定时截尾样本下两参数指数-威布尔分布的可靠性Bayes估计

薛娇，常胜，邓丽

(兰州交通大学数理与软件工程学院，兰州 730070)

定时截尾样本下两参数指数-威布尔分布的可靠性Bayes估计

薛娇，常胜，邓丽

(兰州交通大学数理与软件工程学院，兰州 730070)

将可靠度R和失效率λ分别看成随机变量或是关于随机变量θ的函数;首先求出了指数-威布尔分布的可靠度和失效率的极大似然估计;然后根据参数θ的后验密度求出可靠度和失效率的后验密度;进一步在Entropy损失函数下求出了可靠度和失效率的Bayes估计，并给出了可靠度和失效率的E-Bayes估计;最后进行实例模拟。结果表明:Entropy损失下的Bayes估计较极大似然估计好。

指数-威布尔分布;Entropy损失函数;可靠度;失效率;极大似然估计;Bayes估计

随着科学技术的迅速发展，在生物学、工程学、航天学和医学等领域中，出现了一种非单调失效率的分布，例如浴缸型失效率、单峰型失效率等，其中服从浴缸型失效率分布的产品表现为在使用初期有着很高的失效率，但是随着使用时间的延长，失效率就趋于稳定，最后由于产品的损耗，失效率又逐步增加。鉴于此种情况，Mudholkar和Srivasta［1］于1993年首次提出了指数威布尔分布EW(α，θ)。由于其具有良好的非单调失效性质，较好地解决了上述存在的问题，在研究各类寿命的数据分布时得到了广泛的运用。例如:黄傲林，叶林军［2］研究了指数-威布尔分布在船舶装备故障率方面的应用;张秋华［3］运用威布尔分布研究了产品失效时间的预测。

对于失效率和可靠度估计的讨论，以往都是将参数的估计取代可靠度表达式中相应位置的参数，如:王建华、夏小艳［4］研究了无失效数据情形下指数分布的贝叶斯估计的性质;李翔、韦来生［5］介绍了定数截尾情形下指数分布的参数型经验贝叶斯(PEB)估计;刘超男［6］讨论了两参数指数威布尔分布参数的Bayes估计及其可靠性分析。但对于指数-威布尔分布的可靠性分析的文章还不多见。本文主要讨论当参数a已知时，参数θ、可靠度、失效率等的极大似然估计(MLE)，然后将可靠度R和失效率λ分别看成随机变量，或者将其看成关于随机变量θ的函数，讨论其在Entropy损失下的Bayes估计以及E-Bayes估计。首先设指数-威布尔分布的分布函数为

1 指数-威布尔分布的可靠度和失效率的极大似然估计(MLE)

对式(6)两边分别取对数得指数-威布尔分布的似然函数的对数为对式(7)关于参数θ求导并令其为0，则有

2 Entropy损失函数下指数-威布尔分布的可靠性Bayes估计

定义2［10］r．v．T服从密度函数为f(θ，t)的分布，其中θ为参数，如果δ是θ的判别空间中的一个估计，则Entropy损失函数定义为如下似然比对数的数学期望:

引理1［11］设r．v．T～f(t，θ)，θ∈Θ，L(θ，δ)为某统计决策问题的损失函数，参数θ的先验分布为G(θ)，若损失函数为δ的严格凸函数，则该统计判决问题的Bayes解是唯一的。

证明在Entropy损失式(14)下，决策函数δG(t)的Bayes风险为

3 Entropy损失函数下指数-威布尔分布可靠性E-Bayes估计

4 实例模拟

设某产品的寿命X服从指数威布尔分布式(1)，已知a0=2，θ=1．5，x=0．2，则t=0．04，即T服从指数威布尔分布式(2)，且θ=1．5，t=0．04。在θ的先验分布中，取α=1，β=2，此时求得可靠度R和失效率λ的真值为:R(t)=0．895 966，λ(t)=0．613 2。

由上述例子可知:当样本容量较小时，Entropy损失下的Bayes估计比极大似然估计能更好地接近可靠性指标的真值;当样本容量较大时，两者均为可靠性指标的较好估计，但是Bayes估计较接近真值，因此Entropy损失下的Bayes估计较极大似然估计要好。

［1］Mudholkar G S，Strivastva D K.Exponentiated Weibull family for analyzing bathtub failure-rate date［J］.IEEE Trans，Realiability，1993，42(2):299-302.

［2］黄傲林，叶林军.基于威布尔分布的船舶装备故障分析［J］.船舰电子工程，2007(1):180-183.

［3］张秋华.寿命服从威布尔分布的产品失效时间的预测［J］.池州学院学报，2011，25(2):7-9.

［4］王建华，夏小艳.指数分布参数多层Bayes估计及其E-Bayes估计的性质［J］.应用数学，2008，20:33-36.

［5］Lindiey D V.Approximate Bayesian Methods［J］.Bayesian statistics Valency，1980，20:224-245.

［6］刘超男.两参数指数威布尔分布的参数Bayes估计及其可靠性分析［D］.长沙:中南大学，2008.

［7］Rameshwar D.Gupta and Debasis Kundu.Discriminating between Gamma and Generalised Exponential Distribution［J］.Journal of statistical computation and simulation，2004，274(2):107-121.

［8］茆诗松，王静龙，濮晓龙.高等数理统计［M］.2版.北京:高等教育出版社，2006.

［9］曹晋华，程侃.可靠性数学引论［M］.北京:科学出版社，1986.

［10］方开泰，许建伦.统计分析［M］.北京:科学出版社，1987.

［11］Yang J，Yu X.Existence of solution for a semi-linear elliptic equation in RNwith sign-changing weigh［J］.Advanced Nonlinear studies，2008，8(2):401-412.

［12］刘超男，刘小慧，郭艳.熵损失函数下两参数指数威布尔分布尺度参数的Bayes估计［J］.数学理论与应用，2008，28(4): 54-57.

［13］韩明.Pascal分布参数估计［J］.纯粹数学与应用数学，2006，2(4):510-514.

［14］韩明.多层先验分布的构造及其应用［J］.运筹与管理，1997，6(3):31-40.

(责任编辑 刘舸)

Reliability Bayes Estimation of Two-Parameter Exponential-Weibull Distribution Based on Fixed Time Censoring Sample

XUE Jiao，CHANG Sheng，DENG Li
(School of Mathematics，Physics and Software Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)

In this paper，reliability R and failure rate λ are regarded as random variables，or as function with a random variable θ.Firstly the Maximum Likelihood estimations of R and λ for Exponential-Weibull Distribution are solved.Then the posterior densities of R and λ are obtained according to the posterior density of parameter θ.The Bayes estimation and E-Bayes estimation of R and λ are solved under the Entropy loss function.At last，by the instance simulation，the result shows that the Bayes estimation under the Entropy loss is better than the Maximum Likelihood estimation.

Exponential-Weibull distribution;Entropy loss function;reliability;failure rate;maximum likelihood estimation;Bayes estimation

O212

A

1674-8425(2014)08-0132-08

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.08.027

2014-03-18

甘肃省自然科学基金资助项目(1208RJZA111)

薛娇(1989—)，女，甘肃兰州人，硕士研究生，主要从事应用概率与随机分析研究。

薛娇，常胜，邓丽.定时截尾样本下两参数指数-威布尔分布的可靠性Bayes估计［J］.重庆理工大学学报:自然科学版，2014(8):132-139.

format:XUE Jiao，CHANG Sheng，DENG Li.Reliability Bayes Estimation of Two-Parameter Exponential-Weibull Distribution Based on Fixed Time Censoring Sample［J］.Journal of Chongqing University of Technology: Natural Science，2014(8):132-139.