从一道2013年高考选择题入手全面认识三次函数

黄文虎

摘要：认真研究高考试题，活化高考试题，举一反三，触类旁通，可以使高三数学课堂教学丰富、鲜活、高效，精彩纷呈。

关键词：三角函数；高考选择题；学生

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）04-0124

导数在研究函数中的应用是高考的热点、重点和难点，在很多省市的高考说明中明确确定利用导数研究函数的单调性、求函数的极值和最值，对于多项式函数不超过三次。

一、探析

2013年新课标全国卷Ⅱ第10题更是全面揭示了三次函数的图象和性质

【例1】 （2013·新课标全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）。

A. x0∈R，f（x0）=0

B. 函数y=f（x）的图象是中心对称图形

C. 若x0是f（x）的极值点，则f（x）在区间（-∞，x0）上单调递减

D. 若x0是f（x）的极值点，则f ′（x0）=0

所以为选择题，C，D选项的真假比较容易判断，例如函数y=x3-3x的极大和极小值点分别是x=-1，或x=1，但y=x3-3x在（-∞，-1）和（-∞，1）上并不是单调递减的，C选项是错误命题，故选C。若f（x）是（-∞，+∞）上可导函数，且在x=x0处取得极值，则一定有f ′（x0）=0，因此D选项是正确命题。（但应注意一般来说“函数y=f（x）在x=x0处取到极值”是“f ′（x0）=0”的既不充分也不必要条件，比如函数y=|x|在x=0处取到极小值但y=|x|在x=0处不可导，再如y=x3在x=0处的导数y′|x=0=0，但y=x3在x=0处不存在极值。

而对于A，B两个选项的真假很多学生是难以把握的，对于选项A，由于f（x）=x3+ax2+bx+c在（-∞，+∞）上是可导函数，又limx→+∞ （x3+ax2+bx+c）=+∞；limx→+∞ （x3+ax2+bx+c）=-∞，因此f（x）=x3+ax2+bx+c在（-∞，+∞）上一定是存在零点的（零点的个数可以是1，2，3）；一般情况下，对于选项B正误的判断，教师和学生是很少看到的，下面是选项B的判断过程：

其实在前些年的高考题中，也不乏对三次函数图象是中心对称图形的考查.

【例2】已知函数f（x）=x（x-a）（x-b）在x=s，x=t处取到极值，其中a>0，b>0，设A（s，f（s））B（t，f（t）），求证AB中点M在曲线y=f（x）上。

证明：由已知f（x）=x（x-a）（x-b）=x3-（a+b）x2+abx，

f ′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，

f ′（s）=0，f ′（t）=0，

即3s2-2（a+b）s+ab=0 ①3t2-2（a+b）t+ab=0 ②

即A（s，f（s）），B（t，f（t））中点M在曲线y=f（x）上还可证明M是曲线y=f（x）的对称中心，这问题给出了已知极值求函数图象对称中心的方法。

【例3】已知f（x）=x3-x。

（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；

（2）设a>0，如果过点P（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明-a

解（1）f ′（x）=3x2-1，f ′（t）=3t2-1

曲线y=f （x）在点M（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=（3t2-1）（x-t），即y=（3t2-1）x-2t3

第（1）问求过三次函数图象上一点的切线方程，由

y=x3-xy=（3t2-1）x-2t3，

联之消去y，可得（x-t）2（x+2t）=0，

因此，当t=0时，x=0；当t≠0时，x=t或x=-2t，

由此，可知道：（1）过平面内一点P作三次函数图象的切线可以是一条，两条或三条；（2）当P点在三次函数图象上时，过三次函数图象上一点作三次函数图象的切线，切线可以是一条或两条；当切线有且只有一条时，则P点就是三次函数图象的对称中心。

三、拓展

以上问题都揭示了三次函数图象是中心对称图形，同时也给出了对称中心的求法：（1）配方法；（2）利用极值点；（3）利用曲线的切线。由于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象的对称（下转第115页）（上接第124页）中心也恰好是拐点，也可由f ′（x）=0的解求出图象的对称中心。

近些年高考频繁对三次函数进行了全方位的考查，笔者只是根据各地考题从一个侧面和读者分享对三次函数图象和性质的认识和体会，我们有必要以研究三次函数的图象和性质为依托，进一步研究多项式函数（2013年新课标全国卷Ⅰ第16题出现了四次函数）和类似于三次函数（如f（x）=（x2-2ax）ex，a≥0）等问题，以达到举一反三、触类旁通的目的。

参考文献：

[1] 胡国生. 研究高考试题的五种视角[J].中学数学（教学参考），2013（11）.

[2] 孙向荣. 一类倍值函数问题的研究[J].中学数学（教学参考），2013（11）.

（作者单位：浙江省浦江县第二中学 322200）