学意义和算理的理解，使学生从根本上理解四则运算的意义。

三、借助几何直观，渗透数学思想

在数学课堂教学中，不仅要让学生获得学习与生活所必备的数学技能，更应在教学中渗透数学思想，培养学生的数学学习能力，而几何直观的演示有利于数学思想的渗透，使用数学思想的渗透变得自然、得体。

例如，计算■+■+■+…+■时，在几何直观的演示中，

■

图5

学生通过分析，可以将原来的算式转化成1-1/32进行计算。“转化”的思想得到了渗透并运用。

又如，在讲授“鸡兔同笼”时，可用画图的形象思维方法帮助学生理解并解题。笼中共有鸡兔35只，脚有94只，鸡兔各几只？可以画35个圆表示35个头，然后在每个圆圈下面画出2条线段表示脚，这样一共就有70只脚，那么多出来的（94-70）只脚往哪放呢？每个小圆圈下面最多可以画几条？最多可画几个（24÷2=12个）圆圈。因此，加上两条竖线就变成兔了，兔就成了12只，鸡就有23只。

四、借助几何直观，理解数学思想

数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括出来的，它揭示了数学发展中普遍的规律，对数学的发展起着指引方向的作用，是数学的灵魂。在数学教学过程中，教师不仅要向学生渗透数学思想，更要帮助学生进一步理解数学思想。而借助几何直观，建立数学模型，是帮助学生理解数学思想，进行有效教学的主要途径之一。

数学模型是指用数学分析手段解决实际问题之后形成的一种解题模型。几何直观因为具有鲜明的生动性，能激发人们的形象思维，可以帮助学生从形象具体的情境中抽象出数学问题，并建立解决问题的模型。

例如，讲授“1+3+5+7+9+…+99=502=2500”通过几何直观图的演示渗透并理解了建模思想。

■

图6

通过演示和观察，学生很自然得出，1+3+…n=（■）2这样一个数学模型，更能体会到模型建立后所带来的成功乐趣。

实践证明，借助几何直观，不仅可以促进学生在数学学习中对数学知识的理解，还能使复杂问题简单化、具体化、形象化，从而激发学生的学习热情，体验数学学习的快乐，学会用数学的眼光去观察、去思考，体悟形式多样的数学思想。

（责任编辑：李雪虹）endprint

《数学课程标准》（2011版）指出：借助几何直观可以把复杂、抽象的问题变得简单、形象、具体，有助于探索解决问题的思路，寻求解决问题的方法。在实际教学中，借助几何直观，能为学生理解问题、分析问题、解决问题能力的发展提供“拐杖”，帮助学生形成数学思想，提升学生的数学素养。

一、借助几何直观，深化对概念的理解

在概念教学中，由于小学生的年龄特点决定了其思维的局限性，形成了概念教学的现象性与学生所需要的具体形象性之间的矛盾，要想有效解决这一矛盾，就必须在某些具体形象内容与数学概念之间架设一座桥梁，而几何直观是解决这一问题的有效途径。

例如，讲授“乘法交换律”时，为了让学生理解“两个数相乘，交换因数的位置，积不变”的规律，笔者出示了以下图例，以此来帮助学生理解定律。

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图1

在图1中，左图表示每行4个三角（建议用小三角图），3行一共12个；右图表示每行3个三角，4行一共12个。所以，4×3=3×4。这样，在直观形象的观察比较中，学生轻松地理解了乘法交换律。

又如，讲授“分数的基本性质”时，为了引导学生发现并理解“分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变”这一性质，笔者借助下列直观图例，要求学生将这根彩带平均分成2份、4份、8份，分别取出其中的1份、2份、4份，比比，看看你发现了什么？在形象直观的操作、演示中，在观察对比的交流、展示中，学生发现■=■=■。这三个分数相等。继而，笔者继续引导学生观察这三个分数的分子和分母之间有何联系，在寻找联系、小结规律的基础上，学生总结出了分数的基本性质。

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图2

二、借助几何直观，认清计算的意义和算理

计算数学本身是枯燥无味的。在计算教学中，教师往往更多关注计算的方法，忽视对计算算理的理解，表面上看似乎掌握了计算的基本技能，实质是将学生的计算训练变成一种极端训练，而几何直观恰好能有效地弥补这一不足。

分数乘分数的意义和算理的理解是一大教学难点。传统的教学方法，使得学生只知道，分数乘分数，分子相乘做分子，分母相乘做分母，能约分则先约分即可。学生对“分子相乘做分子，分母相乘做分母”的算理不甚了解。现行苏教版教材，要求学生从理解算理的基础上掌握计算的方法。教学中，教者可以借助几何直观，帮助学生理解算理。在计算“■×■”时，笔者出示了图3——长方形表示单位“1”，先将长方形平均分成两份，取其中的1份，即1/2，再将取出的1/2平均分成3份，取其中的2份，取出的2份占整个长方形，即单位“1”的1/6。通过这样的直观演示，学生很快掌握了“■×■”这个算式意义和计算的算理。

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图3

再比如，分数除法计算中，整数除以分数的几何直观演示：4÷■×■。

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图4

学生不难从图例中看出，将4米平均分成4份，每份1米；再将1米平均分成3份，其中2份是1米的■，是■米，4米里有6个■米。

以上计算教学中，利用几何直观演示，不仅能让学生熟练掌握四则运算的基本方法与基本技能，更有利于加深学生对计算教学意义和算理的理解，使学生从根本上理解四则运算的意义。

三、借助几何直观，渗透数学思想

在数学课堂教学中，不仅要让学生获得学习与生活所必备的数学技能，更应在教学中渗透数学思想，培养学生的数学学习能力，而几何直观的演示有利于数学思想的渗透，使用数学思想的渗透变得自然、得体。

例如，计算■+■+■+…+■时，在几何直观的演示中，

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图5

学生通过分析，可以将原来的算式转化成1-1/32进行计算。“转化”的思想得到了渗透并运用。

又如，在讲授“鸡兔同笼”时，可用画图的形象思维方法帮助学生理解并解题。笼中共有鸡兔35只，脚有94只，鸡兔各几只？可以画35个圆表示35个头，然后在每个圆圈下面画出2条线段表示脚，这样一共就有70只脚，那么多出来的（94-70）只脚往哪放呢？每个小圆圈下面最多可以画几条？最多可画几个（24÷2=12个）圆圈。因此，加上两条竖线就变成兔了，兔就成了12只，鸡就有23只。

四、借助几何直观，理解数学思想

数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括出来的，它揭示了数学发展中普遍的规律，对数学的发展起着指引方向的作用，是数学的灵魂。在数学教学过程中，教师不仅要向学生渗透数学思想，更要帮助学生进一步理解数学思想。而借助几何直观，建立数学模型，是帮助学生理解数学思想，进行有效教学的主要途径之一。

数学模型是指用数学分析手段解决实际问题之后形成的一种解题模型。几何直观因为具有鲜明的生动性，能激发人们的形象思维，可以帮助学生从形象具体的情境中抽象出数学问题，并建立解决问题的模型。

例如，讲授“1+3+5+7+9+…+99=502=2500”通过几何直观图的演示渗透并理解了建模思想。

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图6

通过演示和观察，学生很自然得出，1+3+…n=（■）2这样一个数学模型，更能体会到模型建立后所带来的成功乐趣。

实践证明，借助几何直观，不仅可以促进学生在数学学习中对数学知识的理解，还能使复杂问题简单化、具体化、形象化，从而激发学生的学习热情，体验数学学习的快乐，学会用数学的眼光去观察、去思考，体悟形式多样的数学思想。

（责任编辑：李雪虹）endprint

《数学课程标准》（2011版）指出：借助几何直观可以把复杂、抽象的问题变得简单、形象、具体，有助于探索解决问题的思路，寻求解决问题的方法。在实际教学中，借助几何直观，能为学生理解问题、分析问题、解决问题能力的发展提供“拐杖”，帮助学生形成数学思想，提升学生的数学素养。

一、借助几何直观，深化对概念的理解

在概念教学中，由于小学生的年龄特点决定了其思维的局限性，形成了概念教学的现象性与学生所需要的具体形象性之间的矛盾，要想有效解决这一矛盾，就必须在某些具体形象内容与数学概念之间架设一座桥梁，而几何直观是解决这一问题的有效途径。

例如，讲授“乘法交换律”时，为了让学生理解“两个数相乘，交换因数的位置，积不变”的规律，笔者出示了以下图例，以此来帮助学生理解定律。

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图1

在图1中，左图表示每行4个三角（建议用小三角图），3行一共12个；右图表示每行3个三角，4行一共12个。所以，4×3=3×4。这样，在直观形象的观察比较中，学生轻松地理解了乘法交换律。

又如，讲授“分数的基本性质”时，为了引导学生发现并理解“分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变”这一性质，笔者借助下列直观图例，要求学生将这根彩带平均分成2份、4份、8份，分别取出其中的1份、2份、4份，比比，看看你发现了什么？在形象直观的操作、演示中，在观察对比的交流、展示中，学生发现■=■=■。这三个分数相等。继而，笔者继续引导学生观察这三个分数的分子和分母之间有何联系，在寻找联系、小结规律的基础上，学生总结出了分数的基本性质。

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图2

二、借助几何直观，认清计算的意义和算理

计算数学本身是枯燥无味的。在计算教学中，教师往往更多关注计算的方法，忽视对计算算理的理解，表面上看似乎掌握了计算的基本技能，实质是将学生的计算训练变成一种极端训练，而几何直观恰好能有效地弥补这一不足。

分数乘分数的意义和算理的理解是一大教学难点。传统的教学方法，使得学生只知道，分数乘分数，分子相乘做分子，分母相乘做分母，能约分则先约分即可。学生对“分子相乘做分子，分母相乘做分母”的算理不甚了解。现行苏教版教材，要求学生从理解算理的基础上掌握计算的方法。教学中，教者可以借助几何直观，帮助学生理解算理。在计算“■×■”时，笔者出示了图3——长方形表示单位“1”，先将长方形平均分成两份，取其中的1份，即1/2，再将取出的1/2平均分成3份，取其中的2份，取出的2份占整个长方形，即单位“1”的1/6。通过这样的直观演示，学生很快掌握了“■×■”这个算式意义和计算的算理。

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图3

再比如，分数除法计算中，整数除以分数的几何直观演示：4÷■×■。

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图4

学生不难从图例中看出，将4米平均分成4份，每份1米；再将1米平均分成3份，其中2份是1米的■，是■米，4米里有6个■米。

以上计算教学中，利用几何直观演示，不仅能让学生熟练掌握四则运算的基本方法与基本技能，更有利于加深学生对计算教学意义和算理的理解，使学生从根本上理解四则运算的意义。

三、借助几何直观，渗透数学思想

在数学课堂教学中，不仅要让学生获得学习与生活所必备的数学技能，更应在教学中渗透数学思想，培养学生的数学学习能力，而几何直观的演示有利于数学思想的渗透，使用数学思想的渗透变得自然、得体。

例如，计算■+■+■+…+■时，在几何直观的演示中，

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图5

学生通过分析，可以将原来的算式转化成1-1/32进行计算。“转化”的思想得到了渗透并运用。

又如，在讲授“鸡兔同笼”时，可用画图的形象思维方法帮助学生理解并解题。笼中共有鸡兔35只，脚有94只，鸡兔各几只？可以画35个圆表示35个头，然后在每个圆圈下面画出2条线段表示脚，这样一共就有70只脚，那么多出来的（94-70）只脚往哪放呢？每个小圆圈下面最多可以画几条？最多可画几个（24÷2=12个）圆圈。因此，加上两条竖线就变成兔了，兔就成了12只，鸡就有23只。

四、借助几何直观，理解数学思想

数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括出来的，它揭示了数学发展中普遍的规律，对数学的发展起着指引方向的作用，是数学的灵魂。在数学教学过程中，教师不仅要向学生渗透数学思想，更要帮助学生进一步理解数学思想。而借助几何直观，建立数学模型，是帮助学生理解数学思想，进行有效教学的主要途径之一。

数学模型是指用数学分析手段解决实际问题之后形成的一种解题模型。几何直观因为具有鲜明的生动性，能激发人们的形象思维，可以帮助学生从形象具体的情境中抽象出数学问题，并建立解决问题的模型。

例如，讲授“1+3+5+7+9+…+99=502=2500”通过几何直观图的演示渗透并理解了建模思想。

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图6

通过演示和观察，学生很自然得出，1+3+…n=（■）2这样一个数学模型，更能体会到模型建立后所带来的成功乐趣。

实践证明，借助几何直观，不仅可以促进学生在数学学习中对数学知识的理解，还能使复杂问题简单化、具体化、形象化，从而激发学生的学习热情，体验数学学习的快乐，学会用数学的眼光去观察、去思考，体悟形式多样的数学思想。

（责任编辑：李雪虹）endprint