人民币利率期权定价模型研究

张震辰

摘要：在人民币利率市场化步伐不断加快的背景下，我国应借鉴国际经验，积极推动人民币利率期权产品的发展。本文介绍了Hull-White短期利率模型在利率期权定价中的运用，对利率模型参数校正这一实施中的难点和关键点进行了举例说明，并运用解析公式、三叉树模拟分别计算了利率期权的价格，以期为国内市场提供相关参考。

关键词：利率市场化 利率期权定价 Hull-White利率模型 参数校正

近年来，我国利率市场化进程有所提速，金融机构贷款利率管制全面放开，贷款基础利率报价和发布机制正式运行，同业存单在银行间市场成功发行。2014年两会期间，人民银行行长周小川表示，存款保险制度有望在年内推出，而人民币存款利率的放开很可能在最近一两年就能够实现。

根据国际经验，利率市场化会大幅增加利率的波动幅度，从而推进利率期权的发展，因为利率期权是最能反映利率市场未来不确定性的工具，其隐含的波幅率是利率即期、利率远期和利率期货所难以反映的。所以，在人民币利率市场化步伐不断加快的背景下，应借鉴国际经验，积极探讨人民币利率期权产品的发展，进一步丰富利率衍生产品体系，完善市场功能。

我国要发展人民币利率期权产品，一个非常重要的前提就是必须对人民币利率期权产品进行合理准确的定价，这就需要建立一个适合中国市场的利率期权定价模型。国内此前对利率期权的探讨主要集中于理论层面，本文将从操作实践层面来选择适合人民币利率期权定价的模型，并探讨其在实践中的应用。

国际市场主要利率期权模型介绍

在国际市场上，利率期权定价模型大致可以分为Black模型、短期利率模型（Short Rate Model）和Libor市场模型三大类。这三类模型各有特点、各有所长，金融机构应根据利率期权产品的特点，加以合理的选择和运用。

1976年，Fischer Black在Black-Scholes模型基础上提出了Black模型，用于对期货期权的定价，以及对债券期权、利率期权等衍生品的定价。Black 模型的计算公式较为直观，并相对易于操作，在欧式利率上限期权（Interest Rate Caps）1、利率下限期权（Interest Rate Floors）2和利率互换期权（Swaption）3市场运用广泛。但由于该模型未能对利率期限结构的演变进行描述，因此其使用范围受到限制，不能对美式利率期权4及奇异类利率期权5进行定价。

短期利率模型是一种通过模拟未来短期利率变动，来描述未来利率期限结构演变的利率模型。其中，较具有代表性的短期利率模型包括Hull-White利率模型（1990）、Black–Karasinski利率模型（1991）等。短期利率模型可以对欧式利率期权、美式利率期权、奇异类利率期权进行定价。不少短期利率模型有利率期权的解析定价公式，且可以结合三叉树6和蒙特卡洛模拟方法7使用，因此较为灵活。但由于随机因子较少、选择波幅率期限结构时未给使用者足够自由度等原因，短期利率模型对于结构复杂的利率期权，如多种利率期权结构的组合、路径依赖型利率期权和提前终止权的组合等，在定价上有所不足。

Libor市场模型，又称 BGM利率模型，是由Brace、Gatarek、Musiela于1997年提出的利率模型，目前已成为市场上对奇异类利率期权等结构较为复杂利率期权定价的通用模型。Libor市场模型在波幅率期限结构和随机因子的设置方面具有更大的灵活度，通过对波幅率参数的校正后，结合蒙特卡洛模拟方法，可对各类结构复杂的奇异类利率期权进行定价，因此使用范围较广。但Libor市场模型无法结合三叉树使用，只能结合蒙特卡洛模拟方法使用，其参数较多且校正过程较为复杂，特别是对带有提前终止权的奇异类期权，还需对蒙特卡洛模拟进行修正和优化，使计算过程更为复杂和耗时。

Hull-White利率模型在我国的适用性

实践中，我国金融机构在使用利率模型时，应根据利率模型的特点、适用范围和实施过程中的便易程度，结合人民币利率期权在中国的发展途径进行选择。

纵观世界各国利率期权发展的历史，大都是沿着先简单后复杂的原则来发展的。我国目前尚未开展利率期权，笔者认为，未来我国发展人民币利率期权类衍生产品也应遵循上述规律，循序渐进，先从人民币利率上限期权、人民币利率下限期权和人民币利率互换期权等普通欧式人民币利率期权着手，逐步发展美式利率期权、百慕大利率期权8及奇异类利率期权等复杂的期权产品。

Hull-White利率模型是短期利率模型中最具代表性的模型之一，彭博（Bloomberg）系统、Numerix系统、Summit系统等国际知名的资金业务系统供应商，均将Hull-White利率模型作为主要的利率模型之一，用于对利率期权类产品定价。该利率模型经过系统供应商多年的实施，已获得市场的认可，目前是利率期权定价和风险管理的主要工具。

从实践应用来看，Black 模型的计算公式虽然较为直观，并相对易于操作，在欧式利率上限、利率下限和利率互换期权市场应用广泛，但该模型不能对美式利率期权以及奇异类利率期权进行定价，因此其使用范围受到限制。Libor市场模型虽然使用范围最为广泛，但只能结合蒙特卡洛模拟方法使用，其参数和随机因子较多且校正过程复杂，定价过程较为复杂和耗时，若使用在普通利率期权或结构相对简单的奇异利率期权定价上，则显得过于占用和浪费资源。

相比之下，Hull-White利率模型的使用范围虽不如Libor市场模型，但广于Black 模型，可对普通利率期权和结构相对简单的奇异类利率期权进行定价，且定价过程相对Libor市场模型较为简捷和省时。具体来看，对于普通利率期权，可根据Hull-White利率模型下有关利率期权的解析公式进行定价；对于提前终止型利率期权，可根据Hull-White利率模型结合三叉树方法进行定价；对于路径依赖性利率期权，可根据Hull-White利率模型结合蒙特卡洛模拟方法进行定价。

综上，笔者认为，Hull-White利率模型即可满足普通利率期权的定价，又具有一定的前瞻性。因此，至少在人民币利率期权市场发展初期，Hull-White利率模型将更适合中国市场使用。

Hull-White利率模型在利率期权定价中的应用

（一）Hull-White利率模型公式

1990年，Hull White在Vasicek模型的基础上建立了一种能够与当前利率期限结构相匹配的短期利率模型，被称为Hull-White利率模型。其模型具体如下：

（1）

其中，为短期瞬时利率；和为正常数；，为当前市场瞬时远期利率；为布朗运动。

（二）Hull-White利率模型中的利率上限期权解析公式

在Hull-White利率模型中，利率上限期权的定价公式如下：

（2）

其中，为名义本金；为执行价格；为定价日；为标的利率的重置时间，为到期日；为零息债券价格；，和为正常数，；；；是标准正态变量的累积分布函数。

（三）Hull-White利率模型在利率上限期权定价中的应用

下面，笔者以美元利率上限期权定价为例，对Hull White利率模型在实践中的应用进行介绍，过程包含对市场数据的采集、参数的校正（Calibration）等实践应用中的关键点和难点。

1.市场数据的采集

对利率期权进行定价的前提条件是获取波幅率、零息利率等市场数据。

首先，选取美元利率上限期权市场隐含波幅率，如2014年3月24日，美元利率上限期权市场隐含波幅率如图1所示。

图1 美元利率上限期权市场隐含波幅率

接着，选取美元市场利率价格。当日，美元市场利率及由市场利率生成的零息利率如表1所示。

表1 美元市场收益率曲线数据（单位：%）

到期日 市场利率 零息利率

06/26/2014 0.23285 0.23285

07/16/2014 0.242 0.24474

08/20/2014 0.245 0.24547

09/17/2014 0.26 0.25283

10/15/2014 0.259 0.25376

11/19/2014 0.274 0.25875

12/17/2014 0.288 0.2661

03/18/2015 0.356 0.28937

06/17/2015 0.488 0.33172

09/16/2015 0.69 0.39454

12/16/2015 0.932 0.47413

03/16/2016 1.202 0.56817

06/15/2016 1.498 0.6756

09/21/2016 1.787 0.7989

12/21/2016 2.067 0.91702

03/15/2017 2.326 1.02794

06/21/2017 2.539 1.157

03/26/2018 1.46841 1.48504

03/26/2019 1.83513 1.86604

03/26/2020 2.14135 2.18915

03/26/2021 2.3849 2.44977

03/28/2022 2.58126 2.66263

03/27/2023 2.7414 2.83849

03/26/2024 2.87602 2.98823

2.参数的校正

模型参数的校正是利率模型在实践应用中重要的难点和关键点。以Hull-White利率模型为例，需要对参数和进行校正，即选取合适的和，使得模型计算的利率上限期权价格与其市场价格间的差异最小化。

一个名义本金为1000美元、期限5年、执行价格为1.5%的利率上限期权的市场隐含波幅率为50.70%（见图1），结合市场零息利率（见表1）构建的收益率曲线，通过Black模型可以计算出该利率上限期权的市场价格。接下来，需选取合适的和，结合市场零息利率构建的收益率曲线，运用Hull-White利率模型下对于利率上限期权的解析公式[见公式（2）]计算该利率上限期权的价格，使得模型计算的利率上限期权价格与其市场价格间的差异最小化。

由于利率上限期权由一系列利率期权元构成，因此，笔者将估算参数和的准则定为非线性最小二乘法，即选取合适的和，使得模型计算的利率期权元与市场利率期权元间差异的平方和最小化，具体如下所示：

（3）

其中，为运用Hull-White利率模型计算的利率期权元价格，为利率期权元的市场价格。

接下来，运用复杂的优化算法9来求解公式（3）中的参数、。笔者选取、作为模型参数的预估值，由此可计算出公式（3）的值，并在此基础上，通过不断调整、的值来获取公式（3）的最小值。在经过计算模拟和逐次迭代后，当、时，公式（3）获得最小值，Hull-White利率模型的校正效果较为理想，模型计算的利率上限期权价格与市场价格间的差异最小化，如表2、图2所示。

表2 利率上限期权元校正情况表（单位：美元）

到期日 利率期权元市场价格 利率期权元校正价格

2014年9月 0.0000 0.0016

2014年12月 0.0000 0.0221

2015年3月 0.0001 0.0723

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

图2 利率上限期权元校正情况图（单位：美元）

3.利率上限期权定价

在完成参数的校正后，接下来对一个2014年3月24日起息、名义本金为1000万美元、期限5年、执行价格为1.5%的利率上限期权的价格进行计算。

首先选取市场波幅率报价50.70%，运用Black 模型计算利率期权的市场价格。经计算后，利率上限期权的市场价格为43.85万美元（见表3）。

表3 利率上限期权定价情况

市场价格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉树模拟

价格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

误差（%） - 0.47 0.48

再运用Hull-White利率模型来对利率上限期权进行定价。在Hull-White利率模型下，解析公式计算的利率上限期权价格为44.05万美元，运用三叉树模拟方式计算的利率上限期权价格为44.06万美元，两者间的计算结果非常接近。

将Hull-White利率模型计算的利率上限期权价格与其市场价格进行对比，可以发现二者十分接近，误差不超过0.48%，显示利率模型的定价效果良好。

（四）对人民币利率期权的借鉴意义

随着人民币利率市场化步伐的加快，预计利率期权将有望在近期推出，市场流动性将不断加强，人民币利率期权的市场隐含波幅率也会自然产生。届时，即可在选取人民币市场数据并对参数进行校正后，运用Hull-White利率模型来对人民币利率上限期权、利率下限期权、利率互换期权等进行定价，并在此基础上，结合三叉树、蒙特卡洛模拟等方法来对人民币美式利率期权、百慕大利率期权及奇异利率期权等进行定价。

注：

1.利率上限期权是指交易双方确定一个利率上限水平，期权卖方向买方承诺，在规定期限内，如果市场参考利率高于协定的利率上限，则向买方支付市场利率高于协定利率上限的差额部分；如果市场利率低于或等于协定的利率上限，卖方无任何支付义务。

2.利率下限期权是指交易双方确定一个利率下限水平，期权卖方向买方承诺，在规定期限内，如果市场参考利率低于协定的利率下限，则向买方支付市场利率低于协定利率下限的差额部分；如果市场利率高于或等于协定的利率下限，卖方无任何支付义务。

3.利率互换期权是基于利率互换的期权，期权买方在支付期权费后，获得在未来某个确定时间与期权卖方以事先确定的价格进行利率互换的权利。

4.美式利率期权是指在成交后，买方在期权有效期内任何一天都可执行的利率期权。

5.奇异类利率期权是指比常规期权（标准的欧式或美式利率期权）更为复杂的利率期权。

6.三叉树是一种基于格状的计算模型，被用于金融数学中期权的定价。

7.蒙特卡洛模拟方法是一种以概率和统计理论方法为基础，通过使用随机数来解决很多计算问题的计算方法。

8.百慕大利率期权是指在成交后，买方可以在到期日前所规定的一系列时间行权的利率期权。

9. 关于非线性最小二乘法优化算法的具体内容，读者可在有关数学文献中查阅，笔者在此不再赘述

作者单位：交通银行总行金融市场业务中心

责任编辑：牛玉锐 刘颖

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

图2 利率上限期权元校正情况图（单位：美元）

3.利率上限期权定价

在完成参数的校正后，接下来对一个2014年3月24日起息、名义本金为1000万美元、期限5年、执行价格为1.5%的利率上限期权的价格进行计算。

首先选取市场波幅率报价50.70%，运用Black 模型计算利率期权的市场价格。经计算后，利率上限期权的市场价格为43.85万美元（见表3）。

表3 利率上限期权定价情况

市场价格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉树模拟

价格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

误差（%） - 0.47 0.48

再运用Hull-White利率模型来对利率上限期权进行定价。在Hull-White利率模型下，解析公式计算的利率上限期权价格为44.05万美元，运用三叉树模拟方式计算的利率上限期权价格为44.06万美元，两者间的计算结果非常接近。

将Hull-White利率模型计算的利率上限期权价格与其市场价格进行对比，可以发现二者十分接近，误差不超过0.48%，显示利率模型的定价效果良好。

（四）对人民币利率期权的借鉴意义

随着人民币利率市场化步伐的加快，预计利率期权将有望在近期推出，市场流动性将不断加强，人民币利率期权的市场隐含波幅率也会自然产生。届时，即可在选取人民币市场数据并对参数进行校正后，运用Hull-White利率模型来对人民币利率上限期权、利率下限期权、利率互换期权等进行定价，并在此基础上，结合三叉树、蒙特卡洛模拟等方法来对人民币美式利率期权、百慕大利率期权及奇异利率期权等进行定价。

注：

1.利率上限期权是指交易双方确定一个利率上限水平，期权卖方向买方承诺，在规定期限内，如果市场参考利率高于协定的利率上限，则向买方支付市场利率高于协定利率上限的差额部分；如果市场利率低于或等于协定的利率上限，卖方无任何支付义务。

2.利率下限期权是指交易双方确定一个利率下限水平，期权卖方向买方承诺，在规定期限内，如果市场参考利率低于协定的利率下限，则向买方支付市场利率低于协定利率下限的差额部分；如果市场利率高于或等于协定的利率下限，卖方无任何支付义务。

3.利率互换期权是基于利率互换的期权，期权买方在支付期权费后，获得在未来某个确定时间与期权卖方以事先确定的价格进行利率互换的权利。

4.美式利率期权是指在成交后，买方在期权有效期内任何一天都可执行的利率期权。

5.奇异类利率期权是指比常规期权（标准的欧式或美式利率期权）更为复杂的利率期权。

6.三叉树是一种基于格状的计算模型，被用于金融数学中期权的定价。

7.蒙特卡洛模拟方法是一种以概率和统计理论方法为基础，通过使用随机数来解决很多计算问题的计算方法。

8.百慕大利率期权是指在成交后，买方可以在到期日前所规定的一系列时间行权的利率期权。

9. 关于非线性最小二乘法优化算法的具体内容，读者可在有关数学文献中查阅，笔者在此不再赘述

作者单位：交通银行总行金融市场业务中心

责任编辑：牛玉锐 刘颖

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

图2 利率上限期权元校正情况图（单位：美元）

3.利率上限期权定价

在完成参数的校正后，接下来对一个2014年3月24日起息、名义本金为1000万美元、期限5年、执行价格为1.5%的利率上限期权的价格进行计算。

首先选取市场波幅率报价50.70%，运用Black 模型计算利率期权的市场价格。经计算后，利率上限期权的市场价格为43.85万美元（见表3）。

表3 利率上限期权定价情况

市场价格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉树模拟

价格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

误差（%） - 0.47 0.48

再运用Hull-White利率模型来对利率上限期权进行定价。在Hull-White利率模型下，解析公式计算的利率上限期权价格为44.05万美元，运用三叉树模拟方式计算的利率上限期权价格为44.06万美元，两者间的计算结果非常接近。

将Hull-White利率模型计算的利率上限期权价格与其市场价格进行对比，可以发现二者十分接近，误差不超过0.48%，显示利率模型的定价效果良好。

（四）对人民币利率期权的借鉴意义

随着人民币利率市场化步伐的加快，预计利率期权将有望在近期推出，市场流动性将不断加强，人民币利率期权的市场隐含波幅率也会自然产生。届时，即可在选取人民币市场数据并对参数进行校正后，运用Hull-White利率模型来对人民币利率上限期权、利率下限期权、利率互换期权等进行定价，并在此基础上，结合三叉树、蒙特卡洛模拟等方法来对人民币美式利率期权、百慕大利率期权及奇异利率期权等进行定价。

注：

1.利率上限期权是指交易双方确定一个利率上限水平，期权卖方向买方承诺，在规定期限内，如果市场参考利率高于协定的利率上限，则向买方支付市场利率高于协定利率上限的差额部分；如果市场利率低于或等于协定的利率上限，卖方无任何支付义务。

2.利率下限期权是指交易双方确定一个利率下限水平，期权卖方向买方承诺，在规定期限内，如果市场参考利率低于协定的利率下限，则向买方支付市场利率低于协定利率下限的差额部分；如果市场利率高于或等于协定的利率下限，卖方无任何支付义务。

3.利率互换期权是基于利率互换的期权，期权买方在支付期权费后，获得在未来某个确定时间与期权卖方以事先确定的价格进行利率互换的权利。

4.美式利率期权是指在成交后，买方在期权有效期内任何一天都可执行的利率期权。

5.奇异类利率期权是指比常规期权（标准的欧式或美式利率期权）更为复杂的利率期权。

6.三叉树是一种基于格状的计算模型，被用于金融数学中期权的定价。

7.蒙特卡洛模拟方法是一种以概率和统计理论方法为基础，通过使用随机数来解决很多计算问题的计算方法。

8.百慕大利率期权是指在成交后，买方可以在到期日前所规定的一系列时间行权的利率期权。

9. 关于非线性最小二乘法优化算法的具体内容，读者可在有关数学文献中查阅，笔者在此不再赘述

作者单位：交通银行总行金融市场业务中心

责任编辑：牛玉锐 刘颖