新课标下用辩证思想求解数学题

李汉斌

（甘肃省白银市艺术中学，甘肃 白银 730900）

数学中充满着矛盾，也处处渗透着辩证法.于是解决矛盾的过程不但是一个运用辩证法的过程，也是推动数学向前发展的过程.因此，在中学数学教学中，教师要善于引导并培养学生学会运用辩证的思想方法来探索问题、研究问题、解决问题.本文就如何运用辩证思想解决数学问题谈点浅见.

一、运用具体与抽象的辩证关系解题

把抽象的问题同相应的感性经验材料联系起来，给以具体的数学模型，然后通过对这些模型的研究和分析，达到解题的目的.

例1：对空间中的任意一个锐角三角形，证明：一定可以找到这样一点，使得此点对三边所张的角都是直角.

分析：这是一个较为抽象的数学证明题，直接入手感到困难，不易说清楚，但若能联想到“长方体的一个角”这样的数学模型，问题就变得具体化了，于是问题可以转化为：从空间一点O发出了三条互相垂直的射线，证明：在每条射线上各取一点A，B，C能使△ABC和已知的锐角三角形全等.（证明从略）

二、运用特殊与一般的辩证关系解题

普遍性寓于特殊性之中，特殊问题得到了解决，一般问题解决就有了切入点.

例2：已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α，β是常数，且α、β∈[0，π]，α＞β，求α，β使f（θ）是与θ无关的定值.

分析：当α，β取某个特殊定值时f（θ）才与θ无关，不妨让一般的θ取某些特殊值，例如：f（0）=sin2α+sin2β，f=1+cos2α+cos2β，f（-α）=sin2α+sin2（α-β），f（-β）=sin2β+sin2（α-β），

特殊问题与一般问题不是截然划分的，从辩证的角度看，一般问题的解决有赖于从特殊问题的思考中发现线索；一般问题解决以后，又可以解决更多、更新的特殊问题.

例3：比较两个幂20112012和20122011的大小.

三、运用静止与运动的辩证关系解题

辩证法告诉我们，运动是绝对的，静止是相对的，它们在一定条件下可以互相转化，我们要善于利用动与静之间的辩证关系去指导解题.

分析：这是无理方程，按常规要经过两次移项且两边平方才能全部脱去根号，转化为有理方程，运算复杂.若把方程转化为，令y2=5，则方程可以转化为椭圆方程，由相关理论得到椭圆的标准方程=1，可方便得到

例5：一个长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆在第一象限内滚动，且始终与x轴及y轴相切，求椭圆中心O'的轨迹方程.

分析：使动椭圆、静坐标系相互转化，即使椭圆固定，而与之相切的两坐标轴转动，此时问题归结为一道熟悉的题目：椭圆b2x2+a2y2=a2b2的两条互相垂直的切线交点轨迹是圆：x2+y2=a2+b2.原坐标原点转化为两切线的交点，由此找到了原点O'与椭圆中心O'之间的距离关系，然后再回到原坐标系，因椭圆恒在第一象限内滚动，且椭圆中心O'到坐标原点O的距离是定长故椭圆中心O'的轨迹是位于第一象限内的一段圆弧：x2+y2=a2+b2（b≤x，y≤a）.

四、运用整体与局部的辩证关系解题

有些数学问题，如果只在整体或局部中周旋，往往思维杂乱，难以获解.这时若能从整体深入到局部或把局部拓展为整体，解题思路会豁然开朗.

例6：已知ai∈R+（i=1，2，Λ，n），且a1+a2+Λ+an=1，

分析：本题若从整体上思考，则难以下手，但若局部考虑，各个击破，很快获证.

例7：不定方程w+x+y+z=8的正整数解的个数有多少?

分析：容易想到的办法就是枚举，当然四者之和为8不是一个很大的数，可以列举出来；当和数比较大时，此方法没有实际意义.如果整体思考，把w，x，y，z看作一个整体，将8化为直观状态即8个1，形如（* * * * * * * *），在这8个点的7个空隙中有变化地插入3个隔板，每次将8个点分成四份，每份就是方程的一组解，由此问题就变成了组合问题，所求的正整数解的个数应是，此方法具有一般性.

五、运用等式与不等式的辩证关系解题

等式和不等式是两个不同的概念，它们之间既有区别又有联系，它们之间可以相互转化，若在解题实践中予以重视，往往既能简化解题过程，又能提高学生的思维素质，可作为一种数学方法运用.

例8：整数a，b满足a2+b2+2＜ab+3b，求a，b的值.

解：原不等式等价于a2+b2+3≤ab+3b，配方得，此不等式等价于，立得a=1，b=2。

利用等式和不等式的相互转化实现了问题的解决.