重视平面几何教学，提高学生思维能力

邱超文

摘 要：平面几何教学是初中数学教学的一个难点，该文从学生学习平面几何产生困难的原因入手，加强针对性教学，激发学生的学习兴趣，抓好基础知识的学习和基本技能的训练，提高学生思维能力，学好平面几何知识。

关键词：平面几何 学习兴趣 思维能力

中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）02（a）-0140-02

平面几何是中学数学的基础科目，是使学生掌握数学思维方法，养成良好思维品质的重要组成部分。该文从分析学生学习平面几何产生困难的原因以及如何帮助学生克服这些困难作一个初步的探讨。根据我的教学实践，学生学习平面几何产生困难的原因主要有：

（1）不明确学习概念、公理、定理的重要性与必要性。

几何推理论证的根据是命题中的题设与学过的定义、公理、定理。如果不明确它们的重要性与必要性，就必然不理解与熟悉它们，导致在需要进行推理论证的时候想不起已学过的定义、公理、定理，就更不会运用它们去解决问题。

（2）不会正确作出符合题意的图形和分析图形的特点。

几何命题就是把公理或定理用数学语言表达出来的一种语句。无法作出符合题意的图形，就无法分析图形的特点，则对命题的推理论证无从下手。

（3）不清楚作辅助线的目的性。

（4）没有掌握几何推理的主要方法以及推理过程中一些常用的思维方法。

平面几何的推理方法主要是假言推理，并在推理过程中常涉及猜想与论证、分解与组合、特殊与一般、静止与变动、分析与综合、联想与推广等一些具体的思维方法，而学生却往往忽视了。

（5）不了解平面几何的体系、结构与主要的学习方法。

几何学是建立在公理化体系基础上的一门学科。整个几何学就是一系列定义、公理、定理等所构成的一个有机整体。学习几何的主要方法就是正确地进行推理论证。如果学生对这些缺乏了解，就不知道自己正在做什么与应该做什么。

针对上面出现的问题，从以下几个方面提出解决问题的几点看法。

1 激发学生学习几何的兴趣

心理学认为：兴趣是探究某种事物或进行某种活动的倾向。兴趣是求知的起点，是思维的培养和能力的提高的内在动力。能够激发学生的学习兴趣，几何的教学就成功了一半，做法有两点：

（1）让学生动手。把学过的定义、公理、定理与看图、作图有机地联系起来，让学生在动手中学习。例如，作三角形的三条角平分线，观察这三条角平分线的位置，去认识定理“三角形的三条角平分线相交于一点”。这既包含了作图、看图，又了解了定义、定理等方面的知识，而且印象深刻。

（2）让学生动脑。把学习图形的性质和猜想与论证结合起来。例如，学习等腰三角形的性质，先作出等腰三角形的顶角平分线，去猜想图形的性质。学生不难发现等腰三角形两底角相等，继而发现三线合一，进一步懂得等腰三角形是以顶角平分线为对称轴的轴对称图形，然后让学生对自己的猜想给出证明。这就要根据定义、公理、定理结合图形的特点去思考问题。使运用旧知识与学习新知识融为一体，达到多种训练的目的。这也是进行几何定理教学的一种比较好的方法。

2 抓好基础知识的学习和基本技能训练

2.1 看图练习

这既是基本技能的训练，也是熟悉和掌握基础知识的一种手段。如果对复杂图形中的局部有哪些图形看不清，就谈不上利用图形去证明。在教学中，我们可加强这些基础的训练。例如，观察图1中有几条线段、几条射线和图2中有几个角.这些看似简单的练习既要运用学过的定义、公理和定理，还要较细致地观察、分析以及掌握寻找的规律，这就促使学生平时注意观察与分析图形的特点，为证明打下基础。（如图1～图3）

2.2 结合一些基本图形，整理和记忆图形的性质

在平面几何里，有一些特殊的图形能反映某种图形的性质，称为基本图形。例如图3，图中不仅有直角相等，而且图形的线段不仅反映了斜边最长，还体现了计算面积的两种方法；图形中有三个互相相似的三角形，还可以记住勾股定理和射影定理。当然这些图形的性质的认识并不是一次完成的，而是随着学习的进度不断添加新的内容。这样做使知识与技能得到融合，不仅分类整理记忆了知识，而且通过记忆为数不多的若干基本图形可以使学生产生一种几何直觉能力，在解几何题时根据给出的图形迅速做出反应，联想图形的性质，找到解题的突破口。

2.3 重视作图的作用

因为只有作出准确、规范的图形才便于发现和猜想图形的性质。因此要求学生必须尺规作图。可以分几个阶段进行：①学习什么图形就要求学生用尺规作出什么图形。②要求学生对没有图形的题目作出符合题意的图形，这样的图形可能有几个。如：已知点P在直线AC上，且点F、D在直线AC的同侧，∠APF=∠CPD，PE平分∠DPF，作出符合题意的图形（如图4），这样的图形有两个。

③作出满足若干条件的图形。例如，作梯形ABCD，使AD=2 cm，底BC=4 cm，对角线AC=6 cm，BD=3 cm。（如图5）

这个作图要用到分析法和平移的思想，这是较之几何证明题更具有综合训练性质的练习，更能锻炼与发展学生的逻辑思维能力。

2.4 命题的教学

只要求学生明确以下几点：（1）命题有真命题与假命题。公理和定理都是真命题。（2）一个命题一般都可以写成条件命题（如果…，那么…）形式。（3）一个条件命题由题设与结论构成。（4）把条件命题的题设与结论对换，所得的为原命题的逆命题。（5）条件命题有四种形式：原命题是真，逆命题与否命题不一定是真，但互为逆否的两个命题等价。

3 加强证明训练

（1）定理教学的着眼点不是重复课本的证明过程，而是讲清楚为什么这样证明。教材中的定理大都只有证明过程而省略了分析过程，教学中要着重给学生讲清这个证明是怎样想出来的？这就要加强用分析法（由果索因）的证题方法的指导，这样思路比较单一和清晰，容易为初学几何的学生接受。endprint

（2）结合教材进度，选择强化证明训练的适当时机。如学习相交线与平行线之后、学完全等三角形以后、学完四边形、相似三角形等等，都可以进行强化训练，但每次训练都应有具体的要求与目标。

（3）及时总结解题的经验，指导学生选择最好的证明方法。这包括一些常用的辅助线，有代表性的基本图形、重要定理的使用方法，某类图形的一般解法。然后抓住一题多解做文章，指导学生怎样找到最简单的方法。

（4）重要定理的教学。这主要是有计划分层次地安排。如三角形中位线定理可分以下几个层次进行：①定义与定理的内容及其基本应用；②在已知有线段中点的条件下考虑使用定理；③在没有线段中点的条件下，根据图形特点，作出中点，以中位线为辅助线帮助解题；④用变动的观点观察、分析三角形中位线定理与梯形中位线定理的相互关系以及使用它们的一般规律。

4 适当时候引导学生了解几何的体系与结构

当学生学习平面几何一段时间，有了一定的基础，就可以适时引导、组织学生了解平面几何的知识体系与知识结构，帮助学生从整体上把握平面几何全貌以及各个部分之间的联系与逻辑关系，构建平面几何知识网纲，提升逻辑思维能力，掌握学习平面几何的方法，让学生得到了升华。

5 在教学中渗透近代研究几何的观点和科学的思维方法

平移、对称、旋转是近代研究几何的观点。在教学中，我们经常要求学生掌握几种最基本的轴对称图形和中心对称图形，并以这些图形为工具去指导学生学习、观察和分析问题。例如：图6是一个以直线PO为对称轴的轴对称图形，利用它不仅可以记忆切线长定理、垂径定理，还可以记忆过圆外一点引圆的切线的作法。

又如图7，已知：在△ABC中，AD⊥BC，BD>DC。求证：AB>AC。

分析：要证AB>AC，可证∠C>∠B，只要以AD为对称轴作出点C的对称点C，因为BD>CD，故C必在B、D之间，所以∠ACD为△ABC的一个外角且等于∠C，从而得到∠C>∠B。

利用平移、对称、旋转来观察、分析问题的着眼点是使学生较容易地发现怎样作出辅助线解题，并从中领悟到辅助线必须具有目的性。

分解与组合、一般与特殊、静止与变动、分析与综合等都是常用的科学的思维方法。在教学中渗透这些思想方法，注意挖掘体现这些思想方法的内容，并结合具体内容帮助学生熟悉、理解这些方法具有深远的意义。

参考文献

[1] 李建才.中学数学教师教学基本功讲座[M].北京师范学院出版社，1991.

[2] 吴宪芳，郭熙汉.数学教育学[M].华中师大出版社，1997.endprint

（2）结合教材进度，选择强化证明训练的适当时机。如学习相交线与平行线之后、学完全等三角形以后、学完四边形、相似三角形等等，都可以进行强化训练，但每次训练都应有具体的要求与目标。

（3）及时总结解题的经验，指导学生选择最好的证明方法。这包括一些常用的辅助线，有代表性的基本图形、重要定理的使用方法，某类图形的一般解法。然后抓住一题多解做文章，指导学生怎样找到最简单的方法。

（4）重要定理的教学。这主要是有计划分层次地安排。如三角形中位线定理可分以下几个层次进行：①定义与定理的内容及其基本应用；②在已知有线段中点的条件下考虑使用定理；③在没有线段中点的条件下，根据图形特点，作出中点，以中位线为辅助线帮助解题；④用变动的观点观察、分析三角形中位线定理与梯形中位线定理的相互关系以及使用它们的一般规律。

4 适当时候引导学生了解几何的体系与结构

当学生学习平面几何一段时间，有了一定的基础，就可以适时引导、组织学生了解平面几何的知识体系与知识结构，帮助学生从整体上把握平面几何全貌以及各个部分之间的联系与逻辑关系，构建平面几何知识网纲，提升逻辑思维能力，掌握学习平面几何的方法，让学生得到了升华。

5 在教学中渗透近代研究几何的观点和科学的思维方法

平移、对称、旋转是近代研究几何的观点。在教学中，我们经常要求学生掌握几种最基本的轴对称图形和中心对称图形，并以这些图形为工具去指导学生学习、观察和分析问题。例如：图6是一个以直线PO为对称轴的轴对称图形，利用它不仅可以记忆切线长定理、垂径定理，还可以记忆过圆外一点引圆的切线的作法。

又如图7，已知：在△ABC中，AD⊥BC，BD>DC。求证：AB>AC。

分析：要证AB>AC，可证∠C>∠B，只要以AD为对称轴作出点C的对称点C，因为BD>CD，故C必在B、D之间，所以∠ACD为△ABC的一个外角且等于∠C，从而得到∠C>∠B。

利用平移、对称、旋转来观察、分析问题的着眼点是使学生较容易地发现怎样作出辅助线解题，并从中领悟到辅助线必须具有目的性。

分解与组合、一般与特殊、静止与变动、分析与综合等都是常用的科学的思维方法。在教学中渗透这些思想方法，注意挖掘体现这些思想方法的内容，并结合具体内容帮助学生熟悉、理解这些方法具有深远的意义。

参考文献

[1] 李建才.中学数学教师教学基本功讲座[M].北京师范学院出版社，1991.

[2] 吴宪芳，郭熙汉.数学教育学[M].华中师大出版社，1997.endprint

（2）结合教材进度，选择强化证明训练的适当时机。如学习相交线与平行线之后、学完全等三角形以后、学完四边形、相似三角形等等，都可以进行强化训练，但每次训练都应有具体的要求与目标。

（3）及时总结解题的经验，指导学生选择最好的证明方法。这包括一些常用的辅助线，有代表性的基本图形、重要定理的使用方法，某类图形的一般解法。然后抓住一题多解做文章，指导学生怎样找到最简单的方法。

（4）重要定理的教学。这主要是有计划分层次地安排。如三角形中位线定理可分以下几个层次进行：①定义与定理的内容及其基本应用；②在已知有线段中点的条件下考虑使用定理；③在没有线段中点的条件下，根据图形特点，作出中点，以中位线为辅助线帮助解题；④用变动的观点观察、分析三角形中位线定理与梯形中位线定理的相互关系以及使用它们的一般规律。

4 适当时候引导学生了解几何的体系与结构

当学生学习平面几何一段时间，有了一定的基础，就可以适时引导、组织学生了解平面几何的知识体系与知识结构，帮助学生从整体上把握平面几何全貌以及各个部分之间的联系与逻辑关系，构建平面几何知识网纲，提升逻辑思维能力，掌握学习平面几何的方法，让学生得到了升华。

5 在教学中渗透近代研究几何的观点和科学的思维方法

平移、对称、旋转是近代研究几何的观点。在教学中，我们经常要求学生掌握几种最基本的轴对称图形和中心对称图形，并以这些图形为工具去指导学生学习、观察和分析问题。例如：图6是一个以直线PO为对称轴的轴对称图形，利用它不仅可以记忆切线长定理、垂径定理，还可以记忆过圆外一点引圆的切线的作法。

又如图7，已知：在△ABC中，AD⊥BC，BD>DC。求证：AB>AC。

分析：要证AB>AC，可证∠C>∠B，只要以AD为对称轴作出点C的对称点C，因为BD>CD，故C必在B、D之间，所以∠ACD为△ABC的一个外角且等于∠C，从而得到∠C>∠B。

利用平移、对称、旋转来观察、分析问题的着眼点是使学生较容易地发现怎样作出辅助线解题，并从中领悟到辅助线必须具有目的性。

分解与组合、一般与特殊、静止与变动、分析与综合等都是常用的科学的思维方法。在教学中渗透这些思想方法，注意挖掘体现这些思想方法的内容，并结合具体内容帮助学生熟悉、理解这些方法具有深远的意义。

参考文献

[1] 李建才.中学数学教师教学基本功讲座[M].北京师范学院出版社，1991.

[2] 吴宪芳，郭熙汉.数学教育学[M].华中师大出版社，1997.endprint