重视常见错题的分析提高学生解题才能

张李斌 吕玉娟

高中数学与初中数学的基本区别在于：学生学习形式中的抽象思维开始由从经验型占主导向理论型占主导的转变。教师在教学过程中除了要传授科目内容的“重点”的“难点”外，还需要向学生传授解题应该必须的技能、技巧；同时，还应该在智力、能力、情感、价值观等方面感染学生。因而，教师必须重视学生每次的作业质量，构建学生个人档案，进行整理和归纳，做到“目中有人”“心中有人”，提高学生的解题才能。笔者通过连续几年来认真观察、分析学生解题过程的各类差错，总结出以下几种常见的情况。

一、目中无题

有些学生在解题过程中往往马虎大意，在并未看清、看透题目的时候，凭空依照经验主义动笔乱做，往往事倍功半，甚至劳而无功。究其原因，并非该错之题，却总是失分。

例1：设M={x|y=2x，x∈R}，N={x|y=x2，x∈R}，则（ ）。

A.M∩N={2，4} B.M∩N={（2，4）}，（4，16）}

C.M=N D.M？埭N

析：本题考查集合间关系，属于基本题，虽然简单，但是总存在部分学生会误解为元素是两函数图像的两个相交点，导致了错误。

二、概念不清

题目源于书本中定义、定理、性质。各类题目是由基本知识点在各个方面的具体考查。因而，学生解题应该从考查的本源出发，来巩固书本知识点，多做题目，仅仅是从多个方面来了解学科重难点，提高自身解题的辨别能力和技巧。有时，盲目解题，会误入只求数量、不求质量的情形。因此，学生在解题过程中要不断分析、总结，要学会思考，即要知其所以然，想清楚解题过程中的审题、分析、解答的各个思维过程。然后还应该理解题目涉及的知识点、思想方法，能够讲出题目的结构、难点和易错点，说出解题方法的解题规律，甚至能够说出题目的变式和情境等。

例2：①函数y=f（x）的图像与直线x=a有多少个公共点。

②已知函数y=f（x）的定义域为R，值域为[a，b]，求y=f（x-1）的值域。

析：本题考查函数的定义，如果学生对定义的要点不熟悉领会，就往往会不知所措。

三、缺乏整体思维

某些题目，从小处去看似乎条件或结论很冗繁，难于下手，但从大处观察却不难发现其隐匿一个整体的“核”，抓住此核，即可化难为易。因而，这类题目必须在解题前认真思索，总结归纳。

例3：数列为{an}正项等比数列，前n项和Sn=80，其中数值最大的项为54，前2n项和S2n=6560，求此数列的首项a1和公比q。

解：依题意：S2n>2Sn，所以q>1。

■=80……（1） ■=6560……（2） ，得：■=82，即：qn=81。

由题意，q>1，得第n项最大，即：an=54。

因而，54q=81a1。

将qn=81代入（1）得：a1=q-1……（3）

得：a1=2，q=3。

析：本题解方程组时，应把看作整体，从而取取得化繁为易的目的。

例4：设函数y=f（x）关于直线x=1对称，在（-∞，1]上是单调减函数，解不等式f（a-1）>f（2a-1）。

解：由题意：（a-1）-1>（2a+1）-1。

两边平方化简： 3a2+4a-4<0，得解集为（-2，■）。

析：本题意逐一分析a-1与2a-1与x=1的位置，往往显得烦琐，利用抛物线性质，开口向上的抛物线图像中，离开对称轴距离越远，函数值越大，因而将（a-1）-1与（2a+1）-1整体思考，便达到了化繁为简的目的。整体性解题思维的运用相当广泛：解析几何中用待定系数法求轨迹方程的角度把握，代数变形中某些“整体变量”用“整体代入”或“整体换元”，立体几何中求点面距离用“设而不做”，不胜枚举。

四、判断欠透彻

题目往往隐含某些条件，在解题过程中，有些学生缺乏发现隐含条件的眼光，造成解题得不到满分。

例5：已知0<？琢<？茁<？仔，-■，求sin（？琢+？茁）的值。

解：∵cos？琢=■∈（0，■），∴■<？琢<■。

∵sin？茁=■∈（■，■），∴■<？茁<■或■<？茁<■。

∵0<？琢<？茁<？仔， ∴■<？琢<■<■<？茁<■。

由题意：sin？琢=■， cos？茁=-■。

因而：sin（？琢+？茁）=sin？琢·cos？茁+cos？琢·cos？茁=■·（-■）+■·■=-■。

析：本题的难点在于判断的位置，必须放在相同的单调函数中进行判断与选择。

例6：已知x1，x2是方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0，k∈R的两个实根，求x12+x22的最大值。

解：由题意：x1+x2=k-2，x1·x2=k2+3k+5，则：f（x）=x12+x22=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-k2-10k-6=-（k+5）2+19。

∵△=（k-2）2-4（k2+3k+5）？厶0，

∴-4？弁k？弁-■。

因此，f（x）=-（k+5）2+19，k∈[-4，■]。

由抛物线图像，单调性得：f（x）max=f（-4）=18。

析：本题考查根与系数关系，一元二次方程存在根的充要条件，学生往往忽略△？厶0时k的范围。

总之，提高学生的学习成绩，要求教师持之以恒地观察、引导学生探索解题技巧，总结题目类型。通过对学生错题的分析，学生在学习过程中的各项弱点充分暴露出来，教师应进一步地全盘考虑班级学生的特点，优选练习，深入挖掘学生潜在的智力，从而提高学生的解题才能。

（江苏省宜兴市阳羡高级中学）