具有时滞和分段常数变量的比率型密度制约模型的分支分析

尚随明, 陈斯养

(陕西师范大学 数学与信息科学学院， 陕西 西安 710062)

0 引言

生态系统中带有分段常数变量的微分方程模型由于其具有较强的现实背景及意义，近年来受到生态数学学者的广泛关注.文献[1-5]详细讨论了几类种群动力学的复杂行为，文献[6-8]简单介绍了具有分段常数变量的Logistic模型

(1)

文献[9,10]详细讨论了模型(1)的稳定性和分支问题.文献[11]研究了一类具有密度制约并带有分段常数变量的单种群模型

的稳定性.考虑到实际因素对种群的影响(如时滞因素)，文献[12]研究了模型

的稳定性，关于此模型的相关讨论亦可见文献[13,14].文献[15]中讨论了具有时滞和分段常数变量的单种群模型

正解的全局吸引性，正平衡态的存在唯一性与稳定性.

在生态模型中，密度制约往往呈现比较复杂的变化形式,本文讨论了具有时滞和分段常数变量的比率型密度制约单种群模型

(2)

正平衡态的稳定性、分支的存在性及其方向和稳定性.当n

对上式关于t积分得

令t→n+1，即得与(2)等价的差分方程

(3)

当m=0，c=0时模型(3)即为经典的Logistic差分方程模型.其中r表示种群的内禀增长率，a，c表示[t-m]时刻种群的密度制约系数，且a，c，r∈R+.

1 正平衡态稳定性与分支存在的条件

本节选取內禀增长率r为分支参数，讨论了模型(3)在m=0和m=1及m=2三种情况下正平衡态的稳定性及分支存在的条件.

1.1 m=0时正平衡态稳定性与分支存在的条件

模型(2)在m=0时由(3)知其差分方程为

(4)

设是x*是(4)的正平衡态，则

证明:模型(4)在x*处的线性化方程为

1.2 m=1正平衡态稳定性与分支存在的条件

模型(2)在m=1时知其对应的差分方程为

(5)

证明:模型(5)在x*处的线性化方程为

x(n+1)=x*+(x(n)-x*)+

(6)

1.3m=2时正平衡态稳定性与分支存在的条件

模型(2)在m=2时由(3)知其差分方程为

(7)

证明:模型(7)在x*处的线性化方程为

2 分支的方向、稳定性和规范型

令则y(n)=x(n-1)则(5)等价于

(8)

作映射

X→A0X+F(X)

(9)

在正平衡态E(x*,y*)处的Taylor展开式为

由映射(9)经计算可得

根据文献[13,17]可得如下定理4.

对于m=2时的情况，应用m=1时的基本思想，可得以下定理5.

3 数值模拟

本节给出举例与数值模拟，运用MATLAB软件绘制出分支图、稳定图、解图和最大李雅普诺夫指数图，从而验证理论的正确性.

例1m=0时选取a=0.5，c=10，x*=2，则在042时正平衡态不稳定，模型(5)分支图如图1所示，随着r变化的最大李雅普诺夫指数图如图2所示，取r=39.022<42时得到稳定图如图3所示.

图1 以r为分支参数的分支图

图2 最大李雅普诺夫指数图

图3 r=39.022<42时n-x稳定图

例2m=1时选取a=0.9，c=2，x*=1.11,最大李雅普诺夫指数图(如图4所示)以及对应的分支图(如图5所示)当r=3.061 1<3.222 2稳定解图(如图6所示)；当r=3.222时对应的N-S 分支图 (如图7所示).

图4 最大李雅普诺夫指数图

图5 随着r变化的分支图

图6 r=3.061 1<3.222 2时x-y稳定图

图7 r=3.222 N-S分支图

4 总结

本文对模型(2)当m=0，m=1，m=2时，讨论了模型正平衡态的稳定性和分支存在性，应用Jury判据得到对应差分方程模型正平衡态的稳定性与分支条件，运用中心流行定理计算出N-S分支的规范型.通过数值模拟验证理论的正确性以及生物系统动力学行为的复杂性.基于第一部分的分析和第二部分的计算可知，本文模型的分支值随着m的增大而减小，第三部分的绘图也验证了这一结论.

[1] 黄晓宇，陈斯养.具有时滞及分段常数变量苍蝇模型的Flip分支[J].陕西科技大学学报(自然科学版),2012,30(5):129-134.

[2] 刘 敏,陈斯养.具有收获和分段常数变量的捕食被捕食模型的分支分析[J].云南师范大学学报 (自然科学版),2013,33(5):41-47.

[3] 陈斯养，靳 宝.具有时滞分段常数变量与干扰比率模型的分支分析[J].西北大学学报(自然科学版)，2013,43(4):517-523.

[4] 刘晓娜，陈斯养.具有时滞的捕食-被捕食模型的稳定性及Hopf分支[J].陕西科技大学学报(自然科学版),2011,29(2):154-160.

[5] 杨颖茶, 陈斯养.一类二阶非自治时滞微分方程的线性振动[J].陕西科技大学学报(自然科学版),2006,24(5):119-123.

[6] 陈兰荪，宋新宇，路征一. 数学生态学模型与研究方法[M].成都:四川科学技术出版社，2008.

[7] 唐三一,肖燕妮.单种群生物动力系统[M].北京：科学出版社,2008.

[8] Kot M．Elements of mathematical ecology[M].London:The Cambridge University Press,2001.

[9] R.M.May.Biological population obeying difference equation:stable points,stable cycles and chaos[J].Journal of Theoretical Biology,1975,51(2):511-524.

[10] R.M.May,Oster G F.Bifurcation and dynamics complexity in simple ecological models[J].The American Naturalist,1976,110(974):573-579.

[11] Gopalsamy K,Pingzhou Liu.Persistence and global stability in a population model[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1998,224(1):59-80.

[12] Kocic V L ,Ladas G.Global behavior of nonlinear difference equation of higher order with application[M].Oxford：Oxford University Press,1991.

[13] J.Guckenheimer,P.Holmes.Nonliner oscillations,dynamical systems and bifurcations of vector fields[M].New York:Springger-Verlag,1983.

[14] Gopalsamy K.Stability and oscillation in delay difference equation of population dynamics[M].Dodrecht: Kluwer Academic Publishers,1992.

[15] Gurcan F,Bozkurt F.Global stability in a population model with piecewise constant arguments[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2009,360(1):334-342.

[16] 王 联，王慕秋.常差分方程[M].新疆:新疆大学出版社,1989.

[17] Yuri A.Kuznetsov.Elements of applied bifurcation theory[M].New York:Springer-Verlag,1998.