Matlab软件在三线摆法测定圆环转动惯量中的应用

李雪梅，夏雪琴

(浙江海洋学院，浙江舟山 316000)

转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，刚体的转动惯量有着重要物理意义，在工程技术、科学实验、航天、仪表、机械、电力等工业领域也是一个重要参量。根据电磁系仪表的线圈转动惯量，可用于测量检流计的微小电流或冲击电流计的电量;设计发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计时，也要精确地测定转动惯量。转动惯量主要与刚体的总质量有关，另外，它还与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。使用三线摆可以测量圆环的转动惯量［1］，但测量的物理量较多，处理数据比较繁琐。为了使计算简便快捷，使用matlab软件处理数据，可以迅速准确的得到计算结果。

图1 三线摆实验装置图

1 三线摆法测量圆环的转动惯量的原理

实验中使用的三线摆如图1所示，上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线(长度是H0)将两圆盘相连，如图2所示。上圆盘固定，下圆盘(质量是m0)可绕中心轴作扭摆运动。当下圆盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动，运动周期是T0。根据能量守恒定律和刚体转动定律可以导出下圆盘绕中心轴的转动惯量［2-3］:

将质量为m的圆环放在下圆盘上，并使待测圆环的转轴与OO'轴重合。测出此时下圆盘和圆环的摆动周期T1和上下圆盘间的垂直距离H。同样可求出待测圆环和下圆盘对中心转轴OO'轴的总转动惯量为:

如不计因重量变化而引起的悬线伸长，则有H≈H0，那么，待测物体绕中心轴OO'的转动惯量为:

因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出圆环绕其对称轴的转动惯量。理想圆环绕其中心轴转动惯量的理论计算公式是:

因此，百分差的计算公式是:

相对不确定度的计算公式是:

图2 三线摆中的物理量图示

2 测量实验数据的方法

为了减小三线摆周期的测量误差，首先测量其摆动50个周期所需要的时间，再计算单个周期的时间。为了减小人工计数的实验误差，采用光电门进行周期的计数。实验中测量上下圆盘的半径较为困难，因此分别测量了上下圆盘的悬线点之间的距离a和b，再根据计算出下圆盘半径 r，根据计算出大圆盘的半径R。另外，使用米尺测量悬线长度，使用FA/JA电子天平测量圆环和圆盘的质量。

3 用Matlab软件处理实验数据的探

3．1 数据记录表1～表2

H0=(46．44 ± 0．05)× 10－2m，下圆盘质量m0=(456．93 ± 0．10)× 10－3kg，待测圆环质量m=(0．200 ± 0．002)kg。

表1 累积法测周期数据记录参考表格

表2 有关测量数据及圆环的转动惯量结果记录表

3．2 Matlab软件的具体计算程序和计算结果

(1)把多次测量的实验数据记录在Excel表格中，包括下圆盘摆动50个周期所需要的时间、下圆盘和圆环一起摆动50个周期所需要的时间、上圆盘悬孔间距a、下圆盘悬孔间距b和圆环的内外直径2R2和2R1。保存数据的Excel文件名是:data．xls，与Matlab软件的计算文件放在同一个目录中(E盘根目录中)。data．xls文件中的具体内容是:

表3 Matlab计算结果

(2)编写了三线摆法测量圆环转动惯量的Matlab程序，且对编写的程序进行了描绘和说明，说明语句以%开头。具体内容是:

%以a开头的变量是对应的平均值，以d开头的变量是对应的不确定度。例如:T0矩阵是下圆盘摆动50个周期的时间，a_T0是T0的平均值，d_T0是T0的不确定度

%下圆盘50个周期

%下圆盘加圆环50个周期

%上圆盘两个悬点之间的距离(单位厘米)

%下圆盘两个悬点之间的距离(单位厘米)

%圆环外直径(单位厘米)

%圆环内直径(单位厘米)

%下圆盘质量(单位:kg)

%圆环质量(单位:kg)

%绳子长度，单位:米

%onea_T0:下圆盘一个周期

%onea_T1下圆盘和圆环一个周期

%real_R1:圆环外半径

%real_R2:圆环外半径

%r上圆盘半径

%R下圆盘半径

%实验测量的转动惯量

%理论计算的转动惯量

%百分差

(3)运行Matlab软件后，data．xls文件中的数据可以自动导入Matlab软件中。经过Matlab软件的处理，可以快速准确地得到所需要的计算结果，如表格3所示，百分差和相对不确定度分别是1．7%和1．1%。另外，手工计算了三线摆法测量圆环转动惯量的百分差和相对不确定度，分别是1．7%和1．2%，略微大于Matlab软件计算的相对不确定度，也验证了Matlab软件计算结果的正确性。

表3 Matlab软件计算结果列表

4 结 论

用三线摆法测量圆环转动惯量的仪器易于操作、实验设备简单。在实际中，测量的实验数据多，且人工处理数据的过程比较繁琐，容易出错。用Matlab软件处理数据可避免繁琐的数学计算，能够快速、精确地得到测量结果，提高了我们的数据处理能力。

［1］ 杨述武，赵立竹，沈国土．普通物理实验(Ⅰ力学·热学部分)［M］北京:高等教育出版社，2007．

［2］ 关波，朱瑜，左安友．三线摆转动角度控制装置的设计［J］．大学物理实验，2013，2(10):31-32．

［3］ 竺江峰，鲁晓东，夏雪琴．大学物理实验［M］北京:中国水利水电出版社，2011．

［4］ 段晓勇，单永明．光的干涉和衍射的Matlab数值模拟［J］．大学物理实验，2012，25(3):95-97．