对数学问题链的再认识与实践

邹宗平

问题是数学的心脏，这是人们对数学发展史的高度概括，对数学本质的深刻认识。1900年8月5日，德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）在巴黎国际数学家大会上所作的演讲。其中最令人瞩目的是，整个演讲的主题，是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，而演讲也以“数学问题”而命名。一百多年来，这些问题一直激励着数学家们浓厚的研究兴趣，为数学的发展起了重要的推动作用。

由此看来，问题是引导研究的，提出问题是科学研究思想方法的起步，寻找和发现数学问题，是获得数学发现和进行数学思维的基本方法之一。

一、数学问题与问题链

在认知心理学中，“问题”（Problem）是指一个人在有目的待追求而尚未找到适当手段时所感到的心理困境。因而，问题的存在与否依赖于人已有的认知能力。“问题”还可以被视为一个系统，好某个人而言，若一个系统的全部元素、元素的性质和元素间的相互关系中至少有一个是未知的，那么这个系统被称为不稳定系统即问题系统，反之，则称该系统为稳定系统即非问题系统。在问题系统中。如果确立了一个或一个以上未知要素，那么该系统就成为一个问题。可见，问题是确立了一个或一个以上未知要素的系统，问题的存在因人而异，具有相对性。

数学问题是指“以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题”。

数学问题的提出是一个发现和产生数学问题的过程。在这个过程中，主体通过对数学情境基本构成要素的观察、分析，深入挖掘隐藏于其中的数学关系，大胆置疑，大胆猜想，并确定新的未知构成要素，即提出一个新的数学问题。因而，数学问、题提出便是把一个数学问题情境变成一个新的数学问题情境的过程。这是一个发现，探索和创新的过程，借用这个过程，可以使学生进一步认识和理解数学。

面对数学问题，当我们通过对它进行深化、推广、引申、综合，从而发现矛盾和缺陷（问题所在），探索到新的发展规律（需要论证的问题），或找到了问题与问题之间的新的联系时，这就是形成“问题链”的开始。通过这种过程的不断深化和逐次推进而找到的，具有内在联系的若干问题，就形成了“问题链”。

数学知识的内部结构，是一个纵横交错的命题链结构，或者是可以用类似于问题链的结构来描述和解释的（如学科知识链）。欧几里得的《原本》（Elements），是一个类似于命题链的以链结构形式表现的公理体系。它以5条公设为核心，通过逻辑演绎，把119个定义和464条定理链在了一起；还有由算术到初等代数到线性代数到抽象代数，则可以理解为学科知识链，等等。

二、数学问题链的实践

问题与命题这2个概念，通常是在同样的意义下使用的。然而，提出问题仅是数学发现的开始，解决问题（证明其真实性）才是目的。因此，我们常把尚未解决的问题称为问题，而把论证了其真实性的命题称为真命题。下面所提到的命题这一概念是在能形成定理的意义下使用的，但是由于略去了证明过程，因此仍视为问题。

（一）推广链

推广是事物发展所遵循的规律之一。当我们从研究一个对象过渡到研究包含该对象的一个集合，或从研究一个较小的集合过渡到研究一个包含該集合的一个更大的集合时，就是推广，当我们对命题从层次和形式上作推广时，可以得到一些层次不同或形式相似的命题，它反映了数学对象之间的纵向或横向间的联系，可以拓广命题的外延表现形式并加深对命题内涵的认识。

概念、体系、命题和方法的各个方面，都可以运用推广来进行教学。概念的学习分为上位学习、下位学习和并列学习3种方式。在上位学习中，我们可以运用推广的观点来教学。

命题的推广可以引导学生自己来做，命题链的形成在培养学生创新能力的同时很能给其以美的感受。笔者要学生将等差中项的性质进行推广，结果从a3+a5=2a4到an-1+an+1=2an，到an-k+an-k=2an，到am+an=as+at（其中m+n=s+t）再到（ai1+ai2+…+ain）/n=（aj1+aj2+…+ajm）/m（其中（i1+i2+…+in）/n=（j1+j2+…+jm）/m）串成了5级链。一位学生受到一些素材的启发先是得到（am+an）/2=（ax+ay+az）/3[其中（m+n）/2=（x+y+z）/3]。然后在教师的指导下终于得到上述命题链中最后的命题（只是在表达上发生了困难），写成了小论文交给教师，很有创新的成就感。另外解题之后进行推广，不仅可以培养学生的创新能力，还能帮助学生洞察本质，提高认识、居高临下、跳出题海。例如证明不等式，当证了√3+√7<2√5，√2+√7<√5+√6

又证√6+√7>2√2+√5，再变变数字还有多大意义呢？不如引导他们进行一般化。先可推广为：√a+√b<√c+√d，其中a，b，c，d∈R+，a+b=c+d且|a-b|>|c-d|，更一般地可推广为√a1+√a2+…+√an>√b1+√b2+…+√bn（其中{ai}，{bi}为正项等差数列，公差分别为d1，d2，且|d1|<|d2|，）。

（二）引申链

引申和推广是有区别的，推广是一种特殊的引申，它的原则是由特殊到一般的推进。而引申则只要具有某种联系就可以进行。引申反映了另一类范围较广的交叉联系，它具有多向性或分枝性，可以从不同方向进行派生。从不同侧面对问题进行引申就可得到差异性质不同的命题链。例如，从否定条件进行引申，用强化条件或弱化条件或对比条件进行引申，也可以逆向倒成逆命题进行引申，还可以用等价形式的变换引申，使几何、代数、三角形式互化

或结合应用加以引申。对问题的引申研究可以加深对事物间的亲缘关系的认识，有利于了解概念或是定理的旁系家族。如对以下原命题1进行引申，可以得到问题引申链。

原命题1：P是正△ABC外接圆的AB弧上任意一点，则PA+PB=PC。

引申1：若P点不在AABC的外接圆上，则PA+PB>PC。

引申2：若P是AABC内任意一点，且“∠A≥120°，则PA+PB+PC>AB+AC。

引申3：若P是△ABC内任意一点，则：1-2 （AB+BC+CA）

引申4：在每个内角小于120。的△ABC内存在一点P，使PA+PB+PC有最小值。

又如在推导等比数列求和公式的错项相减法教学之后，可以帮助学生分析总结该方法能运用的更一般情况：∑anbn的情形（其中{an}为等差，{bn}为等比）。一个常见的解法，着眼于引申，可能会有新的收获。一个三角习题，“已知tanα=3，求sin2α+3sinαcosα-2cos2α的值”，解法之一是提取2cos2α后直接轉化为tanα，避开了单独先求正弦、余弦的象限讨论。一次笔者问学生这个做法还能用于求哪些式子的值（已知正切值），有些学生说对于正弦、余弦的齐偶次式都可仿之（提取余弦偶次方），由一题知一类已是可喜。另一平时成绩一般的学生却说，可用于求正割、余割的齐偶次式（提取余割偶次方），引申更得妙处。

（三）分层链

分层链是为了达到某一特定目的而设计的。有时为了解决一个难度较大或灵活性较强的问题，往往需要通过一些中间问题的过渡，为使中间问题的解决提供中间结果和解题方法，从而起到过渡作用。一般在给出问题的大前提后，把问题分成几问。再对各问层层加深，不断提高。而各问题间既相对独立，又具有或紧或松的联系。因此，寻找问题分层链对数学思维的方向引导能起到较好的作用，能培养学生综合分析问题和解决问题的能力。如对以下原命题2可以得到问题分层链。

原命题2： PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B，连结PO交圆于C，交弦AB于M，连结BA、AC、BC。这是学生比较熟悉的题，请学生观察：图中有哪些相等的量？

分层1：将原题增加条件：如图1，设∠P=60°，半径OA=6，学生很快求出上述结论中的弦、弧、角、线段的值。

分层2：当C为劣弧AB上一点（不与A、B重合），上述结论不变吗？当C在优弧上呢？

分层3：将例题增加条件，过点C作圆的切线，分别交PA、PB于E、F（如图2），则△PEF的周长=2PA。学生纷纷回答。

分层4：问题（如图3）：设PA、PB为⊙O切线，切点为A、B，C为弧AB上一点（与A、B不重合），过C的切线交PA、PB于E、F，则△PEF的周长是否还等于2PA？

分层5：问题的条件同上，若点C在优弧AB上呢？（如图4）因为EC=AE，CF=BF，所以△PEF的周长=2PE+2BF=2PA+2EF，“变中有变” ！

分层6：已知：PA、PB是⊙O的两条切线，若过弧AB上一点C作CM⊥AB于M，CK⊥PA于K，CH⊥PB于H，线段CM、CK、CH会有怎样关系呢？（图5）

（四）深化链

深化链常用于深化对某一数学概念（性质）的理解，是在命题条件相同的情况下，推出不同形式的相似的性质和概念，在内涵方面使认识更深刻，更丰富，对以下原命题3可以得到问题深化链。

原命题3：如图6，设P为正三角形ABC的外接圆劣弧BC上一点，求证： PA=PB+PC。

深化1：求证：1-PB+ 1-PC= 1-PD。

深化2：求证：PA2=PB2+PB×PC

深化3：求证：PB2=AB2-PA×PC

深化4：求证：PA2+PB2+PC2=2AB2

深化5：求证：PA3=PB3+PC3+3PA×PB×PC

深化6：求证：PA4+PB4+PC4=2AB4

以上从寻找问题链的角度对问题链分析，给出了问题链的4种基本形式。还可以从其它角度来分析，如可以将问题链分解为属于数学概念的、性质的、方法的和规律的。或者在实际运用时，往往采用混合形式以便适应需要。

三、数学问题链的相关思考

以上对问题链的分析可知：第一，寻找问题运用推广、引申、分层、深化等方法，而在推广、引申、分层、深化时却又离不开观察、实验、类比、归纳和猜想等；第二，寻找问题链是数学发现的一种基本方法，它的目的则是希望所寻找到的问题尽量多地转化为真命题（定理）。因此，对逐步寻找到的问题作阶段性的论证是很有必要的（以上列举的问题链略去了这一过程）。所以，问题链方法是以问题为主线，以提出问题一解决问题一再发现问题为全过程的，兼具收敛性和发散性的数学思维方法。

运用数学问题链进行培养学生的创新能力，首先，要向学生旗帜鲜明地倡导创新。教学中经常结合具体的场合鼓励学生进行类比和一般化，提出各种各样的猜想。小心呵护创新的幼芽，中学生的创新不必是真正的数学创新，只要有点滴的再创造的努力都应给予肯定和鼓励。努力营造敢于创新、不怕出错、善于修正、共同探究的良好的氛围。其次，可以鼓励学生写一些推广引申的小论文。开始有的学生会觉得困难，从选题到修改到定稿，教师要常加鼓励，常做指导。在平时的教学中应有意识地多留一些容易延伸的命题链、方法或知识点，稍加指点、不予讲尽，留给学生创新的机会。让学生在探索的过程中培养创新的能力。