浅谈猜想、验证在数学教学中的合理运用

唐晓宇

数学教学不仅要让学生理解基础知识，形成基本技能，更要让学生在获取数学知识的同时掌握一定的数学思想方法、形成科学探究数学的态度，这是当前小学数学教学的价值取向。其中，数学猜想作为一种创造性的思维活动，受到小学数学老师的追崇，很多老师都喜欢把“猜想—验证”作为知识的探究过程。但并非所有数学课上的猜想都能称作数学猜想，也并非所有的猜想都值得去验证，所以“猜想—验证”在数学教学中绝不能滥用。下面笔者就以曾听的苏教版四年级上册《找规律》一课为例，谈谈自己的一些粗浅想法。

我们先来看这节课的几个教学环节。

1.观察彩带，感知一一间隔

教师出示红蓝相间的一条长彩带（结尾看不见），引导学生观察，借助“彩带总是一个红格隔着一个蓝格排列” 的感知，认识“一一间隔”排列。

2.引发猜想

（1）学生猜一猜彩带的红格和蓝格在数量上有什么关系。（板书：猜想）

（2）学生提出“红格和蓝格的数量相等”“红格比蓝格多1个”“蓝格比红格多1个”“红格比蓝格多2个”的四种猜想，教师一一板书。

（3）教师指出这些只是同学们凭着自己的经验或感觉作出的猜想，可能是对的，也可能是错的，需要进行验证。（板书：验证）

3.验证

（1）教师提供研究素材：彩带的一小段、两端是夹子的夹子手帕图、两端是木桩的木桩网块图、两端分别是小兔和蘑菇的小兔蘑菇图、两端分别是盆花和仙人掌的盆花仙人掌图，学生选择其中一种进行研究：看一看两种物体的排列、数一数每种物体的数量、想一想它们的数量关系。

（2）集体交流，黑板上贴出相应的研究图片。

（3）引导学生观察、比较、归纳，发现规律：“两种物体一一间隔排列，当两端物体相同时，这两种物体数量就相差1个；两端物体不同时，它们的数量相等。”同时指出，刚才“红格比蓝格多2个”的猜想是不正确的，其余都是成立的。

4.操作明理

（1）让学生分别按要求用小棒和圆片摆一摆。（要求1：小棒和圆片一一间隔排成一行，且数量相差1个。要求2：小棒和圆片一一间隔排成一行，且数量相等。）

（2）结合小棒和圆片的操作，引导学生理解“两种物体一一间隔排列，也就是两种物体一一对应着排列。当两端物体相同，两种物体一一对应，最后多出一个；当两端物体不同，两种物体一一对应，正好对完，所以数量相等”。

5.回顾反思

教师引导学生总结规律并回顾整理找规律的过程：“……首先我们大胆地提出了猜想，然后通过具体例子进行验证、总结规律。很多数学规律都可以这样去研究。”

……

上述教学沿着“猜想—验证”的思路展开找规律的过程，表面上看似乎很流畅，但细细品味，笔者认为这样的“猜想—验证”是存在问题的：

首先，要正确认识什么是数学猜想。猜想是在对研究的对象、问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等基础上，依据已有的材料及知识作出符合一定经验与事实的合情推理。虽然有时它可以在灵感或直觉中闪现出来，但如果没有数学事实作根据，随心所欲地胡猜，得到的命题就不能称为数学猜想。上述课堂，在研究“一一间隔”排列的两种物体的数量关系前，让学生先猜一猜，能够激发学生的求知欲和学习的主动性，为学生的自主探究提供条件。然而，仅由一条彩带引发关于红格和蓝格数量关系的猜测，学生缺乏知识经验和数学思考的支撑，就会盲目瞎猜，把所有的可能都猜出来，把这些猜测结果都作为数学猜想，并对其进行验证，也是不严谨、不妥当的。这里的猜想只是对某一具体问题结果的猜测，如果把它作为具有普遍性的规律，逻辑上是存在问题的。

其次，要从学的角度理清找规律过程，从中发现物体排列规律到物体数量关系之间的逻辑关系。本课是首次引导学生探索日常生活现象中隐含的“一一间隔”排列规律，教材先通过呈现生动的情境，让学生观察若干个具体现象，体会它们的相同特点，初步感受间隔规律。同时借助9块手帕10个夹子、7个蘑菇8只兔子、12个篱笆13根木桩这三组数据，初步发现一一间隔排列的两种物体间的数量相差1的规律。然后通过摆小棒和圆片的操作活动，引导学生在对小棒和圆片个数之间关系的讨论中进一步感知规律，并将这一规律与前面例题中的相关问题建立联系，感受有关规律的普遍意义，即建立数学模型。因此，教学时应当本着从具体到抽象、从感性到理性、从特殊到一般的认知规律，让学生沿着从生活中的问题到数学问题、从了解特殊关系到发现一般规律的轨迹充分地经历观察、比较、归纳、操作等探索活动，逐步发现“一一间隔”排列的两种物体之间的数量关系，而不是生搬硬套，凡遇猜测都去验证。否则，就是将“猜想—验证”泛化和庸俗化，是对教材和教学方法的一种误解，更是对学生的一种误导。

为避免上述问题的存在，笔者认为本课的教学可作如下改进：

1.观察归纳，认识一一间隔

由彩带认识“一一间隔”后，再通过改编的教材情景图以及教室内的现象例举，丰富学生对“一一间隔”排列的认识。

2.猜一猜，引发探究

学生猜测彩带上红格和蓝格个数之间的关系。（学生提出了3个猜测：红格多1个，蓝格多1个，数量相等。）

3.合作交流，探究发现

（1）教师引导学生选择同样的短彩带进行研究，通过观察、比较，发现“两端颜色相同，红格和蓝格的数量就相差1个；两端颜色不同，红格和蓝格数量就相等”。

（2）引导学生研究情景图上的例子，通过观察、比较，进一步发现“两种物体一一间隔排列，当两端物体相同时，这两种物体数量就相差1个；两端物体不同时，它们的数量相等”。

（3）归纳明理

用小棒和圆片分别代表两种物体按要求摆一摆，然后加强联系，归纳规律。最后，结合操作，引导学生观察、比较、分析，理解规律的本质。发现规律后引导学生简单回顾研究过程及方法，并用规律解答彩带问题，照应先前猜测。

……

改进后的教学仍然有学生的猜一猜，但因为有丰富的感性材料作基础，所以这里的猜是有思考的。猜一猜后以三个层次展开探究：选取小段彩带研究，初步感知规律；研究情景图上的例子，进一步发现规律；按要求摆小棒和圆片总结归纳、理性分析和认识规律。整个过程没有贴上猜想—验证的标签，而是按照“猜猜结果、展开研究”的顺序逐步发现规律，对于本课而言，这样的找规律才是真实而合乎逻辑的。endprint