由一道题想到的

张立宏

有这样一道例题：同室四人各写1张贺卡，先集中起来再进行分配，规定每个人不能拿自己写的贺卡，问有多少种不同的分配方法？

分析：对于这道题目我们可以从两个角度考虑：

4张贺卡编号为A、B、C、D后排成一排，要求A不在第一位，B不在第二位，C不在第三位，D不在第四位。依题意可列树形图如下：

B C D

A C D D D A C C A

D D A A B D B A B

C A C B A B A B C

由树形图可知：共有9种不同的分配方案。

观察题目特点，我们可以逆转思路。让四个人去拿贺卡，分下列两步进行：第一步：让第一个人首先去拿，有3种方法。第二步：第一个人选中的贺卡是谁的就让他接着选择贺卡，有3种方法，剩下的两个人的拿法只有1种。由分步计数原理可知有3×3=9种不同的方法。

变形引申：（1）我们改变题目中的数量关系可得如下问题：将标有1、2、3号的小球放到有1、2、3标号的盒子中，要求每个盒子放1个球，并且球的编号和盒子的编号不同，问有多少种不同的投放方法？

分析：由前面的问题可知：方法有2种。

（2）将（1）中球和盒子的个数增加到5个，有多少种不同的投放方法？

分析：此题若采用树形图的话，数量关系比较大，不易得出答案，所以我们采用计数原理解决。

从整体上分两步：第一步：先放1号球，有4种不同的方法。第二步：假设第一步中1号球放入了5号盒，则我们第2次选择放置5号球。在此我们放置5号球又可分为两类：第一类：若5号球放入1号盒，则剩下的3个球的放法有2种。第二类：若5号球不放入1号盒，则我们可知有3种放法，则由前面的分析可知剩下的球有3种方法。

综合一、二两步可知有：4×（2+3×3）=44种放法。

总结：在上面的三道题中，我们充分利用了两个计数原理，那么我们以后在解决类似问题时不妨将这三个结果当成结论应用到解决类似问题中。

练习：设有编号为1、2、3、4、5、6、7的7个球和编号为1、2、3、4、5、6、7的7个盒子，要求每个盒子中放入1个球，并且要求恰有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种？

分析：由题可知分两步：①选出编号相同的两个球有21种选法；②剩下的5个球的编号与盒子的编号各不相同，由前面的结论可知有44种不同的方法。

所以，由分步计数原理可知有21×44=924种方法。

由以上的介绍可知，我们在解题时对一些典型问题的处理方法和最后结论要引起注意，并且要适时应用到解题中，这样可以拓宽我们的思路，节省我们的解题时间。

（河北省遵化市第一中学）